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1、自动控制原理教学探讨叠加原理与线性系统的判别问题四川大学电气信息学院自动化系 赵耀2014年9月问题：初始状态不为零的标准线性系统是否满足叠加原理？例：RC电路，输入为，输出为uoui R C 属于标准的线性系统，应当满足叠加原理。设，输出的初值为，输入为阶跃信号，其幅值为，则输出响应为 上式的第一项对应由初始状态引起的零输入响应，第二项对应由输入信号引起的零状态响应。显然，由于零输入响应项的存在，若输入的幅值增大一倍，对应的输出只是零状态响应部分增大一倍，不会整体增大一倍，即整体并不满足叠加原理的均匀性；同样道理，整体看，把2个输入分别作用产生的响应叠加起来并不等于2个输入同时作用产生的响应
2、，即不满足叠加原理的叠加性，只有零状态响应部分满足叠加性。表面上看，似乎系统不满足叠加原理。对于该问题，应当怎么看？实际上，零输入响应对应的方程为即相当于输入时的响应，所以应当把系统总的响应看作两部分响应的叠加，即所对应的零输入响应加上所对应的零状态响应。这样看，系统就完全满足叠加原理了。上述分析说明，叠加原理所讲的某个输入产生某个响应，指的是该响应完全由该输入引起（即系统属于因果系统），即不施加该输入的情况下就不应当有输出，其他因素引起的任何响应都不应当考虑进来。因此，使用叠加原理时，首先应当把每一种输入和输出的对应关系划分清楚。再看一个例子，设系统的数学描述为 ，式中和分别为系统输入和输出
3、。显然，该系统不满足叠加原理，似乎应当是非线性系统，但该系统在本质上仍然属于线性系统，和所代表的系统没有本质区别。这种情况下又应当如何看待不满足叠加原理这一问题呢？对于该例，一种思路是可以认为该系统相当于初始值不为零的线性系统，即不加输入时系统的初始值为5。也就是说，输入对应输出，输入对应输出，则输入为时，对应的输出为，满足叠加原理。 另一种思路是进行线性变换，令（相当于坐标平移）， 则， 为线性系统，满足叠加原理。对于很多实际系统往往也是这样处理的，例如分析和设计温度控制系统时，由于不施加控制时系统的温度有一个初值（常温），所以系统的输出量一般并不是选取实际温度值，而是实际温度值减去温度初值，控制作用改变对应该温度差值的变化。这样对应输入与输出，就可以把系统近似地看作线性系统了。
自动控制原理教学探讨——叠加原理与线性系统的判别标准
