病人候诊问题

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1、4.2病人候诊问题1问题的提出 某私人诊所只有一位医生，来看病的病人和该医生的诊病时间都是随机的。假设病人的到达听从泊松分布且每小时有4位病人到来，看病时间听从负指数分布，平均每个病人需要12分钟。试分析该诊所的工作状况。即求该诊所内排队候诊病人的期望，病人看一次病平均所需的时间，医生空闲的概率等等2模型的筹备 此题是典型的排队论问题，也是一个典型的单通道效劳排队系统。排队论也称随机效劳系统理论，它涉及的排队现象特别广泛：如病人候诊，顾客到商店购物，轮船入港，机器等待修理等等。排队论的目的是商量排队系统的运行效率，估量效劳质量，在顾客和效劳机构的规模之间进行协调，以决定系统的结构是否合理，权衡

2、决策，使其到达合理的平衡状态。在排队论中，推断系统运行优劣的根本数量指标通常有：1排队系统的队长，即指排队系统中的顾客数，它的期望值记为L。相应的排队系统中等待效劳的顾客数，其期望值记为。显然，L或大，说明效劳效率越低。2等待时间，即指一顾客在排队系统中等待效劳的时间，其期望值记为。相应的，逗留时间是指一个顾客在排队系统中停留的时间，即从进入效劳系统到效劳完毕的整个时间。其期望值记为W。3忙期，指从顾客到达空闲效劳机构起到效劳机构再次为空闲止这段时间长度，即效劳机构连续工作的时间长度。 另外还有，效劳设备利用率，顾客损失率等一些指标。排队论中的排队系统有以下三局部组成：1输入过程，即顾客来到效

3、劳台的概率分布。在输入过程中要弄清顾客按怎样的规律到达。2排队规那么，即顾客排队和等待的规那么，排队规那么一般有即时制和等待制两种。所谓即时制就是当效劳台被占用时顾客便随即离去；等待制就是当效劳台被占用时顾客便排队等待效劳。等待制效劳的次序规那么有先到先效劳，随机效劳，有优先权的先效劳等。3效劳机构，其主要特征为效劳台的数目，效劳时间的分布。效劳机构可以是没有效劳员的，也可以是一个或多个效劳员；可以对单独顾客进行效劳，也可以对成批顾客进行效劳。和输入过程一样，多数的效劳时间都是随机的，但通常假定效劳时间的分布是平稳的。要解决这里的病人候诊问题，只要分析排队论中最简洁的单效劳台排队问题即可。所谓

4、单效劳台是指效劳机构由一个效劳员组成，对顾客进行单独的效劳。下面通过对这类问题的分析和商量来解决病人候诊问题。3模型假设1顾客源无限，顾客单个到来且相互独立，顾客流平稳，不考虑消失顶峰期和空闲期的可能性。2排队方式为单一队列的等待制，先到先效劳。队长没有限制。3顾客流满足参数为的泊松分布，其中是单位时间到达顾客的平均数。4各顾客的效劳时间听从参数为的负指数分布，其中表示单位时间内能服务完的顾客的平均数。5顾客到达的时间间隔和效劳时间是相互独立的。4模型的分析与建模 为了确定系统的状态，引入(t)表示在时刻t时排队系统中有n个顾客的概率。由假设知，当充分小时，在 时间间隔内：有一个顾客到达的概率

5、为，有一个顾客离开的概率为，多于一个顾客到达或离开的概率为 ，可忽视。 在时刻系统内有n个顾客的状态可由以下四个互不相容的大事组成：1t时刻有n个顾客，在内没有顾客到来，也没有顾客离开，其概率为；2t时刻有n个顾客，在内有一个顾客到来，同时也有一个顾客离开，其概率为；3t时刻有n-1个顾客，在内有一个顾客到来，没有顾客离开，其概率为；4t时刻有n+1个顾客，在内没有顾客到来，有一个顾客离开，其概率为。因此，在t+ 时刻，系统中有n个顾客得概率为满足：令得考虑特别情形：当n=0时，即在时刻时系统内没有顾客的状态，同理，它由以下三个互不相容的大事组成：1t时刻系统中没有顾客，在内没有顾客来，概率为

6、；2t时刻系统中没有顾客，在内有一个顾客到达，接受完效劳后又离开，其概率为3t时刻系统内有一个顾客，在 内该顾客离开，没有顾客来，其概率为 因此就得到系统状态应听从的模型： 5) 模型求解为评估系统的效劳质量，推断其运行特征，需要依据上面的模型求解该系统的如下运行指标：系统中平均顾客数L，系统中平均正在排队的顾客数，顾客在系统中平均逗留时间W，顾客平均排队等待的时间，系统内效劳台空闲的概率，即顾客来后无需等待的概率。所求得的模型，是有无限个方程组成的微分方程组，求解相当麻烦。在实际的应用中，我们只需要知道系统在运行了很长时间后的稳态解，即假设当t充分大时，系统的概率分布已不随时间变化，到达了统

