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1、例谈“蚂蚁爬行路线”问题杭州文澜中学章燕数学课程标准中提出数学探究活动已成为贯穿整个初中数学的重要课程。而数学变式教学能帮助学生养成类比推理的思维能力，利用“变式教学”和“变式训练”，通过对数学问题多角度、多方位、多层次的讨 论和思考，可以展示数学知识发生、发展以及应用的过程，有意识、有目 的地引导学生从“变”的现象中发现“不变”的本质，从“不变”的本质 中探究“变”的规律，使所有知识点融汇贯通，促进学生更快地理解知识 的本质、深层次挖掘知识要点。正方体A“蚂蚁爬行路线”问题是一类重要的几何方案设计题，它经常出现在学 生的练习和测试中，所以在初三复习课时有目的地系统的对这一类问题归 类复习。如
2、图，已知立方体的棱长为 1cm, 一只蚂蚁从点沿立方体表面爬到点C,试求它爬行的最短距离是多少？分析：只要将1平面和3平面展开，根据两点之 间线段最短，可知从 A到B的最短路程就是线段AB ，则从A点到C点的最短路程长就是线段 AC长为 5 cm.二、长方体(1)(2)(3)图(1)中 AC= +3 +42 = 48 = 445cm图(2) 中 AC = J(4+3( +52 =774cm图(3) 中 AC = J(5+4$ +32 =V90 = 3VT0cm显然图(2)所示的线段AC是最短的爬行路线，长为74cm三、圆锥 1、一圆锥地面半径r=10cm,母线长为30cm, 一只蚂蚁从A点出发
3、沿圆锥侧面爬行一周所走的最短路径是多少？解：把圆锥的侧面沿母线 SA展开，则蚂蚁从A点出发沿圆锥侧面爬行周所走的最短路程就是线段 AA的长r10ASA 360360120一l30.线段AA = .3 SA =30 .3cm2、一圆锥地面半径r=10cm,母线长为30cm, 只蚂蚁从 A点出发沿圆锥侧面绕行到母线的中点 B,则它爬行的最短 路径是多少？ 解：过点B作BJ SA交AS的延长线于点 G 由上题知 ASA =120：，贝q. BSC =60，所以 CS=BS+ 2=7.5cm, BC二乜 BS 二理3 ,J =15治。2 2贝S AB= . AC2BC2 巳 30 7.5四、圆柱 有一
4、个圆柱，在圆柱下底面的 A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A相对的B点处的食物。（1）当圆柱的高等于12厘米，底面半径为3厘米时，蚂蚁沿圆柱表面 爬行的最短路程是多少？ （ 2）当圆柱的高h=3厘米，底 面半径不变时呢？分析：蚂蚁从A点爬行到B处有两条最短途径可 以选择，是A C B折线爬行，是从A点沿 圆柱侧面爬行到点B。2JI4当，二十2 = h 2r时，即h =:r时，路程、一样长I ，-2 _ 4- 2 4hr时,路程路程；hr时，路程路程.44解：(1) AB = J122 +(3兀 2 = J144+9兀2cm。(2) h+2r=3+2x 3=9cm。分析与诠释:1、蚂蚁爬行路线问
5、题的实质：通过对正方体、长方体、圆锥等蚂蚁爬 行问题的分析，可以让学生认识到，蚂蚁爬行路线问题的实质是通 过展开几何体，利用两点之间线段最短，来求最短路线长。而对于 圆柱问题，由于受一些假象（如前面的几个例子）或思维定势影响, 易产生错误判断，可以让学生掌握这一类问题的基本解题方法，又 不只是让学生生吞活剥，生搬硬套，而是抓住问题的实质。2、培养学习兴趣，提高教学效益：这堂课通过一个问题的多种不同背 景、情境的设计，暴露问题的本质，揭示不同知识点的内在联系， 或同一知识点在不同情境中的变化应用，能增加学生的新奇感和参 与感，教学、学习中的兴奋点不断闪现，从而激发学生的好奇心、 求知欲和创造力，
6、提高学生参与教学活动的兴趣和热情，比如：还 可以引导学生“两点之间线段最短”在其他情境中的应用的归纳， 学生不难可以找到一些平时遇到的问题，如白马饮水问题等，这样 比单纯的“找题一一解题一一讲题”可以使学生取得更多的教学效3、利用几何画板可以很直观地呈现出蚂蚁爬行路线在将侧面展开来以后的直线路线，也可以通过移动点相对应的路线的长度的不停的变换更能直观地找出圆柱这个模型中的蚂蚁的两条爬行路线的长 短比较 。4、利用几何画板可以让学生自己在电脑上实现拖动点，或者展开 侧面等操作，可以把学生的思维的火花直接地迅速地在课堂上呈现 给学生，有很好的交互性。 文澜中学 章燕几何画板在初中数学教学中的应用现
7、代教育理念倡导学生在学习中的主体地位，初中的数学课堂主要要让学生体验知识的生成 过程，其实就是知识的再发现过程，培养学生探索和创新精神，而几何画板为现在教育理念 下的初中数学课堂教学提供一种有效的辅助工具。几何画板相对于 flash 等动画制作工具，具有学习容易，操作简单，而且能够满足中学数 学的教学需求，所以在中学数学教学中应用非常广泛。在我的日常教学工作中，我发现几何画 板有以下的应用，使我的教学更直观和生动。第一、 教学中经常出现任意的三角形中或任意的其他几何图形中某个命题都成立， 几何画 板能够制作动态的几何图形，并且在几何图形动态变化过程中能够保持几何图形不 变性质，这正是其他教学软
8、件所不具备的重要特征，因此可以运用它在变化的图形中 发现恒定不便的几何规律，相对于传统的黑板教学中更具有说服力。数学是研究数量 关系和空间形式的科学， 几何画板能很好的把数和形潜在关系及其变化动态显示 出来，随时观察到各种情况下数量关系及其变化，更加能够找出题目中的规律或者变 量与不变量。所以几何画板可以使教学内容的呈现更加直观，再比如图形的变换：轴 对称、平移、相似以及旋转变换，运用几何画板能通过简单的操作进行直观地呈现， 还有圆的教学中的动态变化； 运动类型题目的潜在变量和不变量地呈现都能通过几何 画板生动而简洁地展示给学生。第二、课堂上，学生很可能在学习过程中闪现出“奇思妙想”的思维火花
9、。几何画板有 了交互性，就能给学生提供参与机会，可以让学生自己操作，实现自我学习，使学生 想象力得到充分发挥，也成为一个真正研究者。第三、在数学科学研究中，数学家需要反复实验才能发现规律，然后才是进行严格的逻辑论 述和证明。一个有意义的学习过程，是学生以一种积极心态，调动原有知识，和经验， 尝试解决问题，同化新知识并建构新的认构结构的过程。所有新知识，只有通过学生 再创造的活动，使其纳入原有的认知结构中，才可能成为有效的，活的知识。几何 画板就提供了一个很好的可以经过无数次的尝试、实验操作的数学学习工具，比传 统的教学更具有生动和高效性。综上所述，几何画板不仅能有助于我们自身研究能力的提高，更能生动地再现数学知识 的生成过程，能够让学生学得有乐趣，使学生能够体会到数学可以是很美，很有意思， 很生动的，不是单调、枯燥、乏味的，这样就能激发学生的学习数学的兴趣，使每个 学生的学习都有所进步。
例谈蚂蚁爬行路线问题
