小学数学思想的梳理

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1、文档供参考，可复制、编制，期待您的好评与关注！ 小学数学思想的梳理（部分） 2011-09-05 21:24:13| 分类： 课堂教学方法 |字号 订阅本文引用自PigLeg小学数学思想的梳理（部分）原文摘自小学数学思想方法的梳理（人教社王永春）和部分网络资源整理：林少暄所谓的数学思想，是指人们对数学理论与内容的本质认识，是从某些具体数学认识过程中提炼出的一些观点，它揭示了数学发展中普遍的规律，它直接支配着数学的实践活动，这是对数学规律的理性认识。 数学思想和数学方法既有区别又有密切联系。数学思想的理论和抽象程度要高一些，而数学方法的实践性更强一些。人们实现数学思想往往要靠一定的数学方法；而人

2、数选择数学方法，又要以一定的数学思想为依据。因此，二者有密切联系的。我们把二者合称为数学思想方法。数学思想方法是数学的灵魂，那么，要想学好数学、用好数学，就要深入到数学的“灵魂深处”。 数学课程标准在总体目标中明确提出：“学生能够获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识以及基本的数学思想方法和必要的应用技能。”这一总体目标贯穿于小学和初中，这充分说明了数学思想方法的重要性。笔者认为，在小学阶段有意识地向学生渗透一些基本的数学思想方法有以下重要意义： 1、可以加深学生对数学概念、公式、法则、定律的理解，提高学生解决问题的能力和思维能力，也是小学数学进行素质教育的真正内涵之所在。2、能

3、为初中数学思想方法的学习打下较好的基础。3、是适应教育发展及数学发展的必然需要。在小学阶段，数学思想方法主要有符号思想、化归思想、类比思想、归纳思想、分类思想、方程思想、集合思想、函数思想、一一对应思想、模型思想、数形结合思想、演绎推进思想、变换思想、统计与概率思想等等。 一、符号化思想1、符号化思想的概念符号化思想主要指人们有意识地、普遍地运用符号去表述研究的对象。数学符号是数学的语言，数学世界是一个符号化的世界，数学作为人们进行表示、计算、推理和解决问题的工具符号起到了非常重要的作用；因为数学有了符号，才使得数学具有简明、抽象、清晰、准确等特点，同时也促进了数学的普及和发展；国际通用的数学

4、符号的使用，使数学成为国际化的语言。符号化思想是一般化的思想方法，具有普遍的意义。 2、如何理解符号化思想数学课程标准比较重视培养学生的符号意识，并把符号意识作为数与代数的内容之一给出了诠释。那么，在小学阶段，如何理解这一重要思想呢？下面结合案例做简要解析。第一，能从具体情境中抽象出数量关系和变化规律，并用符号表示。这是一个从具体到抽象、从特殊到一般的探索和归纳的过程。如通过几组具体的两个数相加，交换加数的位置和不变，归纳出加法交换律，并用符号表示：ab=ba。再如在长方形上拼摆单位面积的小正方形，探索并归纳出长方形的面积公式，并用符号表示：S=ab。这是一个符号化的过程，同时也是一个模型化的

5、过程。第二，理解并运用符号表示数量关系和变化规律。这是一个从一般到特殊、从理论到实践的过程。包括用关系式、表格和图象等表示情境中数量间的关系。如假设一个正方形的边长是a，那么4a就表示该正方形的周长，a2表示该正方形的面积。这同样是一个符号化的过程，同时也是一个解释和应用模型的过程。第三，会进行符号间的转换。数量间的关系一旦确定，便可以用数学符号表示出来，但数学符号不是唯一的，可以丰富多彩。这里所说的符号间的转换，主要指表示变量之间关系的表格法、解析式法、图像法和语言表示之间的转换。用多种形式描述和呈现数学对象是一种有效获得对概念本身或问题背景深入理解的方法。因此用多种方法表示不仅可以加强对概

6、念的理解，而且也是解决问题的重要策略从数学学习心理的角度看，不同的思维形式之间的转换及其表达方式是数学学习的核心。能把变量之间关系表示的一种形式转换为另一种方式，是构成数学学习过程中的重要方面。如一辆汽车的行驶时速为定值80千米，那么该辆汽车行驶的路程和时间成正比，它们之间的数量关系既可以用表格的形式表示，也可以用公式s=80t表示，还可以用图象表示。即这些符号是可以相互转换的。第四，能选择适当的程序和方法解决用符号所表示的问题。这是指完成符号化后的下一步工作，就是进行数学的运算和推理。能够进行正确的运算和推理是非常重要的数学基本功，也是非常重要的数学能力。 3、符号化思想的具体应用数学的发展

7、经历了几千年，数学符号的规范和统一也经历了比较漫长的过程。如我们现在通用的算术中的十进制计数符号数字0-9于公元8世纪在印度产生，经过了几百年才在全世界通用，从通用至今也不过几百年。代数在早期主要是以文字为主的演算，直到16、17世纪韦达、笛卡尔和莱布尼兹等数学家逐步引进和完善了代数的符号体系。符号在小学数学中的应用如下表：知识领域知识点具体应用应用拓展数与代数数的表示阿拉伯数字：09 中文数字：一十 百分号：%千分号：负号： 用数轴表示数 数的运算、（）、a2、a3 数的大小关系=、运算定律加法交换律：ab=ba 加法结合律：abc=a(bc) 乘法交换律：ab=ba 乘法结合律：(ab)c

8、=a(bc) 乘法分配律：a(bc)=abaca(bc)=abac方程Xa=b aXb=c 数量关系时间、速度和路程：S=vt 正比例关系： =k(k一定) 反比例关系：xy=k(k一定) 用表格表示数量间的关系 用图象表示数量间的关系 空间与图形用字母表示计量单位长度单位：km、m、dm、cm、mm 面积单位：km2、hm2、m2、dm2、cm2 体积单位：m3、dm3、cm3 容积单位：L、ml 质量单位：t、kg、k 用符号表示图形用字母表示点：三角形ABC/ABC表示线：直线C、射线l、线段ab用符号表示角：1、2、3 互相平行：ABCD 互相垂直：ABCD 用字母表示公式长方形周长：

