完整版八年级因式分解难题附答案及解析

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1、第 1页(共 31 页)2017 年 05 月 21 日数学(因式分解难题)2一填空题(共 10 小题)1 .已知 x+y=10, xy=16,则 x2y+xy2的值为_ .2两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成 2 (x- 1) (x-9);另一位同学因看错了常数项分解成 2 (x-2) (x- 4), 请你将原多项式因式分解正确的结果写出来：_ .3 .若多项式 x2+mx+4 能用完全平方公式分解因式，则 m 的值是_ .4 .分解因式：4 貳-4x- 3=_.5._ 利用因式分解计算：2022+202X196+982=_ .6._AABC 三边 a, b

2、, c 满足 a2+b2+c?=ab+bc+ca，则 ABC 的形状是_ .7 .计算：12- 22+32- 42+52- 62+-1002+1012=_ .8.定义运算 b= (1-a) b,下面给出了关于这种运算的四个结论：12 (- 2) =32a b=b a3若 a+b=0,则(a a) + (b b) =2ab4若 a b=0,则 a=1 或 b=0.其中正确结论的序号是_ (填上你认为正确的所有结论的序号).9._ 如果 1+a+a2+a3=0,代数式 a+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8=_ .10. 若多项式 x2-6x- b 可化为(x+a)2- 1,则 b 的值是_

3、 .二.解答题(共 20 小题)第 2页(共 31 页)11 .已知 n 为整数，试说明(n+7)2-(n -3)2的值一定能被 20 整除.12 .因式分解：4x2y - 4xy+y .13 .因式分解(1) a3- ab2(2) (x-y)2+4xy.14 先阅读下面的内容，再解决问题，例题：若 m2+2mn+2n2- 6n+9=0,求 m 和 n 的值.解：Tm2+2mn+2n2- 6n+9=0 m2+2mn +n2+n2- 6n+9=0/( m+ n)2+ (n - 3)2=0 m+n=0, n 3=0 m= 3, n=3问题：(1 )若X2+2-2xy+4y+4=0,求 Xy的值.(

4、2)已知 ABC 的三边长 a, b, c 都是正整数，且满足 a2+b2- 6a- 6b+18+|3-c| =0,请问 ABC 是怎样形状的三角形？15.如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差， 那么称这个正整数为 和 谐数”如 4=22- 02, 12=42- 22, 20=62- 42，因此 4, 12, 20 这三个数都是和 谐数.(1) 36 和 2016 这两个数是和谐数吗？为什么？(2) 设两个连续偶数为 2k+2 和 2k (其中 k 取非负整数)，由这两个连续偶数 构造的和谐数是 4 的倍数吗？为什么？(3)_介于 1 到 200 之间的所有和谐数”之和为_ .16. 如

5、图 1,有若干张边长为 a 的小正方形、长为 b 宽为 a 的长方形以及 边长为 b 的大正方形的纸片.第 3页(共 31 页):1b111 11111111111111i1iiiaHI郅(1)如果现有小正方形1 张，大正方形2 张，长方形3 张，请你将它们 拼成一个大长方形 (在图 2 虚线框中画出图形)，并运用面积之间的关系，将 多项式a2+3ab+2b2分解因式.(2) 已知小正方形与大正方形的面积之和为 169，长方形的周长为 34, 求长方形的面积.(3) 现有三种纸片各 8 张，从其中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张，把取出的这些纸片拼成一个正方形(按原纸张进行无空隙、无重叠拼接

6、)，求可以拼成多少种边长不同的正方形.17. (1)有若干块长方形和正方形硬纸片如图 1 所示，用若干块这样的硬纸片拼成一个新的长方形，如图 2.1用两种不同的方法，计算图 2 中长方形的面积;2由此，你可以得出的一个等式为： _(2)有若干块长方形和正方形硬纸片如图 3 所示.1请你用拼图等方法推出一个完全平方公式，画出你的拼图；口oHl第 4页(共 31 页)2请你用拼图等方法推出 2a2+5ab+2b2因式分解的结果，画出你的拼图.18 .已知 a+b=1，ab=- 1，设 S1=a+b， S2=a2+b2，S3=a3+b3，Sn=an+bn(1)计算 s；(2)请阅读下面计算 S3的过

