高中数学 3.3.3函数的最大小值与导数学案 新人教A版选修11

《高中数学 3.3.3函数的最大小值与导数学案 新人教A版选修11》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学 3.3.3函数的最大小值与导数学案 新人教A版选修11（6页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、高中数学 3.3.3 函数的最大（小）值与导数学案新人教 A 版选修 1-1基础梳理1函数的最大值与最小值一般地，如果在区间a，b上函数yf(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值函数的最值必在极值点或区间端点取得2求函数yf(x)在区间a，b上的最大值与最小值的一般步骤：(1)求函数yf(x)在区间(a，b)内的极值；(2)将函数yf(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较， 其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.3极值与最值的区别与联系：(1)极值与最值是不同的，极值只是相对一点附近的局部性质，而最值是相对于整个定义域或所研究问题的整体性质；(2)函数的

2、最值通常在极值点或区间端点取得， 若有唯一的极值， 则此极值必是函数的最值；(3)求函数的最值一般需要先确定函数的极值因此函数极值的判断是关键，如果仅仅是求最值， 可将导数值为零的点或区间端点的函数值直接求出并进行比较， 也可以根据函数的单调性求最值,自测自评1函数f(x)x33x(|x|1)(C)A有最大值，但无最小值B有最大值，也有最小值C.无最大值，也无最小值D无最大值，但有最小值解析：f(x)3x23.当|x|1，f(x)0，函数f(x)在(1，1)上单调递减，故选 C.2函数f(x)x24x1 在区间3，5上的最大值和最小值分别是 4，4解析： 令f(x)2x40， 则x2，f(x)

3、在3， 5上是单调函数， 排除f(2)， 比较f(3)，f(5)，即得3函数yxlnx在1，3内的最小值为 0解析：ylnx1，x1，3，y0，函数yxlnx在1，3内是递增函数，当x1 时，ymin0.1. 函数f(x)x33x1 在闭区间3，0上的最大值、最小值分别是(C)A1，1B1，17C3，17D9，19解析：根据求最值的步骤，直接计算即可得答案为 C.2已知f(x)12x2cosx，x1，1，则导函数f(x)是(D)A仅有最小值的奇函数B既有最大值又有最小值的偶函数C仅有最大值的偶函数D既有最大值又有最小值的奇函数解析：求导可得f(x)xsinx，显然f(x)是奇函数，令h(x)f

4、(x)，则h(x)xsinx，求导得h(x)1cosx，当x1，1时，h(x)0，所以h(x)在1，1上单调递增，有最大值和最小值所以f(x)是既有最大值又有最小值的奇函数故选 D.3函数f(x)x2ax1 在点0，1上的最大值为f(0)，则实数a的取值范围是_解析：依题意有：f(0)f(1)，即 12a，所以a1.答案：(，14求下列函数的最值：(1)f(x)x32x，x1，1；(2)f(x)(x1)(x2)2，x0，3，解析：(1)当x1，1时，f(x)3x220，则f(x)x32x在x1，1上单调递增因而f(x)的最小值时f(1)3，最大值是f(1)3.(2)因为f(x)(x1)(x2)

5、2x35x28x4，所以f(x)(3x4)(x2)令f(x)(3x4)(x2)0，得x43或x2，f(0)4，f43 427，f(2)0，f(3)2，f(x)的最大值是 2，最小值时4.5已知函数f(x)x3ax24 在x2 处取得极值，若m，n1，1，求f(m)f(n)的最小值解析：求导得f(x)3x22ax，由函数f(x)在x2 处取得极值知f(2)0，即342a20，a3.由此可得f(x)x33x24，f(x)3x26x，易知f(x)在(1，0)上单调递减，在(0，1)上单调递增，当m1，1时，f(m)minf(0)4.又f(x)3x26x的图象开口向下，且对称轴为x1.当n1，1时，f