9、C=(ab)2长方形面积：S=ab 正方形周长：C=4a正方形面积：S=a2 平行四边形面积：S=ah 三角形面积：S=ah2 梯形面积：S=(ab)h2 圆周长：C=2r=d圆面积：S=r2 长方体表面积：S=(abahbh)2长方体体积：V=abh=sh 正方体表面积：S=6a2正方体体积：V=a3=sh 圆柱表面积：S=2r22rh圆柱体积：V=sh 圆锥体积：V= sh 统计与概率统计图和统计表用统计图表描述和分析各种信息 可能性用分数表示可能性的大小： 4、符号化思想的教学符号化思想作为数学基本的、广泛应用的思想之一，教师和学生无时无刻不在与它们打交道。教师在教学中应把握好以下几点：

10、（1）在思想上引起重视。数学课程标准把培养学生的符号意识作为必学的内容，并提出了具体要求，足以证明它的重要性。因此，教师在日常教学中应给予足够的重视。（2）把培养符号意识落实到课堂教学目标中。教师在每堂课的教学设计中，要明确符号的具体应用，并纳入教学目标中。创设合适的情境，引导学生在探索中归纳和理解数学符号化的模型，并进行解释和应用。（3）引导学生认识符号的特点。数学符号是人们在研究现实世界的数量关系和空间形式的过程中产生的。它来源于生活，但并不是生活中真实的物质存在，而是一种抽象概括。如数字1，它可以表示现实生活中任何数量是一个的物体的个数，是一种高度的抽象概括，具有一定的抽象性。一个数学符

11、号一旦产生并被广泛应用，它就具有明确的含义，就能够进行精确的数学运算和推理证明，因而它具有精确性。数学能够帮助人们完成大量的运算和推理证明，但如果没有简捷的思想和符号的参与，它的工作量及难度也是很大的，让人望而生畏。一旦简捷的符号参与了运算和推理证明，数学的简捷性就体现出来了。如欧洲人12世纪以前基本上用罗马数字进行计数和运算，由于这种计数法不是十进制的，大数的四则运算非常复杂，严重阻碍了数学的发展和普及。直到12世纪印度数字及十进制计数法传入欧洲，才使得算术有了较快发展和普及。数学符号的发展也经历了从各自独立到逐步规范、统一和国际化的过程，最明显的就是早期的数字符号从各自独立的埃及数字、巴比

12、伦数字，中国数字、印度数字和罗马数字到统一的阿拉伯数字。数学符号经历了从发明到应用再到统一的逐步完善的过程，并促进了数学的发展；反之，数学的发展也促进了符号的发展。因而，数学和符号是相互促进发展的，而且这种发展可能是一个漫长的过程。（4）符号意识的培养是一个长期的过程。符号意识的培养应贯穿于数学学习的整个过程中，学生首先要理解和掌握数学符号的内涵和思想，并通过一定的训练，才能利用符号进行比较熟练地运算，推理和解决问题。 二、数形结合思想1、数形结合思想的概念数形结合思想就是通过数和形之间的对应关系和相互转化来解决问题的思想方法。数学是研究现实世界的数量关系与空间形式的科学，数和形之间既对立以统

13、一的关系，在一定的条件下可以相互转化。这里的数是指数、代数式、方程、函数、数量关系式等，这里的形是指几何图形和函数图象。在数学的发展史上，直角坐标系的应用堪称数形结合的完美体现。数形结合思想的核心就是代数与几何的对立统一和完美结合，就是要善于把握什么时候运用代数方法解决几何问题是最佳的、什么时候运用几何方法解决代数问题是最佳的。如解决不等式和函数问题有时用图象解决非常简捷，几何证明问题在初中是难点，到高中运用解析几何的代数方法有时就比较简便。 2、数形结合思想的重要意义数形结合思想可以使抽象的数学问题直观化、使繁难的数学问题简捷化，使得原本需要通过抽象思维解决的问题，有时借助形象思维就能够解决

14、，有利于抽象思维和形象思维的协调发展和优化解决问题的方法。数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直觉，形少数时难入微”这句话深刻地揭示了数形之间的辩证关系以及数形结合的重要性。众所周知，小学生的逻辑思维能力还比较弱，在学习数学时必须面对数学的抽象性这一现实问题；教材的编排和课堂教学都在千方百计地使抽象的数学问题转化成学生易于理解的方式呈现，借助数形结合思想中的图形直观手段，可以提供非常好的教学方法和解决方案。如从数的认识、计算到比较复杂的实际问题，经常要借助图形来理解和分析，也就是说，在小学数学中，数离不开形。另外，几何知识的学习，很多时候只凭直接观察看不出什么规律和特点，这时就需要用数来表示，如一

15、个角是不是直角、两条边是否相等、周长和面积是多少等。换句话说，就是形也离不开数。因此，数形结合思想在小学数学中意义尤为重大。 3、数形结合思想的具体应用数形结合思想在数学中的应用大致可分为两种情形：一是借助于数的精确性、程序性和可操作性来阐明形的某些属性，可称之为“以数解形”；二是借助形的几何直观性来阐明某些概念及数之间的关系，可称之为“以形助数”。数形结合思想在小学数学的四大领域知识的学习中都有非常普遍和广泛的应用，主要体现在以下几个方面：一是利用“形”作为各种直观工具帮助学生理解和掌握知识、解决问题，如从低年级借助直线认识数的顺序，到高年级的画线段图帮助这生理解实际问题的数量关系。二是数轴

16、及平面直角坐标系在小学的渗透，如数轴、位置、正反比例关系图象等，使学生体会代数与几何之间的联系。这方面的应用虽然比较浅显，但这正是数形结合思想的重点所在，是中学数学的重要基础。三是统计图本身和几何概念模型都是数形结合思想的体现，统计图表把抽象的、枯燥的数据直观地表示出来，便于分析和决策。四是用代数（算术）方法解决几何问题。如角度、周长、面积和体积等的计算，通过计算三角形内角的度数，可以知识它是什么样的三角形等等。 4、数形结合思想的教学数形结合思想的教学，应注意以下几个问题。第一，如何正确理解数形结合思想。数形结合中的形是数学意义上的形，是几何图形和图象。有些老师往往容易把利用各种图形作为直观

