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1、新编人教版精品教学资料第三课平面向量核心速填1向量的运算(1)加法：，若四边形OABC为平行四边形，则.(2)减法：.(3)数乘：|a|a|.(4)数量积：ab|a|b|cos (a与b的夹角为)2两个重要定理(1)向量共线定理：向量a(a0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数，使ba.(2)平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数1，2，使a1e12e2，其中e1，e2是一组基底3两个非零向量平行、垂直的充要条件若a(x1，y1)b(x2，y2)，则：(1)abab(0)x1y2x2y10.(2)abab0x1x2y1y20
2、.4平面向量的三个性质(1)若a(x，y)，则|a|.(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|.(3)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，为a与b的夹角，则cos .体系构建题型探究平面向量的线性运算(1)平面上有A(2，1)，B(1,4)，D(4，3)三点，点C在直线AB上，且，连接DC延长至E，使|，则点E的坐标为_图21(2)如图21，在正五边形ABCDE中，若a，b，c，d，e，求作向量acbde. 【导学号：84352275】(1)(1)，()2(3，6)，点C坐标为(3，6)由|，且E在DC的延长线上，.设E(x，y)，则(x3，y6)(4x，3y)，得解得即E.(2)a
3、cbde(ab)(cde)()().如图，连接AC，并延长至点F，使CFAC，则，所以，即为所求作的向量acbde.规律方法1.向量加法是由三角形法则定义的，要点是“首尾相连”，即.向量加法的平行四边形法则：将两向量移至共起点，分别为邻边作平行四边形，则同起点对角线的向量即为向量的和加法满足交换律、结合律2向量减法实质是向量加法的逆运算，是相反向量的作用几何意义有两个：一是以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量；二是加法的平行四边形法则的另外一条对角线的向量注意两向量要移至共起点3数乘运算即通过实数与向量的乘积，实现同向或反向上向量长度的伸缩变换跟踪训练1如图22所示，在ABC中，P
4、是BN上的一点，若m，则实数m的值为_图22设，则m(m1).与共线，(m1)0，m.平面向量数量积的运算(1)已知点A(1,1)、B(1,2)、C(2，1)、D(3,4)，则向量在方向上的投影为()ABCD(2)如图23，在梯形ABCD中，ABCD，AB4，AD3，CD2，2.若3，则_. 【导学号：84352276】图23(1)A(2)(1)(2,1)，(5,5)，向量(2,1)在(5,5)上的投影为|cos，|.(2)因为23，所以.规律方法向量数量积的求解策略(1)利用数量积的定义、运算律求解.在数量积运算律中，有两个形似实数的完全平方公式在解题中的应用较为广泛，即(ab)2a22ab
5、b2，(ab)2a22abb2，上述两公式以及(ab)(ab)a2b2这一类似于实数平方差的公式在解题过程中可以直接应用.(2)借助零向量.即借助“围成一个封闭图形且首尾相接的向量的和为零向量”，再合理地进行向量的移项以及平方等变形，求解数量积.(3)借助平行向量与垂直向量.即借助向量的拆分，将待求的数量积转化为有垂直向量关系或平行向量关系的向量数量积，借助ab，则ab0等解决问题.(4)建立坐标系，利用坐标运算求解数量积.跟踪训练2在边长为1的菱形ABCD中，BAD60，E是BC的中点，则等于()A. B.C. D.D建立如图平面直角坐标系，则A，C，B.E点坐标为，(，0)，.平面向量的平
6、行与垂直问题(1)已知向量m(1,1)，n(2,2)，若(mn)(mn)，则()A4 B3C2D1(2)设A，B，C，D为平面内的四点，且A(1,3)，B(2，2)，C(4,1)若，求D点的坐标设向量a，b，若kab与a3b平行，求实数k的值. (1)B(1)因为mn(23,3)，mn(1，1)，且(mn)(mn)，所以(mn)(mn)2330，解得3.(2)设D(x，y)因为，所以(2，2)(1,3)(x，y)(4,1)，化为(1，5)(x4，y1)，所以解得所以D(5，4)因为a(2，2)(1,3)(1，5)，b(4,1)(2，2)(2,3)，所以kabk(1，5)(2,3)(k2，5k3