7、程:a i-b二乍十F+(站g-hp十&召一盘为=(护+扩0+(扩+a-府白+应为=(白 +盼+(/ 4 扌 0-4 地+曲二S+如+巧一糾因为 a+b=1, ab=- 1,所以 S3=a3+b3= (a+b) (a2+b2) ab (a+b) =1xS2-( - 1) =S2+1=_你读懂了吗？请你先填空完成(2)中 S3的计算结果，再用你学到的方法计算S4.(3 )试写出 Sn-2, Sn-1, Sn三者之间的关系式；(4)根据(3)得出的结论，计算 S6.19. (1)利用因式分解简算:9.82+0.4X9.8+0.04(2)分解因式：4a (a- 1)2-( 1 - a)20. 阅读材

8、料：若 m2-2mn+2n2- 8n+16=0,求 m、n 的值.解：Tm2- 2mn+2n2- 8n +16=0,二(m2- 2mn+n2) + (n2- 8n+16) =0( m - n)2+ (n- 4)2=0,A(m - n)2=0, (n- 4)2=0,二 n=4, m=4. 根据你的观察，探究下面的问题：(1) 已知 x2+2xy+2y2+2y+1=0, 求 x-y 的值.(2) 已知 ABC 的三边长 a、b、c 都是正整数，且满足 石+b2-6a- 8b+25=0, 求厶 ABC 的最大边 c 的值.(3) 已知 a - b=4, ab+c2- 6c+13=0,则 a - b+

9、c=_ .第 5页(共 31 页)21. 仔细阅读下面例题，解答问题：例题：已知二次三项式 x2-4x+m 有一个因式是(x+3)，求另一个因式以及 m 的值.解：设另一个因式为(x+n),得 x2- 4x+m= (x+3) (x+n)，则 x2- 4x+m=W+ (n+3)x+3nn+3= 4m=3n解得：n= - 7, m= 21另一个因式为(x 7), m 的值为-21 .问题：(1) 若二次三项式 x2- 5x+6 可分解为(x- 2) (x+a),贝 U a=_ ;(2) 若二次三项式 2x2+bx - 5 可分解为(2x- 1) (x+5),则 b=_ ;(3)仿照以上方法解答下面

10、问题：已知二次三项式2x2+5x- k 有一个因式是(2x-3)，求另一个因式以及 k 的值.22 分解因式:(1) 2x2- x;(2) 16x2- 1;(3) 6xy2- 9x2y - y3;(4) 4+12 (x- y) +9 (x-y)2.23.已知 a, b, c 是三角形的三边，且满足(a+b+c)2=3 (a2+b2+c2),试确定 三角形的形状.24.分解因式(1) 2(- 4x2y2+2y4(2) 2a3- 4a2b+2ab2.第 6页(共 31 页)25.图是一个长为 2m、宽为 2n 的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四 块小长方形，然后按图的形状拼成一个正方形.(1)

11、图中的阴影部分的面积为 ;(2) 观察图请你写出三个代数式(m+n)2、(m - n)2、mn 之间的等量关系是_.第 7页(共 31 页)(3)_若 x+y=7, xy=10,则(x y)2=_ .(4) 实际上有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示.如图，它表示了 _.(5)试画出一个几何图形， 使它的面积能表示(m+ n) (m+3n) =m2+4mn+3n2.26. 已知 a、b、c 满足 a b=8, ab+c2+16=0,求 2a+b+c 的值.27 .已知：一 个长 方体的长、宽、高分别为正整数 a、b、c,且满足a+b+c+ab+bc+ac+abc=2006,求：这个长方体的体