17、手段帮助学生理解知识，与数形结合思想中的“以形助数”混淆起来。彼“形”非此“形”，小学数学中的实物和图片作为理解抽象知识的直观手段，很多时候是生活意义上的“形”，并不都是数形结合思想的应用，如：61=7，可以通过摆各种实物和几何图片帮助学生理解加法的算理，这里的几何图片并不是数形结合中的“形”，因为这里并不关心几何图片的形状和大小，用什么形状和大小的图片都行，并没有赋予图片本身形状和大小的量化的特征，甚至不用图片用小棒等材料也能起到相同的作用，因而它更是生活中的“形”。如果结合数轴（低年级往往用类似于数轴的尺子或直线）来认识数的顺序和加法，那么这把数和形（数轴）建立了对应的关系，便于比较数的大

18、小和进行加减法计算，这是真正的数形结合。由于在解决实际问题时，通过画线段图帮助学生分析数量关系是老师和学生都非常熟悉的内容，因此在案例中不再出现这方面素材。案例1：1/21/41/81/16分析：此很难用小学算术的知识直接计算，因为它有无穷多个数相加，如果是有限个数相加，用等式的性质进行恒等变换可以计算。从题中数的特点来看，每一项的分子都是1，每一项的分母都是它前一项分母的2倍，或者说第几项分母就是2的几次方，第n项就是2的n次方。联想到分数的计算可用几何直观图表示，那么现在可构造一个长度或者面积是1的线段或者正方形，不妨构造一个面积是1的正方形，如下图所示。先取它的一半作为二分之一，再取余下

19、的一半的一半作为四分之一，如此取下去当取的次数非常大时，余下部分的面积已经非常小了，用极限的思想来看，当取的次数趋向于无穷大里，余下部分的面积趋向于0，因而，最后取的面积就是1。也就是说，上面算式的得数是1。 第二，适当拓展数形结合思想的应用。数形结合思想中的以数解形在中学应用的较多，在小学数学中常见的就是计算图形的周长、面积和体积等内容。除此之外，还可以创新求变，在小学几何的范围内深入挖掘素材，在学生已有知识的基础上适当拓展，丰富小学数学的数形结合思想。案例2：把两个形状和大小相同的长方体月饼盒包装成一包，怎样包装最省包装纸？ 分析：此题是小学数学比较典型的通过探索活动发现规律的题目，一般情

20、况下教师会给学生足够的学具进行操作，拼出几种包装方法，再通过计算比较表面积的大小找到最佳答案。现在我们从代数思想出发，不用任何操作和具体数量的计算，一般性地，假设长方体的长、宽、高分别为a、b、h，并且abh（只要给出三个数的大小顺序便可，谁大谁小并不影响用代数方法推理的过程和结论）首先要明确的是，问题所求怎样包装最省包装纸，实际上就是求怎样拼才能使拼成的大长方体的表面积最小。每个长方体有6个面，两个长方体拼成一个大长方体后仍然有6个面，但这6个面的面积是原来长方体的10个面的面积，其中有两个面是原来长方体的面，另4个面分别是原来相同的两个面拼成的；也就是说，大长方体的表面积已经不是原来两个长

21、方体的12个面的面积直接相加的和了，而是它们的和再减去拼在一起的两个面的面积和。原来两个长方体的12个面的面积和是恒定不变的，因而大长方体的表面积的大小，取决于减去的（拼在一起的）两个面的面积的大小，减去的两个面的面积和越大，大长方体的表面积就越小。根据已知条件可知，abahbh，所以把最大的两个侧面贴在一起包装最省包装纸。列成公式为：S=4(abbhah)2ab。案例2：如下图，大圆半径等于小圆直径，大圆周长与小圆周长的比是多少？分析：要解决这个问题，举例子只是其中一种方法。运用数形结合思想同样可以解决。设小圆半径为r，则大圆半径为2r，它们之间的周长之比是（23.142r）:（23.142

22、r）= 2:1。 三、几何变换思想变换是数学中一个带有普遍性的概念，代数中有数与式的恒等变换、几何中图形的变换。在初等几何中，图形变换是一种重要的思想方法，它以运动变化的观点来处理孤立静止的几何问题，往往在解决问题的过程中能够收到意想不到的效果。1、初等几何变换的概念初等几何变换是关于平面图形在同一个平面内的变换，在中小学教材中出现的相似变换、合同变换等都属于初等几何变换。合同变换实际上就是相似比为1的相似变换，是特殊的相似变换。合同变换也叫保距变换，分为平移、旋转和反射（轴对称）变换等。（1）平移变换：就是说一个图形与经过平移变换后的图形上的任意一对对应点的连线相互平行且相等。平移变换有以下

23、一些性质：把图形变为与之全等的图形，因而面积和周长不变；在平移变换下两点之间的方向保持不变。在平移变换下两点之间的距离保持不变。利用平移变换可以使分散的条件集中在一起，具有更紧凑的位置关系或变换成更简单的图形。（2）旋转变换：指一个图形围绕一个定点在不变形的情况下转动一个角度的运动，就是旋转。在旋转变换下，图形的方位可能有变化。描述旋转变换有三个关键点：旋转中心、旋转方向和旋转角度（画出三角形ABC以顶点A为中心逆时针旋转90度后的图形）。转变换有以下一些性质：把图形变为与之全等的图形，因而面积和周长不变。在旋转变换下，任意两点A和B，变换后的对应点为A和B，则有直线AB和直线AB所成的角等于

