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1、2021/7/231. 平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算2021/7/232.平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算平面向量的坐标表示平面向量的坐标表示在平面内有点在平面内有点A和点和点B，怎样怎样 表示向量表示向量AB平面向量基本定理的内容？什么叫基底？平面向量基本定理的内容？什么叫基底？分别与分别与x 轴轴、y 轴方向相同的两单位向量轴方向相同的两单位向量i 、j 能否作能否作为基底？为基底？Oxyij2021/7/233ABCDoxyij思考：思考：如图，在直角坐标系中，如图，在直角坐标系中，已知已知A(1,0),B(0,1),C(3,4),D(5,7).设设 ，填空：，填空：,O A
2、i O Bj （1）| | _,| _,| _;ijOC（2）若用）若用 来表示来表示 ，则：，则：, i j ,OC OD _,_ .OCOD34ij 57ij 1153547（3）向量）向量 能否由能否由 表示出来？表示出来？CD , i j 23CDij 2021/7/234探索探索1:以以O为起点，为起点， P为终点的向量能为终点的向量能否用坐标表示？如何表示？否用坐标表示？如何表示？oPxya2021/7/2354321-1-2-3-2246ij），（yxP( , )O P xi yjxy 向量的坐标表示O向量向量 P（x ，y）一一 一一 对对 应应O P 2021/7/2361
3、、把、把 a=x i+y j 称为称为向量基底形式向量基底形式.2 、把、把(x , y)叫做向量叫做向量a的（直角）坐标的（直角）坐标, 记为：记为：a=(x , y) , 称其为称其为向量的坐标形式向量的坐标形式.3、 a=x i+y j =( x , y)4、其中、其中 x、 y 叫做叫做 a 在在X 、Y轴上的坐标轴上的坐标.单位向量单位向量 i =（1，0），），j =（0，1）2021/7/237CO 例例1 1如如图图，已已知知A A( (- -1 1, , 3 3) ), , B B( (1 1, , - -3 3) )，C C( (4 4, , 1 1) )，D D( (3
4、3, , 4 4) )，求求向向量量O OA A, , O OB B, ,A AO O, , O OD D, , 的的坐坐标标。xyBDCOA2021/7/238练习练习 已知已知o o是坐标原点是坐标原点,点点A在第一在第一象限象限, XOA=60,则向量则向量 的坐标为的坐标为 .OA= 4,OA2021/7/239 在平面直角坐标系内，起点不在坐标在平面直角坐标系内，起点不在坐标原点原点O的向量如何用坐标来表示的向量如何用坐标来表示?探索探索2: 解决方案解决方案: :已知已知 求求),(),(2211yxByxA，AB),(11yxA),(22yxBxyO),(),(2211yxyx
5、),(1212yyxx 解：解：OAOBAB 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标标减去始点的坐标 2021/7/2310思考思考:OxyijaA(x, y)a2用坐标表示两个向量相等用坐标表示两个向量相等1点点A的坐标与向量的坐标与向量a 的坐标的关系？的坐标的关系？1212,a bxx yy 向量向量a坐标（坐标（x ，y）一一 一一 对对 应应若若a以原点为起点以原点为起点,两者相同两者相同3.( , )aOAx y 22aOAxy ，则有：，则有：2121(,)ABxx yy 222121|()()ABxxyy
6、 4. 若A ，B ，则11( ,)x y22(,)xy2021/7/2311. 平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算 已知已知a ，b ，求求a+b，a-b),(11yx ),(22yx 解：解：a+b=( i + j ) + ( i + j )1x1y2x2y=（ + )i+（ + )j1x2x1y2y即即),(2121yyxx a + b同理可得同理可得a - b),(2121yyxx 两个向量和与差的坐标分别等于这两向量相对应坐标的和与差两个向量和与差的坐标分别等于这两向量相对应坐标的和与差),(yx a 实数与向量的积的坐标等于这个实数乘原来的向量