12、积.28.(x2 4x)2 2 (x2 4x) 15.29.阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题:1+x+x (x+1) +x (x+1)2=(1+x) 1 +x+x (x+1)=(1+x)2(1+x)=(1+x)3(1 )上述分解因式的方法是 ，共应用了次.(2)_ 若分解 1+x+x (x+1 ) +x (x+1 )2+-+x (x+1 )2004,则需应用上述方法 _次，结果是_ .(3) 分解因式：1+x+x (x+1) +x (x+1)2+-+x (x+1)n(n 为正整数).w第 8页(共 31 页)30. 对于多项式 x3 5x2+x+10，如果我们把 x=2 代入此多项式

13、，发现多项式 x35x2+x+10=0，这时可以断定多项式中有因式(x- 2)(注：把 x=a 代入多项式能使多项式的值为 0,则多项式含有因式（X- a）,于是我们可以把多项式写成：x3-5X2+X+10=（x- 2） （x2+mx+n），（1 ）求式子中 m、n 的值； （2）以上这种因式分解的方法叫试根法，用试根法分解多项式x3- 2x2- 13x-10 的因式第 9 页(共 3i 页)2017 年 05 月 21 日数学(因式分解难题)2参考答案与试题解析一填空题(共 10 小题)1. ( 2016 秋？望谟县期末)已知 x+y=10, xy=16,则 x2y+xy2的值为 160 .

14、【分析】首先提取公因式 xy,进而将已知代入求出即可.【解答】解： x+y=10, xy=16, x2y+xy2=xy(x+y)=10X16=160.故答案为：160.【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键.2. (2016 秋？新宾县期末)两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因 看错了一次项系数而分解成 2 (x- 1) (x-9);另一位同学因看错了常数项分 解成 2 (x-2)(x-4),请你将原多项式因式分解正确的结果写出来：2 (x-3)2.【分析】 根据多项式的乘法将 2 (x- 1) (x-9)展开得到二次项、 常数项；将 2 (x-2)(x-

15、4)展开得到二次项、一次项.从而得到原多项式，再对该 多项式提取公因式 2 后利用完全平方公式分解因式.【解答】 解：2 (x- 1) (x-9) =2 乂 - 20 x+18;2 (x- 2) (x-4) =2- 12x+16;原多项式为 2x2- 12x+18 .2/- 12x+18=2 (x2- 6x+9) =2 (x-3)2.【点评】根据错误解法得到原多项式是解答本题的关键. 二次三项式分解因式，看第 10页(共 31 页)错了一次项系数，但二次项、常数项正确；看错了常数项，但二次项、一次项正确.3.(2015 春？昌邑市期末)若多项式 x2+mx+4 能用完全平方公式分解因式，则 m

16、的值是 土 4.【分析】利用完全平方公式(a+b)2= (a- b)2+4ab、(a- b)2= (a+b)2- 4ab 计算即可.【解答】解： x2+mx+4= (x 2)2,即 x2+mx+4=W 土 4x+4, m= 4.故答案为：土 4.【点评】此题主要考查了公式法分解因式，熟记有关完全平方的几个变形公式 是解题关键.4.(2015 秋？利川市期末)分解因式：4/- 4x- 3=(2x- 3) (2x+1).【分析】ax2+bx+c (a0)型的式子的因式分解，这种方法的关键是把二次项 系数a 分解成两个因数 ai, a2的积 ai?a2，把常数项 c 分解成两个因数 ci, C2的积

17、 ci?C2,并使 aiC2+a2Ci正好是一次项 b，那么可以直接写成结果：ax2+bx+c=(aix+ci) (a2x+c2),进而得出答案.【解答】解：4x2- 4x- 3= (2x- 3) (2x+i).故答案为：(2x- 3) (2x+i).【点评】此题主要考查了十字相乘法分解因式，正确分解各项系数是解题关键.5 . (20i5 春？东阳市期末)利用因式分解计算：2022+202Xi96+982= 90000.【分析】通过观察，显然符合完全平方公式.第 9 页(共 3i 页)【解答】解：原式=2022+2x202x98+982=(202+98)2=300 =90000.【点评】运用公

