新版高考数学理全国通用复习高考试题汇编 第八章 立体几何 Word版含解析

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1、 1 1第八章 立体几何第一节 空间几何体及其表面积和体积题型85 空间几何体的表面积与体积1.（20xx江苏6）如图所示，在圆柱内有一个球，该球与圆柱的上、下面及母线均相切记圆柱的体积为，球的体积为，则的值是 OO1O2 1.解析 设球的半径为，由题意，所以故填2（20xx天津理10）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为，则这个球的体积为 .2.解析 设正方体的边长为，则.外接球直径为正方体的体对角线，所以，.3.（2107全国1卷理科16）如图所示，圆形纸片的圆心为O，半径为，该纸片上的等边三角形的中心为.，为圆上的点，分别是以，为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分

2、别以，为折痕折起，使得，重合，得到三棱锥.当的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：）的最大值为_.3.解析 由题意，联结，交于点，如图所示，则，即的长度与的长度成正比.设，则，三棱锥的高，则.令，令，即，当，得，所以 在上单调递增，在上单调递减.故，则，所以体积的最大值为.题型86 旋转体的表面积、体积及球面距离4.（2107全国3卷理科8）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（ ）.ABCD4解析 如图所示，由题可知球心在圆柱体的中心处，圆柱体上、下底面圆的半径，则圆柱体的体积.故选B.题型87 几何体的外接球与内切球第二节 空间几何体的直观图与三

3、视图题型88 斜二测画法与直观图暂无题型89 空间几何体的三视图5.某几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积（单位：）是（ ）.A. B. C. D. 5.解析 由三视图可知，直观图是由半个圆锥与一个三棱锥构成，半圆锥体积为，三棱锥体积为，所以几何体体积故选A6.（20xx全国1卷理科7）某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（ ）.A. B. C. D.6. 解析 由三视图可画出立体图，如图所示，该多面体只有两个相同的梯形的面，.故选B.7.（21

4、07全国2卷理科4）如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为（ ）.A B C D7解析 该几何体可视为一个完整的圆柱减去一个高为6的圆柱的一半，如图所示.故选B.8.（20xx北京理7）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为（ ）.A. B. C. D.28. 解析 几何体四棱锥如图所示，最长棱为正方体的体对角线，即.故选B.9.（20xx山东理13）由一个长方体和两个圆柱体构成的几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 .9. 解析 该几何体的体积为第三节 空间点、直线、平面之间的位置关

5、系题型90 证明“点共面”“线共面”“点共线”或“线共点” 暂无题型91 截面问题暂无10.（20xx江苏18）如图所示，水平放置的正四棱柱形玻璃容器和正四棱台形玻璃容器的高均为，容器的底面对角线的长为，容器的两底面对角线，的长分别为和 分别在容器和容器中注入水，水深均为 现有一根玻璃棒，其长度为（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）.（1）将放在容器中，的一端置于点处，另一端置于侧棱上，求没入水中部分的长度；（2）将放在容器中，的一端置于点处，另一端置于侧棱上，求没入水中部分的长度 10.解析 （1）由正棱柱的定义，平面，所以平面平面，记玻璃棒的另一端落在上点处，如图所示为截面的平面图形因为，所

6、以，从而.记与水面的交点为， 过点作，为垂足，则平面，故，从而答：玻璃棒没入水中部分的长度为（2）如图所示为截面的平面图形，是正棱台两底面的中心由正棱台的定义，平面， 所以平面平面，同理，平面平面，记玻璃棒的另一端落在上点处过作，为垂足，则因为，所以，从而设，则因为，所以在中，由正弦定理可得，解得 因为，所以，于是记与水面的交点为，过作，为垂足，则平面，故，从而答：玻璃棒没入水中部分的长度为评注 此题本质上考查解三角形的知识，但在这样的大背景下构造的应用题让学生有畏惧之感，且该应用题的实际应用性也不强也有学生第（1）问采用相似法解决，解法如下：，所以，所以由，即，解得答：玻璃棒没入水中部分的长

7、度为题型92 异面直线的判定暂无第四节 直线、平面平行的判定与性质题型93 证明空间中直线、平面的平行关系11.（2107浙江19（1）如图所示，已知四棱锥，是以为斜边的等腰直角三角形，为的中点.（1）证明：平面.11.解析 （1）如图所示，设DE的中点为，联结，.因为，分别为，的中点，所以，且.又因为，所以，且，所以四边形为平行四边形，所以，又平面，所以平面.12.（20xx江苏15）如图所示，在三棱锥中， 平面平面， 点（与不重合）分别在棱上，且求证：（1）平面； （2）12.解析 （1）在平面内，因为，且点与点不重合，所以.又因为平面，平面，所以平面.（2）因为平面平面，平面平面， 平面