24、旋转角度（即对应边所成的夹角等于旋转角度）。在旋转变换下，任意两点A和B，变换后的对应点为A和B，则有AB=AB。在解决几何问题时，旋转的作用是使原有图形的性质得以保持，但通过改变其位置，组合成新的图形，便于计算和证明。（3）反谢变换：在同一平面内，若存在一条定直线l，使对于平面上的任一点P及其对应点P，其连线PP的中垂线都是l，则称这种变换为反射变换，也就是常说的轴对称，定直线l称为对称轴，也叫反射轴。轴对称有如下性质：把图形变为与之全等的图形，因而面积和周长不变。在反射条件下，任意两点A和B，变换后的对应点为A和B，则有直线AB和直线AB所成的角的平分线为l（也可以理解为对应点到对称轴的距

25、离相等）。两点之间的距离保持不变，任意两点A和B，变换后的对应点A和B，则有AB=AB。把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称；如果一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形就叫做轴对称图形。轴对称变换和轴对称图形是两个不同的概念，前者是指图形之间的关系或折叠运动，后者是指一个图形。中小学数学中的很多图形都是轴对称图形，利用这些图形的轴对称性质，可以帮助我们解决一些计算和证明的几何问题。（4）相似变换。通俗地说就一指一个图形按照一定比例放大或缩小，图形的形状不变。相似变换有以下一些性质：两个图形的周长的比等于相似系数。两个

26、图形的面积的比等于相似系数的平方。两条直线的夹角保持不变。生活中的许多现象都渗透着相似变换的思想，如物体和图形在光线下的投影、照片和图片的放大或缩小、零件的图纸等等，因而利用相似变换可以解决生活中的一些几何问题。 2、几何变换思想的重要意义课程改革以来，几何的教学已经由传统的注重图形的性质，周长、面积和体积等的计算、演绎推理能力转变为培养空间观念、计算能力、推理能力及观察、操作、实验能力并重的全面的、和谐的发展。也就是说，新课程的理念在几何的育人功能方面注重空间观念、创新精神、探索能力、推理能力、计算能力、几何模型等全面、和谐的发展。而图形变换作为几何领域的重要内容和思想方法之一，在几何的育人

27、功能方面发挥着非常重要的作用。图形变换来源于生活中物体的平移、旋转和轴对称的这些运动现象，因而了解图形的变换，有利于我们认识生活中丰富多彩的生活空间和形成初步的空间观念；利用图形变换设计美丽的图案，有利于感受、发现和创造生活的美；有利于认识图形之间的关系和发展空间想象能力；利用图形变换把静止的几何问题通过运动变换，找到更加简捷的解决问题的方法。 3、几何变换思想的具体应用图形变换作为空间与图形领域的重要内容之一，在图形的性质、面积公式的推导、面积的计算、图形的设计和欣赏、几何的推理证明等方面都有重要的应用。小学数学中几何变换思想的应用如下表：思想方法知识点应用举例轴对称画简单的轴对称图形认识轴

28、对称图形，画出一个简单图形的轴对称图形平移变换认识平移、把简单图形平移1、判断生活中物体的运动哪些是平移现象2、画出一个简单图形沿水平方向或竖直方向平移后的图形旋转变换感知旋转现象判断生活物体的运动哪些是旋转现象把简单图形旋转900画出一个简单图形顺时针或逆时针旋转900后的图形合同变换图形的性质、面积的计算平行四边形、三角形、梯形和圆的面积公式的推导等都渗透了几何变换思想国案的欣赏和设计判断一些图案是由一些基本图形经过什么变换得到的；利用平移、旋转和轴对称等变换设计美丽的图案相似变换把简单的图形放大或缩小画出长方形、正方形、三角形等简单的图形按照一定的比例放大或缩小后的图形 4、几何变换思想

29、的教学（1）课程标准关于图形变换的内容和目标分为以下几个层次：学段内容和目标第一学段结合生活实例，感知平移、旋转和轴对称变换在方格格上画出一个简单图形沿水平方向、竖直方向平移后的图形认识轴对称图形，在方格纸上画出简单图形的轴对称图形第二学段认识图形的平移和旋转，体会图形的相似确定轴对称图形的对称轴，在方格纸上画出一个图形的轴对称图形1、在方格纸上画出简单图形平移或旋转90度后的图形2、在方格纸上画出简单图形按一定比例放大或缩小后的图形1、判断一些图案是由一些基本图形经过什么变换得到的；2、利用平移、旋转和轴对称等变换设计美丽的图案（2）教学中需要注意的问题图形变换在大纲时代的小学几何中只学习了

30、轴对称，而且不是几何中的主要内容。课程标准与大纲相比，在第一、二学段的空间与图形领域的图形变换内容方面，新增加入平移、旋转和相似变换。这些内容虽然难度不大，但是对概念的准确性和教学要求比较难把握，给一些教师的备课和教学带来一定困域。下面谈一谈如何把握相关的概念和教学要求：第一，对一些概念的准确把握平移、旋转、轴对称变换与生活中物体的平移、旋转和轴对称现象不是一个概念。数学来源于生活，但不等于生活，是生活现象的抽象和概括。生活中的平移和旋转现象往往是物体的运动，如推拉窗、传送带、电梯、钟摆、旋转门等物体的运动，都可以称之为平移现象或旋转现象。而小学中的几何变换都是指平面图形在同一个平面的变换，也

31、就是说原图形和变换后的图形都是平面图形，而且都在同一个平面内。几何中的平移、旋转和轴对称变换来自于生活中物体的平移、旋转现象和轴对称现象，如果把生活中这些物体画成平面图形，并且在同一平面上运动，就可以说成是几何中的平移、旋转和轴对称变换了。一个变换是不是合同变换或相似变换，要依据概念进行判断。如课程标准要求小学阶段的平移限于水平方向和竖直方向，实际上平移也可以沿斜线方向平移，只要满足平移的两个条件。如高山索道，滑雪等都可以看成是平移现象，画成平面图形就是平移变换。再如旋转，象旋转门、螺旋桨、水龙头等都可以看成是旋转现象，但是要注意它的严密性：一是旋转中心必须固定，二是物体不能变形，三是旋转角度

