勾股定理竞赛精彩试题

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1、勾股定理培优训练B1.如图， ABC的顶点 A B、C在边长为 A.B.2.女口图，四边形 ABCD中, AB=ADAD/ BCB.:;3.A ABC中，AB=AC / BAC=90，直角/E、F,给出以下四个结论：1的正方形网格的格点上,BDL AC于点D.如此 BD的长为C.D.& ABC是腰长为 以Rt ACD的斜边 积是n 2A. 29.直角三角形的斜边为A.1的等腰直角三角形，以 Rt ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰 AD为直角边，画第三个等腰 Rt ADE，依此类推，第Rt ACD 再n个等腰直角三角形的面/ ABC=60 ,C.EPF的顶点/ BCD=30 ,2 J；BC

2、=6那么 ACD的面积是D.B. 2n1C. 2n2,周长为一-.：.如此其面积是B. 1C.H2D.n+12P是BC的中点，两边PE、PF分别交AB AC于=SF= SABC2当/EPF在厶ABC内绕P旋转时点E不与A、B重合，如此上述结论始终正确的有A. 1个AE=CF厶EPF是等腰直角三角形B. 2个EF=APS 四边形AEPC. 3个D. 4个1210 .如下五个命题：假如直角三角形的两条边长为5和12,如此第三边长是12345D.13;如果a0,那么|=a假如点Pa, b在第三象限，如此点 P - a, - b+1 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；两边与第三边上的中线对应相等的

3、两个三角形全等.B. 3个在第一象限;A7V3cC其中不正确命题的个数是A. 2个11 .如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm BC=8cm现将直角边落在斜边AB上，且与AE重合，如此CD等于A. 2cmB. 3cmC. 4cmC. 4个D. 5个AC沿直线AD折叠，使它D. 5cm4. 如图，圆柱底面的周长为4dm,圆柱高为2dm在圆柱的侧面上，过点如此这圈金属丝的周长最小为A. 43汽dmB. 2：；.：dm5. 如图，长方体的底面边长分别为1cm和3cm,达点B,那么所用细线最短需要cm.A. 10nB.A和点C嵌有一圈金属丝,12 . 2002年8月在召开的国际数学大会会标

4、取材于我国古代数学家赵爽的勾股圆方图 个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形如图正方形的面积是A. 1313 .如图，矩形 是 2V9+16I126.在 ABC 中，/ ACB=90 ,AC=12, BC=5,A.2B.7.如图，在 ABC 中，/ BAC=30 , AB=ACC.高为C.2 - =dm6cm.如果从点D. 4.打dmA开始经过4个侧面缠绕n圈到A.D.2V10n2+16AM=AC BN=BC如此MN的长为D.AD是BC边上的中线，/ ACE气/ BAC CE交AB于点E,C. 3A. ；1B.:;C. 1D.:22交AD于点F.假如BC=2,如此EF的长为n /

5、I7ndemd/1cmA3cm/ 11，它是由四 ，如果大正方形的面积是 13,小 b,那么a+b2的值为D. 1691,直角三角形较短的直角边为a,较长的直角边为19C. 25AB=6 BC=8,将矩形沿EF折叠，使C点与A点重合，如此折痕B.ABCD的边长EF的长B.C.10D. 5二.填空题14 .如图， ABD和厶CED均为等边三角形， AC=BC15 .在 Rt ABC中，/ C=9C ,ACL BC 假如 BE，如此 CD=D为 BC上一点，/ DAC=30 , BD=2, AB=2，如此 BC的长是.16. a, b,c是直角三角形的三条边，且av bv c,斜边上的高为h，如此

6、如下说法中正确的答案是.只 填序号a2b2+h4=a2+b2+1h2;b 4+c2=b2c2;由一、-可以构成三角形；直角三角形的面积22 .某园艺公司对一块直角三角形的花圃进展改造，测得两直角边长为6m 8m现要将其扩建成等腰三角形，且扩大局部是以 8m为直角边的直角三角形.求扩建后的等腰三角形花圃的周长.的最大值是.217. 如图，在四边形 ABCD中，AB=2, CD=1, / A=60,Z B=Z D=90，如此四边形ABCD勺面积是.18. 如图，四边形 ABCD是矩形，点E在线段CB的延长线上，连接 DE交AB于点F,/ AED=Z CED 点G是DF的中点.假如 BE=2 AG=