8、，所以平面.因为平面，所以.又，平面，平面，所以平面.又因为平面，所以.13.（20xx全国2卷理科19）如图所示，在四棱锥中，侧面为等边三角形且垂直于底面， 是的中点.（1）求证：直线平面；13解析 （1）令的中点为，联结，如图所示因为点，为，的中点，所以为的中位线，所以又因为，所以又因为，所以，于是从而四边形为平行四边形，所以又因为，所以平面.题型94 与平行有关的开放性、探究性问题第五节 直线、平面垂直的判定与性质题型95 证明空间中直线、平面的垂直关系14.（20xx江苏15）如图所示，在三棱锥中， 平面平面， 点（与不重合）分别在棱上，且求证：（1）平面； （2）14.解析 （1）在

9、平面内，因为，且点与点不重合，所以.又因为平面，平面，所以平面.（2）因为平面平面，平面平面， 平面，所以平面.因为平面，所以.又，平面，平面，所以平面.又因为平面，所以.15.（20xx全国1卷理科18（1）如图所示，在四棱锥中，且.(1)求证：平面平面；15. 解析 （1）证明：因为，所以，.又因为，所以.又因为，平面，所以平面.又平面，所以平面平面.16.（20xx全国3卷理科19（1）如图所示，四面体中，是正三角形，是直角三角形，（1）求证：平面平面；16解析 如图所示，取的中点为，联结，.因为为等边三角形，所以，.由，得，所以，即为等腰直角三角形，从而为直角.又为底边中点，所以.令，

10、则，易得，所以，从而由勾股定理的逆定理可得，即.由，所以平面.又因为平面，由面面垂直的判定定理可得平面平面.题型96 与垂直有关的开放性、探索性问题暂无第六节 空间向量与立体几何题型97 空间向量及其运算题型98 空间角的计算17.（20xx全国2卷理科10）已知直三棱柱中，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）.A B C D17解析 设，分别为，的中点，则和的夹角为和夹角或其补角（异面线所成角为）.可知，取的中点，联结，则可知为直角三角形，.在中，即，则，则在中，.在中，.又异面直线所成角为，则其余弦值为故选C.18.（2107山东理17）如图所示，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形（及其内部）

11、以边所在直线为旋转轴旋转得到的，是的中点.（1）设是上的一点，且，求的大小；（2）当，求二面角的大小.18.解析 （1）因为，平面，所以平面.又平面，所以.又，所以.（2）以为坐标原点，分别以，所在的直线为，轴，建立如图所示的空间直角坐标系.由题意得，则，.设是平面的一个法向量，由，可得，取，可得平面的一个法向量.设是平面的一个法向量，由，可得，取，可得平面的一个法向量.从而，易知二面角为锐角.因此所求的角为.19.（20xx江苏22）如图所示，在平行六面体中，平面，且，（1）求异面直线与所成角的余弦值；（2）求二面角的正弦值19.解析 在平面内，过点作，交于点因为平面，所以，如图所示，以为正

12、交基底，建立空间直角坐标系因为，则，（1），则因此异面直线与所成角的余弦值为（2）平面的一个法向量为设为平面的一个法向量，又，则，即不妨取，则，所以为平面的一个法向量.从而，设二面角的大小为，则因为，所以因此二面角的正弦值为20.（20xx全国1卷理科18）如图所示，在四棱锥中，且.(1)求证：平面平面；(2)若，求二面角的余弦值.20. 解析 （1）证明：因为，所以，.又因为，所以.又因为，平面，所以平面.又平面，所以平面平面.（2）取的中点，的中点，联结，因为，所以四边形为平行四边形，所以.由（1）知，平面，所以平面.又，平面，所以，.又因为，所以，从而，两两垂直.以为坐标原点，建立如图所

13、示的空间直角坐标系，设，所以，所以，.设为平面的一个法向量，由，得.令，则，可得平面的一个法向量.因为，所以，又知平面，平面，所以，又，所以平面.即是平面的一个法向量，从而.由图知二面角为钝角，所以它的余弦值为.21.（20xx全国2卷理科19）如图所示，在四棱锥中，侧面为等边三角形且垂直于底面， 是的中点.（1）求证：直线平面；（2）点在棱上，且直线与底面所成的锐角为，求二面角的余弦值.21解析 （1）令的中点为，联结，如图所示因为点，为，的中点，所以为的中位线，所以又因为，所以又因为，所以，于是从而四边形为平行四边形，所以又因为，所以平面.（2）以的中点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐

14、标系设，则，点在底面上的投影为，所以，联结因为，所以为等腰直角三角形因为为直角三角形，所以设，所以从而所以，设平面的法向量，则，所以，易知平面的一个法向量为，从而故二面角的余弦值为22.（20xx全国3卷理科19）如图所示，四面体中，是正三角形，是直角三角形，（1）求证：平面平面；（2）过的平面交于点，若平面把四面体分成体积相等的两部分，求二面角的余弦值22解析 如图所示，取的中点为，联结，.因为为等边三角形，所以，.由，得，所以，即为等腰直角三角形，从而为直角.又为底边中点，所以.令，则，易得，所以，从而由勾股定理的逆定理可得，即.由，所以平面.又因为平面，由面面垂直的判定定理可得平面平面.

