高考备考“最后30天”大冲刺 数学 专题十 函数与导数理 学生版

《高考备考“最后30天”大冲刺 数学 专题十 函数与导数理 学生版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考备考“最后30天”大冲刺 数学 专题十 函数与导数理 学生版（9页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、 高考数学精品复习资料 2019.5 0 专题十：函数与导数 例 题 已知函数f(x)＝aex＋x2，g(x)＝sin＋bx，直线l与曲线y＝f(x)切于点(0，f(0))，且与曲线y＝g(x)切于点(1，g(1))． （1）求a，b的值和直线l的方程； （2）证明：f(x)>g(x)． 【解析】（1）解：f′(x)＝aex＋2x，g′(x)＝cos＋b， f(0)＝a，f′(0)＝a，g(1)＝1＋b，g′(1)＝b， 曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝ax＋a， 曲线y＝g(

2、x)在点(1，g(1))处的切线方程为y＝b(x－1)＋1＋b，即y＝bx＋1． 依题意，有a＝b＝1，直线l的方程为y＝x＋1． （2）证明：由（1）知f(x)＝ex＋x2，g(x)＝sin＋x． 设F(x)＝f(x)－(x＋1)＝ex＋x2－x－1， 则F′(x)＝ex＋2x－1， 当x∈(－∞，0)时，F′(x)F′(0)＝0． 所以F(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，故F(x)≥F(0)＝0． 设G(x)＝x＋1－g(x)＝1－sin， 则G(x)≥0，当且仅当x＝4k＋1(k∈Z)时等号成

3、立． 由上可知，f(x)≥x＋1≥g(x)，且两个等号不同时成立，因此f(x)>g(x)． 【答案】（1）a＝b＝1，直线l的方程为y＝x＋1；（2）见解析． 基础回归 解析几何是高考中重要的题型之一，比重很大，灵活新颖，题型覆盖选择题，填空题，解答题．直接与函数导数有关的题型约占30分，间接与函数导数有关的题型约占80分．重要考查的知识点有指、对数函数，幂函数，二次函数，函数性质，导数的应用等．函数的教学贯穿整个高中，主要位于必修1，选修2-2． 规范训练 [:] 综合题（48分/60min） 1．（12分/15min）已知函数f(

4、x)＝bx－axln x(a>0)的图象在点(1，f(1))处的切线与直线y＝(1－a)x平行． （1）若函数y＝f(x)在[e，2e]上是减函数，求实数a的最小值； （2）设g(x)＝，若存在x1∈[e，e2]，使g(x1)≤成立，求实数a的取值范围． 满分规范 1.时间：你是否在限定时间内完成？ □是 □否 2.步骤：答题步骤是否与标答一致？ □是 □否 3.语言：答题学科用语是否精准规范？□是 □否 4.书写：字迹是否工整？卷面是否整洁？□是 □否 5.得分点：答题得分点是否全面无误？□是 □否 6.教材：教材知识是否全面

5、掌握？ □是 □否 2．（12分/15min）已知函数f(x)＝(x＋1)ln x－a(x－1)． （1）当a＝4时，求曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程； （2）若当x∈(1，＋∞)时，f(x)>0，求a的取值范围． 满分规范 1.时间：你是否在限定时间内完成？ □是 □否 2.步骤：答题步骤是否与标答一致？ □是 □否 3.语言：答题学科用语是否精准规范？□是 □否 4.书写：字迹是否工整？卷面是否整洁？□是 □否 5.得分点：答题得分点是否全面无误？□是 □否 6.教材：教材知识是否全面

6、掌握？ □是 □否 3．（12分/15min）已知函数f(x)＝ax2＋ln(x＋1)． （1）当a＝－时，求函数f(x)的单调区间； （2）若函数f(x)在区间[1，＋∞)上为减函数，求实数a的取值范围； （3）当x∈[0，＋∞)时，不等式f(x)－x≤0恒成立，求实数a的取值范围． 满分规范 1.时间：你是否在限定时间内完成？ □是 □否 2.步骤：答题步骤是否与标答一致？ □是 □否 3.语言：答题学科用语是否精准规范？□是 □否 4.书写：字迹是否工整？卷面是否整洁？□是 □否 5.得分点：答题得分点是否

7、全面无误？□是 □否 6.教材：教材知识是否全面掌握？ □是 □否 4．（12分/15min）已知函数f(x)＝xln x＋ax＋b在点(1，f(1))处的切线为3x－y－2＝0． （1）求函数f(x)的解析式； （2）若k∈Z，且存在x>0，使得k>成立，求k的最小值． 满分规范 1.时间：你是否在限定时间内完成？ □是 □否 2.步骤：答题步骤是否与标答一致？ □是 □否 3.语言：答题学科用语是否精准规范？□是 □否 4.书写：字迹是否工整？卷面是否整洁？□是 □否 5.得分点：答题得分点是否全面无误？□是