7、8如此AB的长为.三.解答题19 .如图，AD是厶 ABC的高，/ BAC=60 ,BC=3,AC=2,试求 AB 的长.1求证：GE=GF 2假如BD=1,求DF的长.J-I JK.FgqACB23.,如图，在 Rt ABC中，/ ACB=90 , / A=30 , CDLAB 交 AB于点 E,且 CD=AC DF/ BC 分别 与AB AC交于点G F.24.:如图， AB（中, ABAC, AD是BC边上的高.求证:20.操作发现：将一副直角三角板如图摆放，能够发现等腰直角三角板ABC的斜边与含30角的直角三角板DEF的长直角边DE重合.问题解决：将图中的等腰直角三角板 ABC绕点B顺

8、时针旋转30，点C落在BF上, AC与BD交于点 O,连接CD如图.1求证： CDO是等腰三角形；2假如DF=8求AD的长.25. : ABC是钝角三角形，CD垂直BA延长线于 D,求证:2 2 2BC AB AC 2AB AD2 / 1126 .如图，在 Rt ABC中,/ C= 90, D E分别为pfl1,在四边形 ABCD中 ,AB=30,AD=48,BC=14,CD=40, Z ABD+Z BDC=90 ,四边形 ABCD的面积为.27.如图， ABC中，/ A= 90, AC= 20, AB= 10,延长 AB 到 D 使 C內 DB= AO AB 求 BD 的长.D28.如图，将

9、矩形 ABCD& EF折叠，使点D与点B重合，AB= 3, AD= 9,求BE的长.2.如图，在 Rt ABC中，Z ACB=90,Z CAB=30,Z ACB的平分线与Z ABC的外角平分线交于 E点，如 此Z AEB=().(A)50 0 (B)450(C)400 (D)3503 .如图，Rt ABC ZC= 90,Z B=30 ,BC= 6,D 为 AB中点，P 为BC上一动点，连接AP、DP,如此AP+ DP的最小值是第3题4、如图，方格图中小正方形的边长为1,将方格中阴影局部29.如图，折叠矩形的一边AD使点D落在BC边的点F处，AB= 8cm BC= 10cm,求EC的长.30.:

10、如图， ABC中, Z C= 90, D为 AB的中点, B= EF.5、如图，一只蚂蚁沿边长为 a的正方体外表从顶点A 3a b(1 . 2)a C3adA爬到顶点B，如此它走过的最短路程为6、某数学课外实验小组想利用树影测量树高，他们在同一时刻测得一名身高为3 / 111.5米的同学落在地面他们测得地面局部的影10 . 3D10BCCD=5B52C在等腰直角三角形FADE7:5BA其中所有的四边形都是正方形5、CB第15题图)(AC的距离是AD,D11BCC第14题图4 /子BC=3.6米，墙上影长CD=1.8米，如此树高AB=米10，那么D DE=BE=将厶ABC折叠，使点A与点D重合斜

11、边AB上的中线和高。如此如下结论错误的答案是A AB=1016 .如图， ABC中, AB= AC= 2, BC边上有10个不同的点 R P2D、2A、4B. 1cm所有的三角形都是直角三角形.假如正方形C、4 或.3411、如图37、一直角三角形两边分别为3和5,如此第三边为A、B、C D的边长分别是3M10的值为f CB、. 3410、如图1在厶 ABC中，/ AC咅90, AC=8, BC=6, CD CE分别是EF为折痕，如此AF CF=ABC= 60, AD- 48、王英在荷塘边观看荷花，突然想测试池塘的水深，她把一株竖直的荷花如右图拉到岸边，花柄 正好与水面成600夹角，测得AB长

12、60cm，如此荷花处水深 OA为9、等腰三角形的底角是15 腰长为10 ,如此其腰上的高为B G .H上的影子长为1.35米，因大树靠近一幢大楼，影子不会落在地面上如图CD- 10,如此BD的长等ABCD叠，使A点落在边CD上的E点，然后压平得折痕 FG假如FG cmC72、3，如此最大正方形 E的面积是13、如图， ABC中，/ AB(=90,AB=BC三角形的顶点在相互平行的三条直线M1 M 2A.4. 13B. 8. 3 C. 12 DC CE= 245A. 2:1 B .3:2 C . 5:3 D17. 如图将边长为12cm的正方形 的长为13cm,如此CE的长=A5 B618. 如图