7、)，a3b(1，5)3(2,3)(7,4)因为kab与a3b平行，所以7(5k3)4(k2)0，解得k.所以k.母题探究：1.将例3(2)中的“”改为“”，“平行”改为“垂直”，求实数k的值解因为a(1，5)，b(3，2)，所以kab(k3，5k2)，a3b(10，11)，因为(kab)(a3b)，所以(kab)(a3b)10(k3)11(5k2)65k520，解得k.2在例3(2)中若A，B，D三点共线，且ACCD，求点D的坐标解设点D的坐标为(x，y)，则(1，5)，(x1，y3)，(3，2)，(x4，y1)，由题意得，所以整理得解得x2，y2，所以点D的坐标为(2，2)规律方法1.证明共
8、线问题常用的方法(1)向量a，b(a0)共线存在唯一实数，使ba.(2)向量a(x1，y1)，b(x2，y2)共线x1y2x2y10.(3)向量a与b共线|ab|a|b|.(4)向量a与b共线存在不全为零的实数1，2，使1a2b0.2证明平面向量垂直问题的常用方法abab0x1x2y1y20，其中a(x1，y1)，b(x2，y2).平面向量的模、夹角(1)已知向量a，b夹角为45，且|a|1，|2ab|，则|b|_.(2)已知cmanb，c(2，2)，ac，b与c的夹角为，bc4，|a|2，求实数m，n的值及a与b的夹角. 【导学号：84352278】(1)3(1)因为向量a，b夹角为45，且
9、|a|1，|2ab|，所以，化为4|b|24|b|cos 4510，化为|b|22|b|60，因为|b|0，解得|b|3.(2)c(2，2)，|c|4.ac，ac0.bc|b|c|cos|b|44，|b|2.cmanb，c2macnbc，16n(4)，n4.在cmanb两边同乘以a，得08m4ab.在cmanb两边同乘以b，得mab12.由，得m，ab2，cos ，或.规律方法1.解决向量模的问题常用的策略(1)应用公式：|a|(其中a(x，y)(2)应用三角形或平行四边形法则(3)应用向量不等式|a|b|ab|a|b|.(4)研究模的平方|ab|2(ab)2.2求向量的夹角设非零向量a(x1
10、，y1)，b(x2，y2)，两向量夹角(0)的余弦cos .跟踪训练3已知向量a(1,2)，b(2，4)，|c|，若(cb)a，则a与c的夹角为()A30 B60C120D150Cab10，则(cb)acabaca10，所以ca，设a与c的夹角为，则cos ，又0，180，所以120.平面向量在平面几何和物理中的应用(1)用两条成120角的等长的绳子悬挂一个物体，如图24所示，已知物体的重力大小为10 N，则每根绳子的拉力大小是_图24(2)如图25所示，在正方形ABCD中，P为对角线AC上任一点，PEAB，PFBC，垂足分别为E，F，连接DP，EF，求证：DPEF. 【导学号：8435227
11、9】图25(1)10 N因绳子等长，所以每根绳子上的拉力和合力所成的角都相等，且等于60，故每根绳子的拉力大小都是10 N(2)证明：法一：(基向量法)设正方形ABCD的边长为1，AEa(0a1)，则EPAEa，PFEB1a，APa，()()1acos 1801(1a)cos 90aacos 45a(1a)cos 45aa2a(1a)0，即DPEF.法二：(坐标法)设正方形边长为1，建立如图所示的平面直角坐标系，设P(x，x)，则D(0,1)，E(x,0)，F(1，x)，所以(x，x1)，(1x，x)，由x(1x)x(x1)0，所以，即DPEF.规律方法平面向量两个方面的应用(1)平面几何应用向量几何问题共线向量点共线问题、直线与直线平行数乘向量求线段长度之比数量积线段的长度、直线与直线的夹角(2)物理应用：速度、位移、力、功跟踪训练4已知点O，N，P在ABC所在平面内，且|，0，则点O，N，P依次是ABC的()A重心、外心、垂心 B重心、外心、内心C外心、重心、垂心D外心、重心、内心C因为点O到ABC的三个顶点距离相等，所以点O是ABC的外心因为0，所以，设线段AB的中点为M，则2.由此时可知N为AB边中线的三等分点(靠近中点M)所以N是ABC的重心因为，所以()0，即0，所以.同理由可证，所以P是ABC的垂心
新编高中数学第二章平面向量阶段复习课第3课平面向量学案新人教A版必修4