6、(n)minf(1)9.故f(m)f(n)的最小值为13.1函数f(x)x33x在(0，)上的最小值是(A)A4B5C3D12当x1，2时，x312x22xm恒成立，则实数m的取值范围是(B)A2，)B(2，)C(，2D(，2)解析：这是函数最值的简单应用，令f(x)x312x22x，x1， 2， 则问题转化为求f(x)得最大值， 不难求得f(x)maxf(2)2，则m2.3函数ylnxx的最大值为(A)Ae1BeCe2D.103解析：令y（lnx）xlnxxx21lnxx20，xe，当xe 时，y0；当xe 时，y0，y极大值f(e)1e，在定义域内只有一个极值，所以ymax1e.4在区间1

7、2，2上，函数f(x)x2pxq与g(x)2x1x2在同一点取得相同的最小值，那么f(x)在12，2上的最大值是(D)A.134B.54C8D4解析：由g(x)22x30，得，x1，因为g12 5，g(1)3，g(2)174，所以，当x1 时，g(x)ming(1)3.于是p21，1pq3，解得，p2，q4.因此，f(x)x22x4(x1)23，故当x2 时，f(x)maxf(2)4.5对于 R R 上可导的任意函数f(x)，若满足(x1)f(x)0，则必有(C)Af(0)f(2)2f(1)Bf(0)f(2)2f(1)Cf(0)f(2)2f(1)Df(0)f(2)2f(1)解析：依题意，当x1

8、 时，f(x)0，函数f(x)在(1，)上是增函数；当x1 时，f(x)0，f(x)在(，1)上是减函数故f(x)在x1 时取得最小值，即有f(0)f(1)，f(2)f(1)6函数f(x)12ex(sinxcosx)在区间0，2 上的值域为(A)A.12，12e2B.12，12e2C.1，e2D.1，e27函数y12x21x(x0)的最小值是_解析：直接计算，得ymin32.答案：328若函数f(x)x33xa在区间0，3上的最大值、最小值分别是m、n，则mn的值为_解析：令f(x)3x230，解得x1 或x1.因为f(0)a，f(1)2a，f(3)18a，所以n2a，m18a，所以mn20.

9、答案：209已知函数f(x)x22x3 在区间a，2上的最大值为154，则a等于_解析：f(x)(x1)24.f(x)的开口向下，对称轴为x1，当x1，f(1)4154，a1.f(x)在a，2是减函数f(a)154，解得a12，或a32(舍去)答案：1210设函数f(x)lnxln(2x)ax(a0)(1)当a1 时，求f(x)的单调区间；(2)若f(x)在(0，1上的最大值为12，求a的值解析：函数f(x)的定义域为(0，2)，f(x)1x12xa.(1)当a1 时，f(x)x22x（2x），所以f(x)的单调递增区间为(0， 2)，单调递减区间为( 2，2)(2)当x(0，1时，f(x)2

10、2xx（2x）a0，即f(x)在(0，1上单调递增，故f(x)在(0，1上的最大值为f(1)a，因此a12.11设函数f(x)ax3bxc(a0)为奇函数，其图象在点(1，f(1)处的切线与直线x6y70 垂直，导函数f(x)的最小值为12.(1)求a，b，c的值；(2)求函数f(x)的单调递增区间，并求函数f(x)在1，3上的最大值和最小值解析：(1)f(x)为奇函数，f(x)f(x)，即ax3bxcax3bxc，c0.f(x)3ax2b的最小值为12，b12.又直线x6y70 的斜率为16，因此f(1)3ab6，解得a2.故a2，b12，c0.(2)f(x)2x312x，f(x)6x212

11、6(x 2)(x 2)，令f(x)0，得x 2或x 2.在1，3上，当x变化时，f(x)与f(x)的变化情况如下表：函数f(x)的单调递增区间为(， 2)，( 2，)f(1)10，f(3)18，f( 2)8 2；当x 2时，f(x)取得最小值为8 2.当x3 时，f(x)取得最大值为 18.12设R R，函数f(x)ax33x2.(1)若x2 时函数yf(x)的极值点，求a的值；(2)若函数g(x)f(x)f(x)，x0，2，在x0 处取得最大值，求a的取值范围解析：(1)f(x)3ax26x3x(ax2)因为x2 是函数yf(x)的极值点，所以f(2)0，即 6(2a2)0，因此a1.经验证