13、，P为正方形 ABCD内一点，PA： PB： PC- 119 .如图，将边长为 2cm的正方形 ABCD沿其对角线 AC剪开，再把 ABC沿着AD方向平移 得到，假如两个三角形重叠局部的面积为1cm2,如此它移动的距离AA等于i - 1 , 2ABC中，/ C=90, D为BC的中点A、120cm B、60.3 cm C、60cmD、cm 20 . 3D8:2 : 3,如此/ APB=12、如图10是一株美丽的勾股树15 .如图，四边形 ABCD中，/ A=Z C- 90 于 11, 12, 13上，且丨1,丨2之间的距离为1 ,12, 13之间的距离为3 ,如此点B到2P10,记 Mi AR

14、 Pi B RC14 一个梯形的四条边长分别为 2、3、4、5,如此此梯形的面积为10*巧15A. 5B. 8C.D. 一33AXD%VTlBCC.D. 2 cm20 .如图，在矩形 ABCD中，AB=6 , BC=8假如将矩形折叠，使 B点与D点重合，如此折痕 EF的长 为.30 h D . 40 h1515A . B.24C. 5D. 626 .如图，每个小正方形的边长为1, A、B、21直角三角形三边长都是正整数，其中有一条直角边长是22.正方形ABCD ,正方形BEFG和正方形的边长为2,如此 DEK的面积为23.24、ABC的度数为27 .如图，将长为4cm宽为2cm的矩形纸片 AB

15、CD折叠，使点B落在CD边上的中点 压平后得到折痕MN，如此线段AM的长度 为.E处,C是小正方形的顶点，如此/D21，如此此直角三角形的周长最小值是PKRF的位置如下列图,点G在线段DK上，正方形BEFG如图，在正方形 ABCD中，BD = BE, CE / BD, BE交CD于F点，如此/ DFE的度数为A. 45 . 60 C. 75 . 90 如下列图，AE丄AB, BC丄CD且AB=AE, BC=CD , F、A、G、C、H在同一直线上，如按照图中所标注的数据与符号，如此图中实线所围成的图形面积是n231 41 5a22-132-1p2-1p2-1b46810c22+132+142+

16、1：52+125.根据天气预报，某台风中心位于 A市正东方向300km 的点O处如图4，正以20km/h的速度向北偏西60 方向移动，距离台风中心 250kmX围内都 会受到影响，假如台风移动的速度和方向不变，如此A市受台风影响持续的时间是5 / 11E28 .正方形 ABCD的边长为4, E、F、P分别为AB、BC、DA上的点，且 动点，如此EF + FP的最小值为A.17B.37 C. 2 10 D .以上都不对CAE= BE,DP = 3AP F 为29 .如图，梯形 ABCD的上、下底分别为 1和4,对角线AC=4 BD=3 ,如此梯形ABCD的面积为30、此题总分为7分一次“探究性学

17、习课中，教师设计了如下数表：(1)请你分别观察a、b、c与n的关系，并用含自然数n(n 1)的代数式表示：a= b= c=2猜测：以a、b、c为边的三角形是否为直角三角形？并证明你的猜测。31、此题总分为8分如图，某城市A接到台风警报，在该市正南方向260km的B处有一台C风中心,沿BC方向以15km/h的速度移动，城市 A到BC的距离AD=100km . 1台风中心经过多长时间从 B 移动到D点？ 2在距台风中心 30km的圆形区域内都会受到不同程度的影响，假如在点D的工作人员早上6： 00接到台风警报，台风开始影响到台风完毕影响要做预防工作，如此他们要在什么时间 段内做预防工作？3拟建的某

18、某到某某高速公路Y与沪渝高速公路垂直，建立如图直线Y的距离为30km，请你在X旁和Y旁各修建一服务区成的四边形的周长最小.并求出这个最小值.3所示的直角坐标系，B到P、Q，使 P、A、B、Q 组32、此题总分为 9分如图，梯形 ABCD中,AD / BC且AB丄BC,AD=1,AB=BC=4. 求DC的长。2丨假如E为AB中点，连结 DE,CE,求证：DE平分/ ADC, CE平分/ DCB34、如图7 ABD的厶CED均为等边三角形,图3AC=BC,AC_ BG 假如 BE=2 ,如此 CD=35 .如图，在直角梯形 ABCD中，AB=BC=12 , E 为 AB 中点,/ DCE=45，求