7、计平衡。在稳态时, 与t无关, , ,从而得到一差分方程： (1) 令，它表示平均每单位时间内系统可以为顾客效劳的时间比例，它是刻画效劳效率和效劳机构利用程度的重要标志，称为效劳强度。我们的问题求解将在1的条件下进行，否那么系统内排队的长度将无穷增大，永久不能到达稳定状态。由差分方程1，得 又由概率的性质和1，得从而， 下面我们就可以计算出系统的一些重要运行指标。1 系统中平均顾客数L： =2 排队等待效劳的顾客平均数：3在系统中顾客平均排队等待的时间：当一个顾客进入系统时，发现前面已有n个顾客在系统中，那么他的排队平均时间为这n个顾客的平均效劳时间的总和。不管该顾客到达之时，正在效劳的顾客已

8、经效劳了多少时间，由于负指数分布的无记忆性，其剩余的效劳照旧听从相同的指数分布。因此，当该顾客进入时系统原来有n个顾客的情况下，他等待的平均时间为，最后得 4顾客在系统中平均逗留时间为 对病人候诊问题，候诊的病人即为“顾客，医生极为供应效劳得人，称为“效劳员。候诊的病人和医生组成一个单效劳台的排队系统。由题意知，从而，该诊所内平均有病人数为 人该诊所内排队候诊病人的平均数为 (人) 排队等候看病的平均时间： (小时)看一次病平均所需的时间： (小时)诊所的医生空闲的概率，即诊所中没有病人的概率为：6) 模型推广病人候诊这类问题所涉及的是建立一类数学模型，借以对随机发生的需求供应效劳的系统猜测其

9、行为。在刚刚的建模中，我们考虑的是顾客源为无限的情形。在实际情况下，我们常考虑系统容量有限的模型记之为模型。这类模型，可以在模型假设中将原模型假设中的假设1中“认为顾客源无限改为“认为排队系统的容量为N，即排队等待的顾客最多为N1，在某时刻一顾客到达时，如系统中已有N个顾客，那么这个顾客就被拒绝进入系统，其他假设一样。同样商量系统中有n个顾客的概率,类似可得： 当n=N时，由同样的方法得： 在稳态情况下，令，得 在条件下，解得 这里，不用假设1由于我们限制了系统的容量。得到的各种指标为：(1) (2) (3) (4) 应该指出，是指有效到达率，它与平均到达率不同。这儿对W，的导出过程中用而不接

10、受 主要是由于当系统已满时，顾客的实际到达率为0。又正在被效劳的顾客的平均数为 ，又概率 , 从而。把病人候诊问题修改为“某私人诊所只有一位医生，诊所内有6个椅子，当6个椅子都坐满时，后来的病人不进诊所就离开。病人平均到达率为4人/时，医生每小时可诊5个病人，试分析该效劳系统。就可以系统容量有限的模型来求解。此时,由题意知： 从而，诊所的医生空闲的概率 平均需要等待的顾客数量为 (人) (人)有效到达率为(人/时)病人在诊所中平均逗留时间为 7 一些注解1. 关于排队系统一般地，用/代表一个排队系统，其中代表到达顾客数听从分布；代表对每一个顾客的效劳时间遵从分布；代表该系统内有个效劳人员。而该

11、单道等待制排队系统称为M/M/1系统。其中M代表马尔可夫过程泊松过程，负指数分布，1代表1个效劳员。2 假设的依据 模型的假设3“假设顾客流满足参数为的泊松分布，其中是单位时间到达顾客的平均数和假设5“顾客到达的时间间隔和效劳时间是相互独立的是依据随机过程的一个结论“顾客相继到达的时间间隔独立且为负指数分布的充要条件是输入过程听从泊松分布给出的。3 顾客流和效劳时间的分布虽然顾客流不肯定只能是泊松过程，而效劳时间也不只能是听从负指数分布，但一般情况下对顾客流的商量都认为是泊松分布，而效劳时间可为正态分布以及分布，只是使得分析更为简单。例：假设1顾客在0,t内按泊松分布规律到达效劳点；2一个效劳

12、员；3效劳时间为分布的随机变量，其参数为，即效劳时间的概率密度为 () 其中 为常数当然商量这个题目时，我们可以将以为参数的分布的随机变量可以看作k个独立同负指数分布的随机变量之和，故可把本问题看成“顾客成批到达，每批k个顾客；0,t内到达的批数按泊松分布规律，其参数为；一个效劳员，效劳时间为负指数分布的随机变量，平均效劳时间为的这样一个排队效劳问题。4 常系数差分方程及求解方法 方程 *称为k阶齐次线性差分方程，其中是常数，。差分方程*的解法为：用代入方程*并消去得到特征方程 *设方程*有k个不同的根，那么常系数差分方程*的一般解可以表示为其中是任意常数。内容总结14.2病人候诊问题1问题的提出 某私人诊所只有一位医生，来看病的病人和该医生的诊病时间都是随机的22排队规那么，即顾客排队和等待的规那么，排队规那么一般有即时制和等待制两种3下面通过对这类问题的分析和商量来解决病人候诊问题4在实际情况下，我们常考虑系统容量有限的模型记之为模型9 / 9文档可自由编辑打印