32、可大可小，可以是1度，也可以是300度。这样的旋转运动画成平面图形在同一平面的运动才是旋转变换。另外，几何意义上的变换都是从图形的对应点及其连线的几何性质进行描述的，与图形的颜色等无关。案例1：一辆汽车在笔直平坦的道路上行驶，这辆汽车的运动是平移吗？如果这辆汽车急刹车，轮胎抱死在道路上滑行是平移吗？分析：严格来说，物体的平移应该保证物体不变形而且物体上的点在物体上的位置是固定的，轮胎在转动时汽车的运动就不是平移了，轮胎抱死滑行就是平移。案例2：一架直升飞机在按一定速度飞行时螺旋桨的转动是旋转吗？它停在陆地上时螺旋桨的转动是旋转吗？分析：直升飞机在按一定速度飞行时螺旋桨在转动，但是它的旋转中心一

33、直在移动，没有固定，因此不能看成几何意义上的旋转，只能说它是生活中的旋转现象。当它停在陆地上时螺旋桨的转动就可以看成旋转了。第二，注意图形变换与其它几何知识的联系小学几何中的很多平面图形都是轴对称图形，如长方形、正方形、等腰三角形、等边三角形、等腰梯形、菱形、圆等。一方面要在学习轴对称时加强对这些图形的对称轴和轴对称的有关性质的认识；另一方面要在学习这些图形的概念和性质时进一步体会它们的轴对称特点。在推导平行四边形、三角形和梯形的面积公式时，包括在计算组合图形的面积时，都用到了变换思想。如三角形面积公式的推导，实际上是把两个完全一样的三角形中的任意一个旋转180度，再沿着一条边平移，就组合成了

34、一个平行四边形。案例3：有一石柱（如右图），上部是一圆柱体的一半，下部是一个棱长4m的正方体，求这个石柱的表面积。 分析：在计算圆柱的底面面积时，可以想像将后面的半圆沿着高平移至前方，再以圆心为旋转中心旋转180度可将两个半圆拼成一个圆。计算时只需列式：3.14(42)2，即可求出前后两个半圆的面积。 案例4：如图所示，三个同心圆的最大的圆的两条直径相互垂直，最大的圆的半径是2cm，求阴影部分的面积。 分析：此题从表面上看，阴影部分比较分散，没有足够的数据计算每部分阴影的面积。根据两条直径相互垂直可以得出每个圆都被平均分成了4份，每一份旋转90度都可以与相邻的部分重合。因此，可以把最外圈阴影部

35、分的四分之一大圆绕圆心顺时针旋转90度，把中间阴影部分的四分之一圆绕圆心逆时针旋转90度，使这两个阴影部分经过旋转集中在右上角四分之一大圆里。阴影部分的面积就是：1/43.1422。以上解题思路告诉我们，在计算一个图形尤其是组合图形的面积时，利用变换原理可以使原有的图形得到新的组合图形，转化为易于计算面积的图形，从而简化计算的步骤。第三，对教学要求和解题方法的准确把握如前所述，课程标准对图形变换的内容和教学要求有比较清晰的描述，尤其是要把握好两个学段的内容、教学要求和解题方法。首先像直观判断题，例如，一个平面内有若干图形，要判断哪些图形经过平移可以互相重合，对于小学生来说很难用任何一对对应点的

36、连线平行且相等来判断，只能通过直观感受判断，也就是说直观感受图形在没有任何转动的情况下，通过水平、竖直或者沿斜线滑动能够与另一个图形重合，就是平移。其次是像作图题，例如，画出一个图形沿着一个方向平移几格后的图形，应让学生明确，一个图形沿着一个方向平移几格，那么这个图形上的任何一个点和线段都沿着相同的方向平移几格。可重点掌握以下几个步骤：找出图形的关键的几个点；明确平移的方向和距离；画出平移后关键点的对应点；按照原图形的顺序连结各个点。再如，画出一个图形旋转90度后的图形，应让学生明确，一个图形绕一个点沿一个方向旋转多少度，那么这个图形上的任何一个点和线段都围绕该点沿着相同的方向旋转相同的度数。

37、可重点掌握以下几个步骤：确定旋转中心、旋转方向；找出图形的关键的几个点；画出旋转后关键点的对应点；按照原图形的顺序连结各个点。其中的难点是，图形的关键点与旋转中心的连线是斜线的时候如何旋转90度，可以先画能够确定旋转90度的线段，再根据原图形的形状特点来确定其他的关键点。另外，在学习利用平行线画平行四边形之前，还可以利用平移在方格纸上画平行四边形，在方格纸上先任意画出顶点在方格交叉点上的相邻两条边，再根据平移的原理画出相对的两条边。 四、化归思想1、化归思想的概念人们面对数学问题，如果直接应用已有知识不能或不易解决问题时，往往将需要解决的问题不断转化形式，把它归结为能够解决或比较容易解决的问题

38、，最终使原问题得到解决，这种思想方法称为化归（转化）思想。从小学到中学，数学知识呈现一个由易到难、从简到繁的过程；然而，人们在学习数学、理解和掌握数学的过程中，却经常通过把陌生的知识转化为熟悉的知识、把繁难的知识转化为简单的知识，从而逐步学会解决各种复杂的数学问题。因此，化归既是一般化的数学思想方法，具有普遍意义；同时，化归思想也是攻克各种复杂问题的法宝之一，具有重要的意义和作用。 2、化归所遵循的原则化归思想的实质就是在已有的简单的、具体的、基本的知识的基础上，把未知的化为已知、把复杂化为简单、把一般化为特殊、把抽象化为具体、把非常规化为常规，从而解决问题。因此，应用化归思想时要遵循以下几个

39、基本原则：（1）数学化原则，即把生活中的问题转化为数学问题，建立数学模型，从而应用数学知识找到解决问题的方法。数学来源于生活，应用于生活。学习数学的目的之一就是要利用数知识解决生活中的各种问题，课程标准特别强调的目标之一就是培养实践能力。因此，数学化原则是一般化的普遍的原则之一。（2）熟悉化原则，即把陌生的问题转化为熟悉的问题。人们学习数学的过程，就是一个不断面对新知识的过程；解决疑难问题的过程，也是一个面对陌生问题的过程。从某种程度上说，这种转化过程对学生来说既是一个探索的过程，又是一个创新的过程；与课程标准提倡培养学生的探索能力和创新精神是一致的。因此，学会把陌生的问题转化为熟悉的问题，是