19、 DE 的长10 分33.本小题总分为9分某某州自然风光无限，特别是以“雄、奇、秀、幽、险著称于世著名的 某某大峡谷（A）和世界级自然保护区星斗山 （B）位于笔直的沪渝高速公路 X同侧，AB 50km, A、B到直线X的距离分别为10km和40km，要在沪渝高速公路旁修建一服务区 P，向A、B两景区运送游客.小民设计了两种方案，图1是方案一的示意图AP与直线X垂直，垂足为P，P到A、B的距离之和S1 PA PB，图2是方案二的示意图点 A关于直线X的对称点是 A，连接BA交直线X于点P丨，P到A、B的距离之和S2 PA PB .求证:1求S1、S2，并比拟它们的大小；2请你说明 S PA PB

20、的值为最小;0H 丄 BC。22、此题8分如图，四边形ABCD为等腰梯形，AD / B 对角线假如AC=6，求梯形ABCD的面积。AC、BD交于点O,且AC丄BD1 - DH= AD+BC 236、某研究性学习小组在探究矩形的折纸问题时，将一块直角三角板的直角顶点绕矩形ABCD AB vBC丨的对角线的交点 O旋转tt，图中的M、N分别为直角三角形的直角边与矩形 ABCD 的边CD、BC的交点。该学习小组成员意外的发现图三角板一直角边与 OD重合中，BN2=CD2+2,在图中三角板一边与OC重合，2=BN2+CD2,请你对这名成员在图和图中发现的结论选择其一说明理由。图图证明:D-C图JB、C

21、在x轴上，A点函数在图中，连结 AE交BD于N，如此如下两个结论:图试探究图中 BN、CM、DM这四条线段之间的数量关系，写出你的结论，并说明理由。将矩形ABCD改为边长为1的正方形ABCD，直角三角板的直角顶点绕 O点旋转到图，两直角边 与AB、BC分别交于M、N，直接写出BN、CM、DM这四条线段之间所满足的数量关系不需要37、此题12分如图，四边形ABCD位于平面直角坐标系的第一象限,假如点P是线段BD上一点求证：AM=EM上，且 AB / CD / y 轴，AD / x 轴，B 1, 0、C3, 0。 试判断四边形ABCD的形状。40 .如图，河流的两岸 PQ、MN互相平行，河岸 MN

22、上有一排间隔为50米的电线杆C、D、E, 某人在河岸PQ的A处测得 CAQ 30，然后沿河岸走了 110米到达B处，测得 DBQ 45，求 河流的宽度。I M 刑/41.如图，矩形纸片 ABCD中，AB = 8,将纸片折叠，使顶点 B落在边AD的E点上，折痕的一端 G F ；U点在边 BC上，BG = 10.当折痕的另一端 F在AB边上时，如图，求 EFG的面积；当折痕的另一端 F在AD边上时，如图，证明四边形BGEF为菱形，并求出折痕 GF的长.A.等边三角形B.钝角三角形C.直角三角形角三角形5、 一直角三角形的斜边比一直角边大4,另一直角边长为 8,如此斜边长为A、6B、8C、10D、1

23、26、 直角三角形的周长为12cm,斜边长为5cm，如此其面积为A、12cm2B、10cm2C、8cm2D、6cm27、 如图，正方形网格中的 ABC,假如小方格边长为 1，如此 ABC是 A、直角三角形B 、锐角三角形C、钝角三角形D 、以上答案都不对D.锐GG图1图2一、填空1、 假如三角形的三边之比是7: 24: 25,如此这个三角形是三角形。2、A ABC中，/ A是/ B的2倍，/ C比/ A+Z B还大12,如此这个三角形是三角形。3、 假如直角三角形两直角边的比是3: 4，斜边长是20,如此斜边上的高是。4、在 Rt ABC 中，Z C=90, 1假如 a=6, b=8,如此 c