15、由题意可知，即，到平面的距离相等，即点为的中点.以为坐标原点，为轴正方向，为轴正方向，为轴正方向，设，建立空间直角坐标系，则，易得，.设平面的法向量为，平面的法向量为，则，取；，取.设二面角为，易知为锐角，则.23.（20xx北京理16）如图所示，在四棱锥中，底面为正方形，平面平面，点在线段上，平面，（1）求证：为的中点；（2）求二面角的大小；（3）求直线与平面所成角的正弦值23.解析 （1）设的交点为，联结.因为平面，平面平面，所以.因为是正方形，所以为的中点，所以为的中点.（2）取的中点，联结，.因为，所以.又因为平面平面，且平面，所以平面.因为平面，所以.因为是正方形，所以.如图所示，建

16、立空间直角坐标系，则，.设平面的法向量为，则，即.令，则，于是.平面的法向量为，所以.由题知二面角为锐角，所以它的大小为.（3）由（1）知，.设直线与平面所成角为，则.所以直线与平面所成角的正弦值为.24.（20xx天津理17）如图所示，在三棱锥中，底面，.点分别为棱，的中点，是线段的中点，.（1）求证：平面；（2）求二面角的正弦值；（3）已知点在棱上，且直线与直线所成角的余弦值为，求线段的长.24.解析 如图所示，以为坐标原点，为基底，建立如图所示的空间直角坐标系，依题意可得，（1）证明：，.设为平面的一个法向量，则，即，不妨设，可得.又，可得，因为平面，所以平面（2）易知为平面的一个法向量

17、.设为平面的一个法向量，则，因为，所以.不妨设，可得.因此有，于是.所以二面角的正弦值为.（3）依题意，设，则H（0，0，h），进而可得，.由已知得，整理得，解得或.所以线段AH的长为或.25.（2107浙江19）如图所示，已知四棱锥，是以为斜边的等腰直角三角形，为的中点.（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.25.解析 （1）如图所示，设DE的中点为，联结，.因为，分别为，的中点，所以，且.又因为，所以，且，所以四边形为平行四边形，所以，又平面，所以平面.（2）分别取，的中点为，.联结交于点，联结.因为，分别是，的中点，所以为的中点，在平行四边形中，.由为等腰直角三角形，得.由

18、，是的中点，所以，且,所以四边形是平行四边形，所以，所以.又,所以平面，由，得平面，又平面，所以平面平面.过点作的垂线，垂足为，联结.是在平面上的射影，所以是直线与平面所成的角.设.在中，由，由余弦定理得，又平面，平面，所以.在中，由，,为的中点，得.在中，所以，所以直线与平面所成角的正弦值是.26（2107浙江9）如图所示，已知正四面体（所有棱长均相等的三棱锥），分别为，上的点，分别记二面角，的平面角为，则（ ）.A BC D26.解析 如图所示，设点在底面内的射影为，判断到，的距离，到哪条线段的距离越小，对应的二面角就越大.显然有均为锐角为三等分点，到三边的距离相等动态研究问题：，所以到的

19、距离不变，到的距离减少，到的距离变大所以题型99 空间距离的计算暂无题型100 与空间角、空间距离有关的开放性、探索性问题暂无27.（20xx全国3卷理科16），为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形的直角边所在的直线与，都垂直，斜边以直线为旋转轴旋转，有下列结论：当直线与成角时，与成角；当直线与成角时，与成角；直线与所成角的最小值为；直线与所成角的最小值为；其中正确的是_.（填写所有正确结论的编号）.27解析 由题意知，三条直线两两相互垂直，作出图像如图所示不妨设图中所示的正方体的边长为1，故，边以直线为旋转轴旋转，则点保持不变，点的运动轨迹是以为圆心，1为半径的圆以为坐标原点，以为轴正

20、方向，为轴正方向，为轴正方向，建立空间直角坐标系则，直线的方向单位向量，点起始坐标为，直线的方向单位向量，设点在运动过程中的坐标，其中为与的夹角，.那么在运动过程中的向量，设与直线所成夹角为，则，所以，故正确，错误设与直线所成夹角为，.当与直线夹角为时，即，因为，所以从而因为，所以，此时与的夹角为所以正确，错误故填 .28.（20xx天津理17）如图所示，在三棱锥中，底面，.点分别为棱，的中点，是线段的中点，.（1）求证：平面；（2）求二面角的正弦值；（3）已知点在棱上，且直线与直线所成角的余弦值为，求线段的长.28.解析 如图所示，以为坐标原点，为基底，建立如图所示的空间直角坐标系，依题意可得，（1）证明：，.设为平面的一个法向量，则，即，不妨设，可得.又，可得，因为平面，所以平面（2）易知为平面的一个法向量.设为平面的一个法向量，则，因为，所以.不妨设，可得.因此有，于是.所以二面角的正弦值为.（3）依题意，设，则H（0，0，h），进而可得，.由已知得，整理得，解得或.所以线段AH的长为或.题型101 立体几何中的最值问题探究与扩展暂无