新编高考数学江苏专用理科专题复习：专题8 立体几何与空间向量 第55 Word版含解析

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1、1(20xx全国乙卷)如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，平面ABEF为正方形，AF2FD，AFD90，且二面角DAFE与二面角CBEF都是60.(1)证明：平面ABEF平面EFDC；(2)求二面角EBCA的余弦值2已知三棱锥PABC中，PA平面ABC，ABAC，PAACAB，N为AB上一点，AB4AN，M，S分别为PB，BC的中点(1)证明：CMSN；(2)求SN与平面CMN所成角的大小3.如图，AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆上的点(1)求证：平面PAC平面PBC；(2)若AB2，AC1，PA1，求二面角CPBA的余弦值4(20xx浙江)如图，在三棱台ABCDEF

2、中，平面BCFE平面ABC，ACB90，BEEFFC1，BC2，AC3.(1)求证：BF平面ACFD；(2)求二面角BADF的平面角的余弦值答案精析1(1)证明由已知可得AFDF，AFFE，DFFEF，DF，FE都在平面EFDC中，所以AF平面EFDC，又AF平面ABEF，故平面ABEF平面EFDC.(2)解过D作DGEF，垂足为G，由(1)知DG平面ABEF.以G为坐标原点，的方向为x轴正方向，|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Gxyz.由(1)知DFE为二面角DAFE的平面角，故DFE60，则DF2，DG，可得A(1,4,0)，B(3,4,0)，E(3,0,0)，D(0,0，)由已知

3、，ABEF，所以AB平面EFDC，又平面ABCD平面EFDCCD，故ABCD，CDEF，由BEAF，可得BE平面EFDC，所以CEF为二面角CBEF的平面角，CEF60，从而可得C(2,0，)所以(1,0，)，(0,4,0)，(3，4，)，(4,0,0)设n(x，y，z)是平面BCE的法向量，则即所以可取n(3,0，)设m是平面ABCD的法向量，则同理可取m(0，4)，则cosn，m.故二面角EBCA的余弦值为.2(1)证明设PA1，以A为原点，射线AB，AC，AP分别为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系Axyz，如图则P(0,0,1)，C(0,1,0)，B(2,0,0)，M(1,0，)，

4、N(，0,0)，S(1，0)(1，1，)，(，0)，00，即CMSN.(2)解由(1)得(，1,0)设平面CMN的一个法向量为a(x，y，z)，则得可取a(2,1，2)设SN与平面CMN所成的角为，sin|cosa，|，直线与平面所成的角属于0，90，45，即SN与平面CMN所成角为45.3(1)证明由AB是圆的直径，得ACBC.由PA平面ABC，BC平面ABC，得PABC.又PAACA，PA平面PAC，AC平面PAC，BC平面PAC.又BC平面PBC，平面PBC平面PAC.(2)解方法一过点C作CMAP，则CM平面ABC.如图，以点C为坐标原点，分别以直线CB，CA，CM为x轴，y轴，z轴建

5、立空间直角坐标系Cxyz.AB2，AC1，BC.PA1，A(0,1,0)，B(，0,0)，P(0,1,1)(，0,0)，(0,1,1)，(0,0,1)，(，1,0)设平面BCP的法向量为n1(x1，y1，z1)，则即不妨令y11，则n1(0,1，1)设平面ABP的法向量为n2(x2，y2，z2)，则，即不妨令x21，则n2(1，0)于是cosn1，n2.所求二面角CPBA的余弦值为.方法二如图，过点C作CMAB于M.PA平面ABC，CM平面ABC，PACM，又PAABA，PA平面PAB，AB平面PAB，故CM平面PAB.过点M作MNPB于N，连结NC，由三垂线定理得CNPB，CNM为二面角CP

6、BA的平面角在RtABC中，由AB2，AC1，得BC，CM，BM.在RtPAB中，由AB2，PA1，得PB.RtBNMRtBAP.，MN.在RtCNM中，CN，cosCNM，所求二面角CPBA的余弦值为.4(1)证明延长AD，BE，CF相交于一点K，如图所示因为平面BCFE平面ABC，平面BCFE平面ABCBC，且ACBC，所以AC平面BCFE，因此BFAC.又因为EFBC，BEEFFC1，BC2，所以BCK为等边三角形，且F为CK的中点，则BFCK，且CKACC，CK，AC都在平面ACFD内，所以BF平面ACFD.(2)解方法一过点F作FQAK于点Q，连结BQ.因为BF平面ACFD，AK在平

7、面ACFD内，所以BFAK，则AK平面BQF，BQ在平面BQF内，所以BQAK.又BF，FQ平面ACFD，BFFQF，所以BQF是二面角BADF的平面角在RtACK中，AC3，CK2，得FQ.在RtBQF中，FQ，BF，得cosBQF.所以二面角BADF的平面角的余弦值为.方法二如图则BCK为等边三角形取BC的中点O，连结KO，则KOBC，又平面BCFE平面ABC，所以KO平面ABC.由题意得B(1,0,0)，C(1,0,0)，K(0,0，)，A(1，3，0)，E，F.因此(0,3,0)，(1,3，)，(2,3,0)设平面ACK的法向量为m(x1，y1，z1)，平面ABK的法向量为n(x2，y2，z2)由得取m(，0，1)；由得取n(3，2，)于是cosm，n.所以二面角BADF的平面角的余弦值为.