24、=;2假如 c=13, b=12，如此 a=; 3 假如 a=21 , c=28，如此 b=;5、 小华和小红都从同一点 0出发，小华向北走了 9米到A点，小红向东走了 12米到了 B点，如此AB= 米。6、 假如一块直角三角板，两直角边分别为12cm和5cm,不移动三角板，能画出的线段最长是cm。7、在 Rt ABC 中，Z ACB=90 0, CD丄 AB 于 D , AC=6 , AB=10，如此 BD=。8、 在等腰直角三角形中，斜边长为50cm,如此它的面积为。9、 在直角三角形中，三边长分别为5、12，如此第三边长为。10、 等腰三角形腰和底边的比是3: 2,假如底边长为6,如此底

25、边上的高为。11、 小明的叔叔家承包了一个矩形鱼池，其面积为48m，其对角线长为 10m为建栅栏，要计算这个 矩形鱼池的周长，那么鱼池的周长为米。12、 现有两根木棒，它们的长分别为40cm和50cm,假如要钉成一个直角三角形木架，如此所需最短 的木棒的长度为。二、选择题1、如下三角形中，一定是直角三角形的有 A、1个 B、2个 C、3个 D、4个2有两个内角互余的三角形；三边长为m n2、2nm、m2+n2mn0的三角形；三边的比为3: 4: 5的三角形；三个内角的比是 1: 2: 3的三角形；2、有长度为9cm, 12cm , 15cm, 36cm, 39cm的五根木棒，能搭成首尾顺次相连

26、直角三角形的个 数为A、1个B、2个C、3个D、4个3、假如线段a, b, c组成Rt，如此它们的比可以为A、2 : 3 : 4B、3 : 4 : 6C、5 : 12 : 13D、4 : 6 : 74、三角形的三边长为a+b=c+2ab,如此这个三角形是（）三、解答题1、有一边长为4米的水池的池中央，竖着一根竹竿，竹竿高出水面1m，一阵风吹来，竹竿倒向一边,竹竿的顶端恰好靠在池边，顶端与水面相平。求这里的水深是多少米？2、小明要外出旅游，他带的行李箱长40cm，宽30cm，高60cm，一把70cm长的雨伞能否装进这个行李箱？有圆柱,A相对的B点处的食物，求蚂蚁需要爬行的最短路程。它的高等于8c

27、m,底面直径等于4cm3丨在圆柱下底面的 A点4、如图，是由四个大小完全一样的直角三角形拼合而成的，假如图中大小正方形的面积分别为62.5和4,求直角三角形两直角边的长。BC=36m，求这块地的面积。6、厂门的上方是一个半圆，一辆装满货物的卡车，宽为1.6m ,高为2.6m ,这辆卡车能否通过厂门要求卡车的上端与门的距离不小于0.2m？图中单位：mAB边上的中线,CD丄 AB于 D,且 AB=5,BC=4,AC=6,求 DE 的长。7、如图， ABC中，/ C=90 , AB的垂直平分线交 求AC。BC 于 M ,交 AB 于 N,假如 AC=8 , MB=2MC ,12 ABC 中，AB=1

28、5 , AC=13 , AD 丄 BC,且 AD=12，求 ABC 的面积。/ DAB = 60 , / B = /D = Rt Z, BC = 1 , CD = 2求对角线AC的长解：延长BC和AD相交于E,如此Z E = 30CD丄AB于D，假如 AB=4 ,提咼训练AC=3 , BC=2，求 BD 的长。 CE= 2CD = 4,在Rt ABE中 设AB为x,如此 AE = 2x根据勾股定理x2+52=(2x)2,11、 假如一个三角形的边长分别是12、16和20,如此这个三角形最长边上的高长是 。2、 如图是一个长方体盒子，它的长、宽、高分别为3dm 2dm 2dm A和B是这个盒子两

29、个相 对的顶点，A点有一只蚂蚁，想到 B点去吃可口的食物，如此蚂蚁沿着盒子外表面爬到B点最短路程是dm.3、 有一直角三角形，其两边分别为12和16,如此该三角形的三条角平分线的交点到斜边的距离是。4、在厶 ABC 中，AD=8 , AB=17 , AC=10 , AD 丄 BC,求 BC 的长。A在 Rt ABC 中，AC = . x212 = ABC 中，AB = AC , Z B = 2Z A 求证：AB2 BC2= AB X BC证明：作Z B的平分线交AC于D, 如此Z A = Z ABD ,Z BDC = 2 Z A = Z CAD = BD = BC作BM丄AC于M ,如此CM