18、式法可以简便计算一些式子的值.6. (2015 秋？浮梁县校级期末) ABC 三边 a, b, c 满足 a2+b2+c2=ab+bc+ca, 则厶 ABC 的形状是 等边三角形 .【分析】分析题目所给的式子，将等号两边均乘以 2,再化简得(a- b)2+ (a -c)2+(b - c)2=0,得出：a=b=c,即选出答案.【解答】解：等式 a2+b2+c2=ab+bc+ac 等号两边均乘以 2 得：2a2+2b2+2c2=2ab+2bc+2ac,即 a2- 2ab+b2+a2- 2ac+c2+b2- 2bc+c2=0,即(a - b)2+ (a- c)2+ (b - c)2=0,解得：a=b

19、=c,所以， ABC 是等边三角形.故答案为：等边三角形.【点评】此题考查了因式分解的应用； 利用等边三角形的判定，化简式子得 a=b=c,由三边相等判定厶 ABC 是等边三角形.7. (2015 秋？鄂托克旗校级期末)计算：12- 22+32- 42+52- 62+-1002+1012=5151.【分析】通过观察，原式变为 1+ (32- 22) + (52- 42) + (1012- 1002),进一 步运用高斯求和公式即可解决.【解答】解：12- 22+32- 42+52- 62+-1002+1012=1+ (32- 22) + (52- 42) + ( 1012- 1002)第 12页

20、(共 31 页)=1+ (3+2) + (5+4) + (7+6) + (101+100)=(1+101)X101-2=5151.故答案为：5151.【点评】此题考查因式分解的实际运用，分组分解，利用平方差公式解决问题.8. (2015 秋？乐至县期末)定义运算 ab= (1 - a) b,下面给出了关于这种运 算的四个结论：12 (- 2) =32a b=b a3若 a+b=0,则(a a) + (b b) =2ab4若 a b=0,则 a=1 或 b=0.其中正确结论的序号是(填上你认为正确的所有结论的序号).【分析】根据题中的新定义计算得到结果，即可作出判断.【解答】解：2 (-2) =

21、 (1 - 2)X(- 2) =2,本选项错误；2ab= (1 - a) b, ba= (1 - b) a,故 ab 不一定等于 ba,本选项错误；3若 a+b=0，贝U(aa) + (b b) = (1 - a) a+ (1 - b) b=a- a2+b- b2=- a2-b2=- 2a2=2ab,本选项正确；4若 a b=0,即(1 - a) b=0,则 a=1 或 b=0,本选项正确，其中正确的有.故答案为.【点评】此题考查了整式的混合运算，以及有理数的混合运算，弄清题中的新 定义是解本题的关键.9.（2015 春？张掖校级期末）如果 1 +a+a2+a3=0,代数式 a+a2+a3+a

22、4+a5+a6+a7+a8=第 13页(共 31 页)0 .【分析】4 项为一组，分成 2 组，再进一步分解因式求得答案即可.【解答】解：I1+a+a2+a3=0,二 a+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8,=a (1 +a+a2+a3) +a5(1 +a+a2+a3),=0+0,=0.故答案是：0.【点评】此题考查利用因式分解法求代数式的值，注意合理分组解决问题.10. (2015 春？昆山市期末)若多项式 X2-6x-b 可化为(x+a)2- 1,贝 U b 的值是 -8.【分析】利用配方法进而将原式变形得出即可.【解答】 解：Tx2- 6x- b= (x- 3)2- 9- b= (

23、x+a)2- 1,二 a=- 3,- 9- b= - 1,解得：a=- 3, b= - 8.故答案为：-8.【点评】此题主要考查了配方法的应用，根据题意正确配方是解题关键.二.解答题(共 20 小题)11. 已知 n 为整数，试说明(n+7)2-(n -3)2的值一定能被 20 整除.【分析】用平方差公式展开(n+7)2-(n -3)2,看因式中有没有 20 即可.【解答】 解：(n +7)2-(n-3)2= (n +7+n-3) (n +7- n+3) =20 (n+2), (n +7)2-(n- 3)2的值一定能被 20 整除.第 14页(共 31 页)【点评】主要考查利用平方差公式分解因