7、的相实数与向量的积的坐标等于这个实数乘原来的向量的相应坐标应坐标2021/7/2312. 平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算 例例2已知已知a=（2，1），），b=（-3，4），），求：求：(1) a+b，a-b的坐标的坐标;(2)与与3a+2b共线的单位向量共线的单位向量解解（1） a +b=（2，1）+（-3，4）=（-1，5）；）；a-b=（2，1）-（-3，4）=（5，-3）；）；3a-2b=3（2，1）- 2（-3，4） =（6，3）-（-6，8） =（12，-5）|3a-2b|=| （12，-5） |=13所以与所以与3a-2b共线的单位向量是共线的单位向量是（2）321125(
8、12, 5)(,)131313|32 |abab 2021/7/2313. 平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算 例例3 已知已知 ABCD的三个顶点的三个顶点A、B、C的坐标分别为的坐标分别为（2，1）、（）、（ 1，3）、（）、（3，4），求顶点），求顶点D的坐标的坐标解：设顶点解：设顶点D的坐标为（的坐标为（x，y），（），（211321( AB)4 ,3(yxDC ，得得由由DCAB )4 ,3()2 , 1(yx yx4231 22yx），的的坐坐标标为为（顶顶点点22D2021/7/23141122( ,),(,)(1)x yxyP 121 212例3已知PP，P是直线PP 上的一
9、点，且PPPP，求点 的坐标。42021/7/2315OA=2,OAABAB+3BC=0OC练习练习1 1.已知已知o是坐标原点是坐标原点,点点A在第二象限在第二象限, XOA=150,则向量则向量 的坐标为的坐标为 . 2.已知已知a=(-1,2),b=(1,-2),则则a + b= , a-b= . 3.已知已知a=(x-2,3),b=(1,y+2),且且a = b,则x = ,y = .4. 已知已知A(1,2),B(3,2),向量向量a=(x+3,x-3y-4)与与 相相等等,求实数求实数x的值的值. 5. 已知已知o是坐标原点是坐标原点, A(2,-1),B(-4,8),求求 的坐标
10、的坐标.2021/7/2316练习练习2 1、下列向量中不是单位向量的有、下列向量中不是单位向量的有 个个 c= a=(cos , sin )( lg2, lg5)(2 ,2)xx b= d=(1-x,x)2、已知单位正方形ABCD， 求 的模 。,ABa BCb ACc 23abc3.(3,1),|5,4.(sincos, sincos),ppmm已 知且则已 知则的 长 度 为2021/7/2317OA AB OP OPOAt AB OP OA tAB 3t+10,2133t思考：如果已知点O(0,0),A(1,2),B(4,5)及若点P在第二象限内，则点t的取值范围是？O(0,0),A(
11、1,2),B(4,5)=（1，2）， =（3，3）,而=（1，2）+t(3,3)=(3t+1,3t+2),P(3t+1,3t+2)，而点P在第二象限内解得解：2021/7/2318探究探究3 3：两个向量共线的坐标表示：两个向量共线的坐标表示向量平行的坐标表示：向量平行的坐标表示：即：即： 两个向量共线等价于两个向量共线等价于交叉相乘，积相等交叉相乘，积相等1122( ,),(,),ax ybxy1221/ /0abx yx y若向量若向量则有则有2021/7/2319210,(3, 4)/.ababa例题 、已知且，求向量babyxayxa/),4, 3(10),(22又则解：设8686yx
12、yx或解得：0341022yxyx)8 , 6()8, 6(aa或52021/7/2320练习练习12120,2 ),(cos ,sin )(3cos ,4sin ),|OPOPPP 已知则的取值范围是1.2、平面内给定三个向量a=(3,2),b=(-1,2) c=(4,1),回答下列问题:(1)求3a+b-2c;(2)求满足a=mb+nc的实数m,n;(3)若(a+kc) (2b-a),求实数k(4)设d=(x,y)满足(d-c) (a+b)且 |d-c|=1,求d.2021/7/2321课堂小结课堂小结: :2 加、减法法则加、减法法则.a + b=( x2 , y2) + (x1 , y1)= (x2+x1 , y2+y1)3 实数与向量积的运算法则实数与向量积的运算法则：a =(x ,y )=(x ,y ) 4 向量坐标向量坐标.1 向量坐标定义向量坐标定义.若若A(x1 , y1) , B(x2 , y2)则则 =(x2 - x1 , y2 y1 ) ABa - b=( x2 , y2) - (x1 , y1)= (x2- x1 , y2-y1)5、坐标形式下向量的模；、坐标形式下向量的模；6、单位向量、单位向量7、向量共线、向量共线个人观点供参考，欢迎讨论
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