40、一个比较重要的原则。（3）简单化原则，即把复杂的问题转化为简单的问题。对解决问题者而言，复杂的问题未必都不会解决，但解决的过程可能比较复杂。因此，把复杂的问题转化为简单的问题，寻求一些技巧和捷径，也不失为一种上策。（4）直观化原则，即把抽象的问题转化为具体的问题。数学的特点之一便是它具有抽象性。有些抽象的问题，直接分析解决难度较大，需要把它转化为具体的问题，或者借助直观手段，比较容易分析解决。因而，直观化是中小学生经常应用的方法，也是重要的原则之一。 3、化归思想的具体应用学生面对的各种数学问题，可以简单地分为两类：一类是直接应用已有的知识便可顺利解答的问题；另一种是陌生的知识或者不能直接应用

41、已有知识解答的问题，需要综合地应用已有知识或创造性地解决的问题。如知道一个长方形的长和宽，求它的面积，只要知道长方形的长和宽，求它的面积，只要知道长方形面积公式的人，都可以计算出来，这是第一类问题；如果不知道平行四边形的面积公式，通过割补平移变换把平行四边形转化为长方形，推导出它的面积公式，再计算面积，这是第二类问题。对于广大中小学生来说，他们在学习数学的过程中所遇到的很多问题都可以归为第二类问题，并且要不断地把第二类问题转化为第一类问题。解决问题的过程，从某种意义上来说就是不断地转化求解的过程，因此，化归思想应用非常广泛。化归思想在小学数学中的应用如下表：知识领域知识点应用举例数与代数数的意

42、义整数的意义：用实物操作和直观图帮助理解 小数的意义：用直观图帮助理解 分数的意义：用直观图帮助理解 负数的意义：用数轴等直观图帮助理解四则运算的意义乘法的意义：若干个相同加数相加的一种简便算法 除法的意义：乘法的逆运算四则运算的法则整数加减法：用实物操作和直观图帮助理解算法 小数加减法：小数点对齐，然后按照整数的方法进行计算 小数乘法：先按照整数乘法的方法计算，再点小数点 小数除法：把除数转化为整数，基本按照整数除法的方法进行计算，被除数小数点与商的小数点要对齐 分数加减法：异分母分数加减法转化为同分母分数加减法 分数乘法：用实物操作和直观图帮助理解算法 分数除法：转化为分数乘法四则运算各部

43、分间的关系ab=c ca=b cb=aab=c ca=b cb=a简便计算利用运算定律进行简便计算方程解方程的过程，实际就是不断把方程转化为未知数前边的系数是1的过程（X=a）解决问题的策略化繁为简：植树问题、鸡兔同笼问题等 化抽象为直观：用线段图、图表、图像等直观表示数量之间的关系，帮助推理分析 化实际问题为数学问题： 化一般问题为特殊问题： 化未知问题为已知问题：空间与图形三角形内角和通过操作把三个内角转化为平角多边形的内角和转化为三角形内角和面积公式正方形的面积：转化为长方形求面积 平行四边形面积：转化为长方形求面积 三角形的面积：转化为平行四边形求面积 梯形的面积：转化为平行四边形求面

44、积 圆的面积：转化为长方形求面积 组合图形的面积：转化为基本图形的面积体积公式正方体的体积：转化为长方体求体积 圆柱的体积：转化为长方体求体积 圆锥的体咱们：转化为圆柱求体积统计与概率统计图和统计表运用不同的统计图表描述各种数据可能性运用不同的方式表示可能性的大小 五、分类思想1、分类讨论思想的概念人们面对比较复杂的问题，有时无法通过统一研究或者整体研究解决，需要把研究的对象按照一定的标准进行分类并逐类进行讨论，再把每一类的结论综合，使问题得到解决，这种解决问题的思想方法就是分类讨论的思想方法。其实质是把问题“分而治之、各个击破、综合归纳”。其分类规则和解题步骤是：（1）根据研究的需要确定同一

45、分类标准；（2）恰当地对研究对象进行分类，分类后的所有子项之间既不能“交叉”也不能“从属”，而且所有子项的外延之和必须与被分类的对象的外延相等，通俗地说就是要做到“既不重复又不遗漏”；（3）逐类逐级进行讨论；（4）综合概括、归纳得出最后结论。分类讨论既是解决问题的一般的思想方法，适应于各种科学的研究；同时也是数学领域解决问题较常用的思想方法。 2、分类讨论思想的重要意义课程标准在总目标中要求学生能够有条理地思考，这种有条理性的思考就是一种有顺序的、有层次的、全面的、有逻辑性的思考，分类讨论就是具有这些特性的思考方法。因此，分类讨论思想是培养学生有理地思考和良好数学思维品质的一种重要而有效的方法

46、。无论是解决纯数学问题，还是解决联系实际的问题，都要注意数学原理、公式和方法在一般条件下的适用性和特殊情况下的不适用性，注意分类讨论，从而做到全面地思考和解决问题。从知识的角度而言，把知识从宏观到微观不断地分类学习，既可以把握全局、又能够由表及里、细致入微，有利于形成比较系统的数学知识结构和构建良好的认知结构。分类讨论思想与集合思想也有比较密切的联系，知识的分类无时不渗透着集合的思想。另外，分类讨论思想还是概率与统计知识的重要基础。 3、分类讨论思想的具体应用分类讨论思想在小学数学的学习中有很多应用，例如从宏观的方面而言，小学数学可以分为数与代数、空间与图形、统计与概率和实践与综合应用四大领域