24、式.公式：a2- b2= (a+b) (a- b).12. (2016 秋？农安县校级期末)因式分解：4x2y- 4xy+y.【分析】先提取公因式 y,再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解.【解答】 解： 4x2y- 4xy+y=y( 4x2- 4x+1 )=y(2x- 1)2.【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解, 一个多项式有公因 式首先提取公因式,然后再用其他方法进行因式分解,同时因式分解要彻底, 直到不能分解为止.13. (2015 秋?成都校级期末)因式分解( 1 ) a3- ab2(2)(x- y)2+4xy.【分析】(1)原式提取 a,再利用平方差公式分解即可；

25、( 2)原式利用完全平方公式分解即可.【解答】解：(1)原式=a (a2- b2) =a (a+b) (a- b)；( 2)原式 =x2- 2xy+y2+4xy=x2+2xy+y2=( x+y)2.【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用, 熟练掌握因式分解的方 法是解本题的关键.14. (2015 春?甘肃校级期末)先阅读下面的内容,再解决问题,例题：若 m2+2mn+2n2- 6n+9=0,求 m 和 n 的值.解：Tm2+2mn+2n2- 6n+9=0 m2+2mn +n2+n2- 6n+9=0/( m+ n)2+ (n - 3)2=0第 15页(共 31 页)m+n=0, n 3

26、=0m= 3, n=3问题：(1) 若 x2+2y2 2xy+4y+4=0,求 X 的值.(2) 已知 ABC 的三边长 a, b, c 都是正整数，且满足 孑+b2-6a 6b+18+|3 c|=0,请问 ABC 是怎样形状的三角形？【分析】(1)首先把 x2+2y2 2xy+4y+4=0,配方得到(x y)2+ (y+2)2=0, 再根据非负数的性质得到 x=y= 2,代入求得数值即可；(2)先把 ab2- 6a 6b+18+|3 c| =0,配方得到(a 3)2+ (b 3)2+| 3 c|=0,根据非负数的性质得到 a=b=c=3,得出三角形的形状即可.【解答】解：(1 ) x2+2y

27、2 2xy+4y+4=0 x2+y2 2xy+y2+4y+4=0,( x y)2+ (y+2)2=0 x=y=- 2(2a2+b2 6a 6b+18+| 3 c| =0, a2- 6a+9+b2 6b+9+| 3 c| =0,( a 3)2+ (b 3)2+| 3 c| =0 a=b=c=3三角形 ABC 是等边三角形.【点评】此题考查了配方法的应用：通过配方，把已知条件变形为几个非负数 的和的形式，然后利用非负数的性质得到几个等量关系， 建立方程求得数值解 决问题.15.(2015 秋？太和县期末)如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差, 那第 16页(共 31 页)么称这个正整数为 和

28、谐数”如 4=22- 02, 12=军-22, 20=62- 42,因此 4, 12, 20这三个数都是和谐数.(1) 36 和 2016 这两个数是和谐数吗？为什么？(2) 设两个连续偶数为 2k+2 和 2k (其中 k 取非负整数)，由这两个连续偶数 构造的和谐数是 4 的倍数吗？为什么？(3) 介于 1 到 200 之间的所有 和谐数”之和为 2500.【分析】(1)利用 36=1 俨-82; 2016=5052- 5032说明 36 是 和谐数” 2016 不是和谐数”(2) 设两个连续偶数为 2n, 2n+2(n 为自然数),则和谐数”(2n +2)2- (2n)2,利用平方差公式

29、展开得到(2n+2+2n) (2n+2-2n) =4(2n+1),然后利用整 除性可说明 和谐数”一定是 4 的倍数；(3)介于 1 到 200 之间的所有 和谐数”中，最小的为：22- 02=4,最大的为：502- 482=196，将它们全部列出不难求出他们的和.【解答】解：(1) 36 是 和谐数” 2016 不是 和谐数”理由如下：36=10- 82; 2016=5052- 5032;(2) 设两个连续偶数为 2k+2 和 2k (n 为自然数)，(2k+2)2-(2k)2= (2k+2+2k) (2k+2- 2k)=(4k+2)x2=4 (2k+1), 4 (2k+1)能被 4 整除，