12、，当a1 时，x2 是函数yf(x)的极值点(2)由题设，g(x)ax33x23ax26xax2(x3)3x(x2)当g(x)在区间0，2上的最大值为g(0)时，g(0)g(2)，即 020a24.故得a65.反之，当a65时，对任意x0，2，g(x)65x2(x3)3x(x2)3x5(2x2x10)3x5(2x5)(x2)0，而g(0)0，故g(x)在区间0，2上的最大值为g(0)综上，a的取值范围为，65 .体验高考1(2014安徽卷)设函数f(x)1(1a)xx2x3，其中a0.(1)讨论f(x)在其定义域上的单调性；(2)当x0，1时，求f(x)取最大值和最小值时的x的值解析：(1)f

13、(x)的定义域为(，)，f(x)1a2x3x2.令f(x)0，得x11 43a3，x21 43a3，x1x2，所以f(x)3(xx1)(xx2)当xx1或xx2时，f(x)0；当x1xx2时，f(x)0.故f(x)在(，x1)和(x2，)内单调递减，在(x1，x2)内单调递增(2)因为a0，所以x10，x20.当a4 时，x21，由(1)知，f(x)在0，1上单调递增，所以f(x)在x0 和x1 处分别取得最小值和最大值当 0a4，时，x21，由(1)知，f(x)在0，x2上单调递增，在x2，1上单调递减，所以f(x)在xx21 43a3处取得最大值又f(0)1，f(1)a，所以当 0a1 时

14、，f(x)在x1 处取最小值；当a1 时，f(x)在x0 处和x1 处同时取得最小值；当 1a4 时，f(x)在x0 处取得最小值2(2014江西卷)已知函数f(x)(4x24axa2)x，其中a0.(1)当a4 时，求f(x)的单调递增区间；(2)若f(x)在区间1，4上的最小值为 8，求a的值解析：(1)当a4 时，由f(x)2（5x2）（x2）x0 得x25或x2.由f(x)0 得x0，25 或x(2，)，故函数f(x)的单调递增区间为0，25 和(2，)(2)因为f(x)（10 xa）（2xa）2x，a0，由f(x)0 得xa10或xa2.当x0，a10 时，f(x)单调递增；当xa1

15、0，a2 时，f(x)单调递减；xa2，时，f(x)单调递增，易知f(x)(2xa)2x0，且fa2 0.当a21，即2a0 时，f(x)在1，4上最小值为f(1)，由f(1)44aa28，得a2 22，均不符合题意当 1a24，即8a2 时，f(x)在1，4上的最小值为fa2 0，不符合题意当a24， 即a8 时，f(x)在1， 4的最小值可能在x1 或x4 上取得， 而f(1)8，由f(4)2(6416aa2)8 得a10 或a6(舍去)，当a10 时，f(x)在(1，4)上单调递减，f(x)在1，4上的最小值为f(4)8，符合题意综上有a10.3已知函数f(x)ax3bxc在x2 处取得

16、极值为c16.(1)求a、b的值；(2)若f(x)有极大值 28，求f(x)在3，3上的最小值解析：(1)因为f(x)ax3bxc，故f(x)3ax2b.由于f(x)在点x2 处取得极值c16，故有f（2）0，f（2）c16，即12ab0，8a2bcc16，化简得12ab0，4ab8，解得a1，b12.(2)由(1)知f(x)x312xc，f(x)3x212.令f(x)0，得x12，x22.当x(，2)时，f(x)0，故f(x)在(，2)上为增函数；当x(2，2)时，f(x)0，故f(x)在(2，)上为增函数由此可知f(x)在x2 处取得极大值f(2)16c，f(x)在x2 处取得极小值f(2)c16.由题设条件知 16c28，得c12，此时f(3)9c21，f(3)9c3，f(2)c164.因此f(x)在3，3上的最小值为f(2)4.