高中数学人教A版必修三课时提升作业：二十 3.3.1 几何概型 含解析

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1、 课时提升作业(二十)几何概型(25分钟60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1.已知地铁列车每10min一班，在车站停1min，则乘客到达站台立即乘上车的概率是()A.110B.19C.111D.18【解析】选A.试验的所有结果构成的区域长度为10min，而构成事件A的区域长度为1min，故P(A)=110.【补偿训练】某公共汽车站每隔5分钟有一辆汽车到达，乘客到达汽车站的时刻是任意的，则一个乘客候车时间不超过3分钟的概率为()A.15B.25C.35D.45【解析】选C.把汽车到站的间隔时间分为0，5上的实数，其中乘客候车时间不超过3分钟时应在0，3内取值，所以发生的概率为35.2.(

2、2015顺义高一检测)在区间-2，3上随机选取一个数X，则X2的概率是()A.15B.25C.35D.45【解析】选D.因为基本事件空间为-2，3，它的度量是长度5，X2的度量为4，所以所求概率为45.3.下列概率模型中，几何概型的个数为()从区间-10，10内任取出一个数，求取到1的概率；从区间-10，10内任取出一个数，求取到绝对值不大于1的数的概率；从区间-10，10内任取出一个整数，求取到大于1而小于2的数的概率；向一个边长为4cm的正方形ABCD内投一点P，求点P离中心不超过1cm的概率.A.1B.2C.3D.4【解析】选B.不是几何概型，虽然区间-10，10有无限多个点，但取到“1

3、”只是一个数字，不能构成区域长度；是几何概型，因为区间-10，10和-1，1上有无限多个数可取(满足无限性)，且在这两个区间内每个数被取到的机会是相等的(满足等可能性)；不是几何概型，因为区间-10，10上的整数只有21个(是有限的)，不满足无限性特征；是几何概型，因为在边长为4cm的正方形和半径为1cm的圆内均有无数多个点，且这两个区域内的任何一个点都有等可能被投到，故满足无限性和等可能性.4.(2015临沂高一检测)如图，在正方形围栏内均匀撒米粒，一只小鸡在其中随意啄食，此刻小鸡正在正方形的内切圆中的概率是()A.14B.4C.13D.3【解析】选B.设事件A=小鸡正在正方形的内切圆中，则

4、事件A的几何区域为内切圆的面积S=R2(2R为正方形的边长)，全体基本事件的几何区域为正方形的面积，由几何概型的概率公式可得P(A)=R2(2R)2=4，即小鸡正在正方形的内切圆中的概率为4.【补偿训练】面积为S的ABC，D是BC的中点，向ABC内部投一点，那么点落在ABD内的概率为()A.13B.12C.14D.16【解析】选B.向ABC内部投一点的结果有无限个，属于几何概型.设点落在ABD内为事件M，则P(M)=ABD的面积ABC的面积=12.5.已知正三棱锥S-ABC，在正三棱锥内任取一点P，使得VP-ABC12VS-ABC的概率是()A.34B.78C.12D.14【解析】选B.如图，

5、由题意知，当点P在三棱锥的中截面以下时，满足：VP-ABC12VS-ABC，故使得VP-ABC12VS-ABC的概率为P=V1V=大三棱锥的体积-小三棱锥的体积大三棱锥的体积=1-123=78.二、填空题(每小题5分，共15分)6.在区间-2，4上随机地取一个数x，若x满足|x|m的概率为56，则m=.【解题指南】解绝对值不等式，根据几何概型利用区间长度之比求解.【解析】由|x|m，得-mxm，当m2时，由题意2m6=56，m=2.5矛盾，舍去；当2m4时，由题意得m-(-2)6=56，解得m=3.答案：37.向等腰直角三角形ABC(其中AC=BC)内任意投一点M，则AMAC的概率是.【解析】

6、设CA=CB=m(m0)，则AB=2m.设事件M：AMAC，即P(M)=AB-ACAB=2m-m2m=1-22.答案：1-228.小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于12，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于14，则去打篮球；否则，在家看书，则小波周末不在家看书的概率为.【解析】不在家看书的概率=看电影+打篮球所有情况=-122+142=1316.答案：1316三、解答题(每小题10分，共20分)9.一个路口的红绿灯，红灯亮的时间为30秒，黄灯亮的时间为5秒，绿灯亮的时间为40秒(没有两灯同时亮)，当你到达路口时，看见下列三种情况的概率各是多

7、少?(1)红灯.(2)黄灯.(3)不是红灯.【解析】在75秒内，每一时刻到达路口是等可能的，属于几何概型.(1)P=亮红灯的时间全部时间=3030+40+5=25；(2)P=亮黄灯的时间全部时间=575=115；(3)P=不是红灯亮的时间全部时间=黄灯或绿灯亮的时间全部时间=4575=35.10.在一个大型商场的门口，有一种游戏是向一个画满边长为5cm的均匀方格的大桌子上掷直径为2cm的硬币，如果硬币完全落入某个方格中，则掷硬币者赢得一瓶洗发水，请问随机掷一个硬币正好完全落入方格的概率有多大?【解题指南】因为硬币能否完全落入某个方格中，关键看硬币的中心落在方格中的哪个位置，若要使硬币完全落入方