47、。从比较具体的知识来说，几大领域的知识又有很多分支，例如小学数学中负数成为必学的内容以后，小学数学数的认识范围实际上是在有理数范围内，有理数可以分为整数和分数，整数又可以分为正整数、零和负整数，整数根据它的整除性又可以分为偶数和奇数。正整数又可以分为1、素数（质数）和合数。小学数学中分类讨论思想的应用如下表：思想方法知识点应用举例分类讨论思想分类一年级上册物体的分类、渗透分类思想、集合思想数的认识数可以分为正数、0、负数有理数可以分为整数和分数（小数是特殊的分数）整数的性质整数可以分为奇数和偶数正整数可以分为1、素数和合数图形的认识平面图形中的多边形可以分为：三角形、四边形、五边形、六边形三角

48、形按角可以分为：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形三角形按边可以分为：不等边三角形、等腰三角形、其中等腰三角形又可以分为等边三角形和腰和底边不相等的等腰三角形四边形按对边是否平行可以分为：平行四边形、梯形和两组对边都不平行的四边形统计数据的分类整理和描述排列组合分类讨论是小学生了解排列组合思想的基础概率排列组合是概率计算的基础植树问题先确定是几排树，再确定每排树的情况：两端都不栽、一端栽一端不栽、两端都栽抽屉原理构建抽屉实际上是应用分类标准，把所有元素进行分类 4、分类讨论思想的教学。如前所述，分类讨论思想在小学数学中占有比较重要的地位，而且应用比较广泛。在教学中应注意以下几点。第一、在分类单

49、元的教学中，注意渗透分类思想和集中思想，一方面是一般物体的分类，如柜台上的商品、文具等；另一方面要注意从数学的角度分类，如立体图形、平面图形、数的认识和运算等。同时注意渗透集合的思想，就是说当把某些属性相同的物体放在一起，作为一个整体，就可以看作一个集合。第二，在三大领域知识的教学过程中注意经常性地渗透分类思想和集合思想，如平面图形和立体图形的分类、数的分类。第三，注意从数学思想和解决问题的方法上渗透分类思想，如排列组合、概率的计算、抽屉原理等问题经常运用分类讨论思想解决。第四，在统计与概率知识的教学中，渗透分类的思想。现实生活中的数据丰富多彩，很多时候需要把收集到的数据进行分类整理的描述，从

50、而有利于分析数据和综合地做出判断。第五，注意让学生体会分类的目的和作用，不要为了分类而分类。如对商品和物品的分类是为了便于管理和选购，对数学知识和方法进行分类，是为了更深入地研究问题、理解知识、优化解决问题的方法。第六，注意有关数学规律在一般条件下的适用性和特殊条件下的不适用性。也就是说，有些数学规律在一般情况下成立，在特殊情况下不一定成立；而这种特殊性在小学数学里往往被忽略，长此以往，容易造成学生思维的片面性。如在小学里经常有争议的判断题：如果5a=2b，那么a:b=2:5，有人认为是对的，有人认为是错的，因为这里并没有规定a和b不等于0。之所以产生分歧，是因为在小学数学里有一个不成文的约定

51、：在讨论整数的性质时，一般情况下不包括0。这种约定是为了避免麻烦，有一定的道理；但是这样就造成了在解决有关问题时产生分歧，而且不利于培养学生思维的严密性，尤其是学生进入初中后的学习，经常会因为解决问题不全面、忽略特殊情况而出现低级错误。案例1：用7、3、9可以摆出多少个不同的三位数？（三上P113例2）百 十 个9 7 39 3 77 9 37 3 93 7 93 9 7 案例2：下图中共有多少个长方形？ 分析：此题可分类计数，分以下几步：单一个：33=9（个）2个组一个：横数23=6（个），竖数23=6（个），共12个3个组一个：横数13=3（个），竖数13=3（个），共6个4个组一个：4个

52、6个组一个：4个9个组一个：1个共计：9126441=36（个） 六、统计思想1、统计思想的要领现实生活中有大量的数据需要分析和研究，如人口数量、物价指数、商品合格率、种子发芽率等等。有时需要对所有的数据进行全面调查，如我国为了掌握人口的真实情况，曾经进行过全国人口普查。一般情况下不可能也不需要考察所有对象，如物价指数、商品合格率等，就需要采取抽样调查方法收集和分析数据，用样本来估计总体，从而进行合理的推断和决策，这就是统计的思想方法。在统计里主要有两种估计方法：一是用样本的频率分布来估计总体的分布，二是用样本的数据特征（如平均数、中位数和众数）估计总体的数据特征。 2、统计思想的重要意义在课

53、程标准实施前的小学数学中，统计图表的知识也是必学的内容，但受那个时代人们观念的局限，对统计的认识和教学主要限于统计知识和技能本身，并没有把统计与信息时代和市场经济社会很好地联系起来。当今社会，人们每天的日常工作和生活都会面对纷繁复杂的信息和数据，如何收集、整理和分析数据，学会运用数据说话，做出科学的推断和决策，是每一个公民必须具备的数学素养和思维方式。因此，使学生在义务教育阶段熟悉统计的思想方法，逐步形成统计观念，有助于运用随机的观点理解世界，形成科学的世界观和方法论。 3、统计思想的具体应用在小学数学中，统计思想的应用大体上可分为两种：一是统计作为四大领域知识中的一类知识，安排了很多独立的单

54、元进行统计知识的教学；二是在学习了一些统计知识后，在其他领域知识的学习中，都不同程度地应用了统计知识，作为知识呈现的载体和解决问题的方法进行教学。因而，统计思想在小学数学中的应用是比较广泛的。小学数学中统计的知识点主要有：象形统计图、单式统计表、复式统计表、单式条形统计图、复式条形统计图、单式折线统计图、复式折线统计图、扇形统计图、平均数、中位数、众数等。这些知识作为学习统计的基础是必须掌握的，但更重要的是能够根据数据的特点和解决问题的需要选择合适的统计图表或者统计量来描述和分析数据、做出合理的预测和决策。 4、统计思想的教学课程标准的颁布和实施，赋予了统计更加丰富的内涵。教师要全面理解课程标

