单元质量评估四

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1、单元质量评估四(第四章)时间：120分钟分值：150分一、选择题(每小题5分，共60分)1已知平面向量a(3,1)，b(x，3)，ab，则x等于()A9B1C9 D1解析：设ab，则，解得x9.故选C.答案：C2若非零不共线向量a、b满足|ab|b|，则下列结论正确的个数是()向量a、b的夹角恒为锐角；2|b|2ab；|2b|a2b|；|2a|ab|a|b|cosa，b2|b|a|cosa，b，而|b|ab|2|b|a|a|cosa，b，所以正确；：|2b|a2b|4|b|2|a2b|2|a|24|a|b|cosa，b4|b|24|a|b|cosa，b|a|24|b|cosa，b|a|，而2|

2、b|cosa，b|a|，所以4|b|cosa，b|a|，正确；：|2a|2ab|4|a|cosa，b|b|，而4|a|cosa，b|b|不一定成立，所以不正确故选C.答案：C3已知向量a、b的夹角为60，|a|3，|b|2，若(3a5b)(mab)，则m的值是()A. B.C. D.解析：(3a5b)(mab)(3a5b)(mab)0，即3ma25b2(5m3)ab0，27m20(5m3)32cos600，解得m.答案：C4(2011广东六校联考)如右图，在平行四边形ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，N是线段OD的中点，AN的延长线与CD交于点E，则下列说法错误的是()A. B.C. D

3、.解析：排除法如题图，故A正确而，故B正确()，故C正确，所以选D.答案：D5(2010绵阳二诊)在直角三角形ABC中，AB4，AC2，M是斜边BC的中点，则向量在向量方向上的投影是()A1 B1C. D解析：依题意得()()(22)6，|2，向量在向量方向上的投影等于.选D.答案：D6(2010广州测试)已知向量a(sinx，cosx)，向量b(1，)，则|ab|的最大值为()A1 B.C3 D9解析：|ab|3.答案：C7(2010福建质检)i为虚数单位，若，则a的值为()Ai BiC2i D2i解析：由得a(1i)2i.答案：C8(2011皖南八校联考)若z(x，yR，i为虚数单位)是实

4、数，则实数xy的值为()A3 B3C0 D.解析：z为实数，0，xy3，故选A.答案：A9(2011惠州调研)在复平面内，复数zcos3isin3(i是虚数单位)对应的点位于()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析：因为3，所以cos30，故点(cos3，sin3)在第二象限，即复数zcos3isin3对应的点位于第二象限答案：B10(2010安徽联考)已知点P为ABC所在平面上的一点，且t，其中t为实数若点P落在ABC的内部，则t的取值范围是()A0t B0tC0t D0t解析：如右图，E、F分别为AB、BC的三等分点，由t可知，P点落在EF上，而，点P在E点时，t0，点P在F点

5、时，t.而P在ABC的内部，0t.答案：D11(2011皖南八校联考)在ABC中，AB，AC2，若O为ABC内部的一点，且满足0，则()A. B.C. D.解析：由题易知O为ABC的重心，取BC的中点D，()，()()(22).答案：C12(2010重庆一诊)称d(a，b)|ab|为两个向量a、b间的“距离”，若向量a、b满足：|b|1；ab；对任意的tR，恒有d(a，tb)d(a，b)，则()Aab Ba(ab)Cb(ab) D(ab)(ab)解析：依题意得|atb|ab|，即(atb)2(ab)2，亦即t22tab(2ab1)0对任意的tR都成立，因此有(2ab)24(2ab1)0，即(a

6、b1)20，故ab10，即abb2b(ab)0，故b(ab)，选C.答案：C二、填空题(每小题5分，共20分)13(2010南京调研)若复数z1ai，z21i(i为虚数单位)，且z1z2为纯虚数，则实数a的值为_解析：因为z1z2(ai)(1i)a1(a1)i为纯虚数，所以a1.答案：114在ABC所在的平面上有一点P，满足，则PBC与ABC的面积之比是_解析：解题突破口是从已知条件所给的关系式化简，由，得0，即0，得0，即2，所以点P是CA边上的第二个三等分点，故.答案：2:315已知ABC的面积为3，且满足06，设和的夹角为，则的取值范围是_解析：由题意可知：|sin3，|.|cos.06

7、,0，06，0cossin，答案：，16(2011广东茂名一模)O是平面上一点，A、B、C是平面上不共线的三点，平面内的动点P满足()，若时，()的值为_解析：由已知得()，即()，当时，得()，2，即，0，()00，故填0.答案：0三、解答题(本大题共6个小题，共计70分，写出必要的文字说明、计算步骤，只写最后结果不得分)17(10分)如果方程(1i)x22(ai)x53i0(aR)有实数解，求a的值解：原方程整理为(x22ax5)(x22x3)i0，设方程的实根为x0，代入方程得(x2ax05)(x2x03)i0.由复数相等的充要条件，得由得x03或1，代入得a或3.a或3.18(12分)

8、设a(1,1)，b(4,3)，c(5，2)，(1)求证a与b不共线，并求a与b的夹角的余弦值；(2)求c在a方向上的投影；(3)求1和2，使c1a2b.解：(1)a(1,1)，b(4,3)，且1314，a与b不共线又ab14131，|a|，|b|5，cos.(2)ac151(2)7，c在a方向上的投影为.(3)c1a2b，(5，2)1(1,1)2(4,3)(421，132)，解得.19(12分)(2011合肥模拟)已知m(cosx,2sinx)，n(2cosx，sinx)，f(x)mn.(1)求f()的值；(2)当x0，时，求g(x)f(x)sin2x的最大值和最小值解：(1)f(x)mn2c

9、os2x2sin2x2cos2x，f()2cos2()2cos2cos(1338)2cos()2cos1.(2)由(1)得g(x)cos2xsin2xsin(2x)x0，2x，当x时，g(x)max；当x时，g(x)min1.20(12分)设A、B为圆x2y21上两点，O为坐标原点(A、O、B不共线)(1)求证：与垂直；(2)若单位圆交x轴正半轴于C点，且COA，COB，(，)，求cos.(1)证明：由题意知|1，()()22|2|2110，与垂直(2)解：(cos，sin)，(cos，sin)，coscossinsincos()，cos()，0，sin()，coscos()cos()coss

10、in()sin().21(12分)(2011苏州市模拟)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知m(cos，sin)，n(cos，sin)，且满足|mn|.(1)求角A的大小；(2)若|，试判断ABC的形状解：(1)由|mn|，得m2n22mn3，则112(coscossinsin)3，cosA，0A，A.(2)|，bca，sinBsinCsinA，sinBsin(B)，即sinBcosB，sin(B)，0B，B0)，令f(k)ab.(1)求f(k)ab(用k表示)；(2)当k0时，f(k)x22tx对任意的t1,1恒成立，求实数x的取值范围解：(1)由题设得|a|2|b|21，对|kab|akb|两边平方得k2a22kabb23(a22kabk2b2)，整理易得f(k)ab(k0)(2)f(k)，当且仅当k1时取等号欲使f(k)x22tx对任意的t1,1恒成立，等价于x22tx，即g(t)2xtx210在1,1上恒成立，而g(t)在1,1上为单调函数或常函数，所以解得1x1.故实数x的取值范围是1，1