8、格中，则其中心必须距方格的边界至少有一个硬币半径的长度(即1cm)，因此，要使硬币完全落在方格内，硬币的中心必须落在以正方形的中心为中心，以5-1-1=3(cm)为边长的小正方形表示的区域内.【解析】如图，边长为5cm的正方形形成的区域表示试验的所有基本事件构成的区域，当硬币的中心落入图中以3cm为边长的正方形区域时，则试验成功，所以，随机地投一个硬币正好完全落入方格的概率为P=3252=925.(20分钟40分)一、选择题(每小题5分，共10分)1.(2015衡水高一检测)在区间-2,2上随机取一个数x，则事件“0sinx1”发生的概率为()A.14B.13C.12D.23【解析】选C.由于

9、x-2,2，若0sinx1，则0x2，设“0sinx1”为事件A，则P(A)=2-02-(-2)=2=12.2.如图，在一个边长为a，b(ab0)的矩形内画一个梯形，梯形上、下底边分别为a3与a2，高为b.向该矩形内随机地投一点，则所投的点落在梯形内部的概率为()A.112B.14C.512D.712【解析】选C.S矩形=ab.S梯形=1213a+12ab=512ab.故所投的点落在梯形内部的概率为P=S梯形S矩形=512abab=512.二、填空题(每小题5分，共10分)3.(2015威海高一检测)在区间0，1内任取两个数，则这两个数的平方和也在0，1内的概率是.【解析】设在0，1内取出的数

10、为a，b，若a2+b2也在0，1内，则有0a2+b21.如图，试验的全部结果所构成的区域为边长为1的正方形，满足a2+b2在0，1内的点在14单位圆内(如阴影部分所示)，故所求概率为141=4.答案：4【补偿训练】(2015合肥高一检测)如图，四边形ABCD为矩形，AB=3，BC=1，以A为圆心，1为半径作四分之一个圆弧DE，在DAB内任作射线AP，则射线AP与线段BC有公共点的概率为.【解析】(用几何概型，化概率为角度之比)当点P在BC上时，AP与BC有公共点，此时AP扫过ABC，所以所求概率P=BACBAD=3090=13.答案：134.(2015西宁高一检测)在一个球内挖去一个几何体，其

11、三视图如图.在球内任取一点P，则点P落在剩余几何体上的概率为.【解析】由三视图可知，该几何体是球与圆柱的组合体，球半径R=5，圆柱底面半径r=4，高h=6，故球体积V=43R3=5003，圆柱体积V1=r2h=96，所以所求概率P=5003-965003=53125.答案：53125三、解答题(每小题10分，共20分)5.图2中实线围成的部分是长方体(图1)的平面展开图，其中四边形ABCD是边长为1的正方形.若向虚线围成的矩形内任意抛掷一质点，它落在长方体的平面展开图内的概率是14，求此长方体的体积.【解析】设长方体的高为h，则题图2中虚线围成的矩形长为2+2h，宽为1+2h，面积为(2+2h

12、)(1+2h)，展开图的面积为2+4h.由几何概型的概率公式知2+4h(2+2h)(1+2h)=14，得h=3，所以长方体的体积是V=13=3.6.如图，已知AB是半圆O的直径，AB=8，M，N，P是将半圆圆周四等分的三个分点.(1)从A，B，M，N，P这5个点中任取3个点，求这3个点组成直角三角形的概率.(2)在半圆内任取一点S，求SAB的面积大于82的概率.【解析】(1)从A，B，M，N，P这5个点中任取3个点，一共可以组成10个三角形：ABM，ABN，ABP，AMN，AMP，ANP，BMN，BMP，BNP，MNP，其中是直角三角形的只有ABM，ABN，ABP 3个，所以组成直角三角形的概

13、率为310.(2)连接MP，取线段MP的中点D，则ODMP，易求得OD=22，当S点在线段MP上时，SABS=12228=82，所以只有当S点落在阴影部分时，SAB面积才能大于82，而S阴影=S扇形MOP-SOMP=12242-1242=4-8，所以由几何概型的概率公式得SAB的面积大于82的概率为4-88=-22.【补偿训练】(2014顺义模拟)已知关于x的一次函数y=ax+b.(1)设集合A=-2，-1，1，2和B=-2，2，分别从集合A和B中随机取一个数作为a，b，求函数y=ax+b是增函数的概率.(2)若实数a，b满足条件a-b+10,-1a1,-1b1,求函数y=ax+b的图象不经过第四象限的概率.【解析】(1)抽取全部结果所构成的基本事件空间为(-2，-2)，(-2，2)，(-1，-2)，(-1，2)，(1，-2)，(1，2)，(2，-2)，(2，2)，共8个.设函数是增函数为事件A，所以a0，有4个，所以P(A)=12.(2)实数a，b满足条件a-b+10,-1a1,-1b1,要函数y=ax+b的图象不经过第四象限，则需使a，b满足a0,b0,即0a1,0b1,对应的图形为小正方形ODBC，面积为1.如图：则根据几何概型的概率公式可得函数y=ax+b的图象不经过第四象限的概率为172=27.关闭Word文档返回原板块