30、和谐数”一定是 4 的倍数；(3) 介于 1 到 200 之间的所有 和谐数”之和，S= (22- 02) + (42- 22) + (62- 42) + (502- 482) =50=2500.第 16 页（共 31 页）故答案是：2500.【点评】本题考查了因式分解的应用：利用因式分解把所求的代数式进行变形, 从而达到使计算简化.16. （2015 春?兴化市校级期末）如图 1,有若干张边长为 a 的小正方形、长 为 b宽为 a 的长方形以及边长为 b 的大正方形的纸片.圍1圉2（1）如果现有小正方形1 张，大正方形2 张，长方形3 张，请你将它们 拼成一个大长方形 （在图 2 虚线框中画

31、出图形），并运用面积之间的关系，将 多项式 a2+3ab+2b2分解因式.（2）已知小正方形与大正方形的面积之和为 169，长方形的周长为 34, 求长方形的面积.（3）现有三种纸片各 8 张，从其中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张，把取出的这些纸片拼成一个正方形（按原纸张进行无空隙、无重叠拼接），求可以拼成多少种边长不同的正方形.【分析】（1）根据小正方形1 张，大正方形2 张，长方形3 张，直接画 出图形，利用图形分解因式即可；（2）由长方形的周长为 34,得出 a+b=17， 由题意可知： 小正方形与大正 方形的面积之和为 a2+b2=169,将 a+b=17 两边同时平方，可求得 a

32、b 的值，从 而可求得长方形的面积；（3）设正方形的边长为（na+mb），其中（n、m 为正整数）由完全平方公式可知：（na+mb）2=n2a2+2nmab+m2b2.因为现有三种纸片各 8 张，n28, m28, 2mnw8 （n、m 为正整数）从而可知 nW2, m2,从而可得 出答案. a2+3ab+2b2= （a+2b） （a+b）;（2 长方形的周长为 34, a+b=17.小正方形与大正方形的面积之和为 169, a2+b2=169.将 a+b=17 两边同时平方得：（a+b）2=172，整理得：a2+2ab+b2=289, 2ab=289 - 169, ab=60.长方形的面积为

33、 60.（3）设正方形的边长为（na+mb），其中（n、m 为正整数）正方形的面积=（na+mb）2=n2a2+2nmab+m2b2.现有三种纸片各 8 张， n28, m28, 2mn8 （n、m 为正整数） n2, m0, c2 0,则 b=- 4，c=0（ 4 分）所以 a=4，（ 5 分）所以 2a+b+c=4（ 6 分）【点评】本题既考查了对因式分解方法的掌握， 又考查了非负数的性质以及代 数式求值的方法27（ 2010 春?北京期末）已知：一个长方体的长、宽、高分别为正整数 a、b、c,且满足 a+b+c+ab+bc+ac+abc=2006,求：这个长方体的体积【分析】 我们可先将

34、 a+b+c+ab+bc+ac+abc 分解因式可变为 （a+1）（b+1）（c+1）-1，就得（1+b）（c+1）（a+1） =2007,由于 a、b、c 均为正整数，所以（a+1）、（b+1） 、 （c+1） 也为正整数， 而 2007 只可分解为 3X3X223,可得 （a+1） 、 （b+1） 、（c+1）的值分别为 3、3、223,所以 a、b、c 值为 2、2、222.就可求出长方 体体积 abc 了.【解答】 解：原式可化为： a+ab+c+ac+ab+abc+b+1 - 1=2006,a（1+b） +c（1+b） +ac（1+b） +（1+b）- 1=2006,（ 1+b）（

35、a+c+ac） +（ 1+b） =2007,（ 1+b）（ c+1+a+ac） =2007,第31页(共 31 页)（1+b）（c+1）（a+1） =2007,2007 只能分解为 3X3X223( a+1)、(b+1)、(c+1)也只能分别为 3、3、223a、b、c 也只能分别为 2、2、222长方体的体积 abc=888.【点评】本题考查了三次的分解因式，做题当中用加减项的方法，使式子满足 分解因式.28.(2007 秋？普陀区校级期末)(x2-4x)2- 2 (x2- 4x)- 15.【分析】把(x2- 4x)看作一个整体，先把-15 写成 3X(-5),利用十字相 乘法分解因式，再把