55、准关于统计知识的内容和理念，在教学中要注意以下几点。第一，注重过程性目标的教学。让学生经历数据的收集、整理、描述、分析、推断和决策的过程。包括设计合适的调查表、选择合适的统计图和统计量描述数据、科学地分析数据并做出合理的决策。统计的教学要改变以往注重统计知识和技能这种数学化的倾向，要让学生经历统计的全过程，把统计与生活密切联系起来，让这生学习活生生的统计，而不是仅仅回答枯燥乏味的纯数学问题。第二，认识统计对决策的作用，能从统计的角度思考与数据有关的问题。学会用数据说话，能使我们的思维更加理性，避免感性行事。从小学开始就要让学生认识统计对决策的重要作用，为将来的进一步学习和走向社会培养良好的统计

56、意识。如作为市场经济和信息化社会的公民，每个人无不与经济活动和投资理财打交道；如果能够根据影响经济运行的各种主要数据进行合理的分析和推断，做出正确的投资理财决策，使自己的资产不断保值和升值，对于每个公民意义重大。当然，统计推断往往是基于用样本来估计总体，属于合情推理，并不是一种必然的逻辑关系；因而决策有时是符合预期的，有时也可能不十分正确甚至有可能是错误的。如中国2004、2005、2006、2007年的全年国内生产总值比上一年分别增长9.5%、9.9%、10.7%、11.4%，根据这个变化趋势、预测2008年有可能增长12%；这种预测是一种简单的统计推断，这仅仅是一种可能；换句话说，2008

57、年如果没有增长那么快也是有可能的。实际上，2008年突发的全球金融危机影响了经济增长，2008年比上年只增长了9%。第三，能对给定数据的来源，收集和描述的方法，以及分析的结论进行合理的质疑。现实生活中的各种统计数据和信息纷繁复杂，权威部门发布的统计数据基本上是科学可信的，但是有些公司或者广告发布的数据可能存在偏差。有些数据不十分合理或者不够精细，从而影响人们的认识和决策，甚至给人们带来误导。学习了统计知识以后，尤其是作为未来的公民，应该能够从科学、全面、微观的角度分析数据，从而做出正确的判断和决策。另外，在小学阶段，由于计算难度的制约，解决一些统计问题时选定的样本容量往往较少，这里我们要注意这

58、样的统计推断是否可信。第四，对有关概念应正确理解，应注重知识的应用，避免单纯的数据计算和概念判断。如平均数、中位数和众数的联系和区别，这三个统计量到底在什么条件下适用，一直困扰着很多老师。另外，有些老师喜欢在一些概念上纠缠，而不是关注知识的应用和实际意义，如让学生找出下面一组数据的众数：75 84 84 89 89 92 92 96 98这样的问题没有什么现实意义，不如给一组联系实际的数据，让学生去思考用什么量数作为该组数据一般水平的代表，更有意义。平均数、中位数和众数都是反映一组数据集中趋势的量数，代表一般水平。平均数能反映全体数据的信息，任何一个数据的改变都会引起平均数的改变，比较敏感，因

59、而应用比较普遍；缺点是易受极端值的影响。日常生活和研究领域的统计数据，多数都选择平均数作为代表值。如我们国家和地方统计部门经常公布的人均产值、人均收入、物价指数等等，都是应用平均数作为代表值。中位数处于中间水平，不受极端值的影响，运算简单，在一组数据中起分水岭的作用；缺点是不能反映全体数据的情况，可靠性较差。众数不受极端数据的影响，运算简单，当要找出适应多数需要的数值时，常用众数；缺点是不能反映全体数据的情况，可靠性较差。众数可能不唯一，甚至有时没有。这三个统计量有着各自的特点和适用的条件，可以根据研究和解决问题的需要来选择；与中位数和众数比较而言，平均数可以反映更多的样本数据全体的信息。然而

60、它们三者并不是一种完全排斥的关系，特殊情况下这三个统计量或者其中的两个统计量都有可能成为一组数据一般水平的代表。如学生的考试成绩往往服从正态分布或者近似正态分布，那么，这三个统计量很可能相等或者非常接近，这时用三个统计量中的任何一个作为该组数据的一般水平的代表都是可以的。有时把平均数和中位数结合使用，会了解更多的信息。如某次数学考试全班49人平均分数为92分，小林考93分，排名第25，小明的成绩比小林高2分。可以发现中位数是93分，小明的成绩处于中上等水平，平均数低于中位数，说明可能有极端的低分数。 七、概率思想1、概率思想的概念生活中的事件可以分为两类：一类是确定事件，在一定条件下一定发生的

61、和一定不会发生的，这些事件都是确定事件；如每天日出日落、四季轮回是一定发生的，而掷两枚骰子朝上的两个数字的和是13是不可能发生的。另一类是随机事件，就是在一定条件下可能发生也可能不发生的事件，如一个产妇生男婴还是生女婴，明天是否会下雨、种子的发芽率等事件，都是随机事件。这些随机事件表面上看杂乱无章，但是大量地重复观察这些事件时，这些随机事件会呈现规律性，这种规律叫统计规律，概率论是研究随机现象的统计规律性的一门数学学科，统计与概率有着密切的联系。（1）事件的分类：事件可以分为确定事件和随机事件，其中确定事件又可以分为必然事件和不可能事件。在一定条件下一定发生的是必然事件，一定不会发生的是不可能

62、事件。（2）频率与概率的区别和联系：随机事件发生的可能性大小是概率论研究的主要内容，通过试验来观察随机事件发生的可能性的大小是常用的方法。在相同的条件下，重复进行n次试验某一事件A出现的次数m就是频数，这是事件A出现的频率。如果试验的次数不断增加，事件A发生的频率稳定在某个常数上，就把这个常数记作P（A），称为事件A的概率。事件的概率是确定的，不变的常数，是理论上的精确值；而频率是某次具体试验的结果，是不确定的、变化的数，尽管这种变化可能非常的小。这里的概率是用频率来界定的，在等可能性随机试验中，虽然频率总是在很小的范围内变化，但我们可以认为频率和概率的相关性非常的强。也就是说，在一次试验中，事件A出现的频率越大，事件A的概率就越大；事件A出现的频率越小，事件A的概率就越小。反