8、 □否 6.教材：教材知识是否全面掌握？ □是 □否  析 解 答 案 与 1．【解析】∵f′(x)＝b－a－aln x， ∴f′(1)＝b－a，∴b－a＝1－a，∴b＝1． 则f(x)＝x－axln x． （1）∵y＝f(x)在[e，2e]上为减函数， ∴f′(x)＝1－a－aln x≤0在[e，2e]上恒成立， 即a≥在[e，2e]上恒成立． ∵函数h(x)＝在[e，2e]上递减， ∴h(x)的最大值为，∴实数a的最小值为． （2）∵g(x)＝＝－ax， ∴g′(x)＝－a＝－2＋－a＝－2＋－a， 故当＝，即x＝e2时，g′(x)m

9、ax＝－a． 若存在x1∈[e，e2]，使g(x1)≤成立， 等价于当x∈[e，e2]时，有g(x)min≤． 当a≥时，g(x)在[e，e2]上为减函数， ∴g(x)min＝g(e2)＝－ae2≤，故a≥－． 当00，g(x)为增函数． 所以g(x)min＝g(x0)＝－ax0≤，x0∈(e，e2)．

10、所以a≥－≥－>－＝，与00等价于ln x－>0． 设g(x)＝ln x－， 则g′(x)＝－＝，g(1)＝0． ①当a≤2，x∈(1，＋∞)时，x2＋2(1－a)x＋1≥x2－2x＋1>0， 故g′(x)>0，g(x)在

11、(1，＋∞)上单调递增，因此g(x)>0． ②当a>2时，令g′(x)＝0得， x1＝a－1－，x2＝a－1＋． 由x2>1和x1x2＝1得x1<1， 故当x∈(1，x2)时，g′(x)<0， g(x)在(1，x2)上单调递减，此时g(x)－1)， ∴f′(x)＝－x＋＝－． 令f′(x)>0，得－11． ∴f(x)的单调递增区间是(－1，1)，单调递减区间是(

12、1，＋∞)． （2）因为函数f(x)在区间[1，＋∞)上为减函数， ∴f′(x)＝2ax＋≤0对∀x∈[1，＋∞)恒成立． 即a≤－对∀x∈[1，＋∞)恒成立． ∴a≤－．故实数a的取值范围为． （3）∵当x∈[0，＋∞)时，不等式f(x)－x≤0恒成立， 即ax2＋ln(x＋1)－x≤0恒成立， 设g(x)＝ax2＋ln(x＋1)－x(x≥0)， 只需g(x)max≤0即可． g′(x)＝2ax＋－1＝． ①当a＝0时，g′(x)＝－， 当x>0时，g′(x)<0，函数g(x)在(0，＋∞)上单调递减， ∴g(x)≤g(0)＝0成立． ②当a>0时，令g′(x)＝0

13、， ∵x≥0，解得x＝－1． (i)当－1<0，即a>时，在区间(0，＋∞)上g′(x)>0， 则函数g(x)在(0，＋∞)上单调递增， ∴g(x)在[0，＋∞)上无最大值，不合题设． (ii)当－1≥0，即00． ∴函数g(x)在区间上单调递减，在区间上单调递增， 同样g(x)在[0，＋∞)无最大值，不满足条件． ③当a<0时，由x≥0，故2ax＋(2a－1)<0， ∴g′(x)＝<0， ∴函数g(x)在[0，＋∞)上单调递减， ∴g(x)≤g(0)＝0成立， 综上所述，实数a的取值范围是(－∞，0]． 【答案】

14、（1）f(x)的单调递增区间是(－1，1)，单调递减区间是(1，＋∞)；（2）；（3）(－∞，0]． 4．【解析】（1）f(x)的定义域为(0，＋∞)， f′(x)＝ln x＋1＋a， ∴ ∴ ∴f(x)＝xln x＋2x－1． （2）k>可化为k>， 令g(x)＝，∃x∈(0，＋∞)，使得k>， 则k>g(x)min． g′(x)＝，x∈(0，＋∞)， 令h(x)＝x－1－ln(x＋1)， 则h′(x)＝1－＝>0， ∴h(x)在(0，＋∞)上为增函数． 又h(2)＝1－ln 3<0，h(3)＝2－ln 4>0， 故存在唯一的x0∈(2，3)使得h(x0)＝0， 即x0－1＝ln(x0＋1)． 当x∈(0，x0)时，h(x)<0， ∴g′(x)<0，∴g(x)在(0，x0)上为减函数； 当x∈(x0，＋∞)时，h(x)>0， ∴g′(x)>0，∴g(x)在(x0，＋∞)上为增函数． ∴g(x)min＝g(x0)＝＝＝x0＋2， ∴k>x0＋2． ∵x0∈(2，3)，∴x0＋2∈(4，5)． ∵k∈Z，∴k的最小值为5． 【答案】（1）f(x)＝xln x＋2x－1；（2）5． 欢迎访问“高中试卷网”——http://sj.fjjy.org