36、 3 写成(-1)X( -3), -5 写成 1X( -5),分别利用 十字相乘法分解因式即可.【解答】解：(x2- 4x)2- 2 (x2-4x)- 15，=(x2- 4x+3) (x2- 4x- 5)，=(x- 1) (x- 3) (x+1) (x- 5).【点评】本题考查了十字相乘法分解因式， 运用十字相乘法分解因式时，要注 意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程，本题需要进行多次因式分解，分解因式一定要彻底.29.(2007 春?镇海区期末)阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：1+x+x(x+1) +x (x+1)2=(1+x) 1 +x+x (x+1)=(1+x)2(

37、1+x)=(1+x)3(1 )上述分解因式的方法是提公因式法，共应用了 2 次.第32页(共 31 页)(2)若分解 1 +x+x(x+1 ) +x(x+1 )2+- +x (x+1)2004，则需应用上述方法 2004次，结果是(1 +x)2005.(3)分解因式：1+x+x (x+1) +x (x+1)2+-+x (x+1)n(n 为正整数).【分析】此题由特殊推广到一般，要善于观察思考，注意结果和指数之间的关 系.【解答】解：(1)上述分解因式的方法是提公因式法，共应用了2 次.(2)需应用上述方法 2004 次，结果是(1+x)2005.(3 )解：原式=(1+x) 1 +x+x (x

38、+1) +x ( x+1)3+x ( x+1)n，=(1+x)2(1+x) +x (x+1)3+-+x (x+1)n，=(1+x)3+x (x+1 )3+x (x+1)n，=(x+1)n+x (x+1)n，=(x+1)n+1.【点评】本题考查了提公因式法分解因式的推广，要认真观察已知所给的过程， 弄清每一步的理由，就可进一步推广.30.(2007 春?射洪县校级期末)对于多项式 x3-5x2+x+10，如果我们把 x=2 代入此多项式，发现多项式 x3-5X2+X+10=0,这时可以断定多项式中有因式(x -2)(注：把 x=a代入多项式能使多项式的值为 0,则多项式含有因式(x-a), 于是

39、我们可以把多项式写成：x3-5X2+X+10=(x- 2) (x2+mx+n),(1 )求式子中 m、n 的值；(2)以上这种因式分解的方法叫试根法，用试根法分解多项式x3- 2x2- 13x-10 的因式.【分析】(1)根据(x- 2) (x2+mx+ n) =x3+ (m - 2) x2+ (n- 2m) x- 2n,得 出有关 m, n 的方程组求出即可；第 31 页（共 31 页）（2）由把 x=- 1 代入 x3-2x2- 13x- 10,得其值为 0,则多项式可分解为（x+1）（x2+ax+b）的形式，进而将多项式分解得出答案.【解答】 解：（1）方法一：因（x- 2）（ x2+m

40、x+n） =x3+（ m - 2）x2+ （n-2m）x- 2n,=x3- 5/+X+10, （2 分）-2n=10解得：m=- 3, n=-5 （5 分），方法二：在等式 x3- 5x2+x+10= （x- 2） （x2+mx+ n）中， 分别令 x=0, x=1,即可求出：m=-3, n=- 5 （注：不同方法可根据上面标准酌情给分）（2）把 x=- 1 代入 x3- 2x2- 13x- 10,得其值为 0, 则多项式可分解为（x+1）（x2+ax+b）的形式，（7 分） 用上述方法可求得：a=- 3, b=- 10, （8 分）所以 x3- 2x2- 13x- 10= （x+1） （x2- 3x- 10）, （9 分）=（x+1） （x+2） （x- 5） . （10 分）【点评】此题主要考查了因式分解的应用，根据已知获取正确的信息，是近几 年中考中热点题型同学们应熟练掌握获取正确信息的方法.