30、= DM AB2 BC2=BM2 + AM2 BM2+ CM2=AM2 CM2= AM + CM AM CM=AC X AD = AB X BC ABC 中，AD 丄 BC , AB + CD = AC + BD 求证：AB = AC4. 梯形两底长分别是 3和7,两对角线长分别是 6和8,如此S梯形=5. ：A ABC 中，AD 是高，BE丄 AB , BE = CD, CF丄 AC , CF= BD求证：AE = AF且 BD = BF, CD = CE求证：AE = AFFC证明：设 AB , AC, BD, CD 分另 U为 b,c,m,n如如此 c+n=b+m,c-b=m-nTAD丄

31、BC,根据勾股定理，得AD 2= c2-m2=b2-n22 2 2 2二 c -b =m -n ,(c+b)(c-b)=(m+n)(m-n)(c+b)(c-b) =(m+n)(c-b)(c+b)(c-b) (m+n )(c-b) = 0 (c-b) (c+b) (m+n) = 0/ c+bm+n,c-b=0 即 c=b AB = AC例 5梯形 ABCD 中，AB / CD , AD BC求证：AC BD证明：作 DE / AC , DF / BC,交BA或延长线于点 E、F6.： M 是厶ABC内的一点，MD丄BC , ME丄AC , MF丄AB , ABC 中，/ C 是钝角，a2-b2=

32、bc求证/ A = 2/ B8.求证每一组勾股数中至少有一个数是偶数。用反证法ACDE和BCDF都是平行四边形 DE = AC , DF = BC , AE = CD = BF 作DH丄AB于H,根据勾股定理9.直角三角形三边长均为整数，且周长和面积的数值相等，求各边长 10等腰直角三角形 ABC斜边上一点P,求证：AP2+ BP2= 2CP2 ABC中，/ A = RtZ, M是BC的中点，E, F分别在 AB , ACAH = .AD2-DH 2 ,/ AD BC, AD DF AH FH , EH BHABH 2FH=、DF 2 - DHME 丄 MF求证：EF2= BE2+ CF2 A

33、BC中，/ ABC = 90，/ C= 60 0 , BC = 2, D是AC的中点，从 D作DE丄AC与CB的延长线交DE= .DH 2 EH 2BD =于点E,以AB、BE为邻边作矩形 ABEF，连结DF，如此DF的长是邀请赛，初二试题2002年希望杯数学 DE BD 即 AC BD例6.:正方形ABCD的边长为1，正方形求：b a的值2001年希望杯数学邀请赛，初二 解：根据勾股定理2a2+b2=EF2= Sefgh =;32 EFGH 内接于 ABCD , AE = a, AF = b,且 Sefgh =A(11)FF(12)D13. ABC 中，AB = AC = 2, BC 边上有

34、 100 个不同的点 p1, p2, p3,peo, 记 mj=APi2+BPix PiC (I=1,2, 100)，如此 m1+m2+ + m100=(1990年全国初中数学联赛题)-4Saef = sabcd Sefgh12ab=3r、n1la-b2= b a =33一得练习题参考答案1. ABC 中,AB = 25, BC = 20 , CA = 15 ,CM和CH分别是中线和高。那么SABC =CH =MH =10 / 113.150, 12, 354.24作CE / BD交AB延长线E5.利用勾股定理证明AE2=,AF2=丄AB于D, bc=a2-b2=BD “AD 2=(BD+AD)(BD-AD)/ b=BD-AD 8.用反证法设 a,b,c都是奇数，那么a2,b2,c2也都是奇数, a2 + b2是偶数,而c2是奇数，这与a2+ b2= c2相矛盾，故这种假设不能成立，-a,b,c中至少有个数是偶数a b c1a12,8,6.5ab 亠,9.2正整数解有b.5.6.8.122 2a b2 cc13,10,10,13答：各边长是5,12, 13 或 6, 8,1011. 延长EM到N，使MN = EM，连结， 显然 MNC MEB , NC = BE , NF = EF12. 可证 DF = DE = 2 3 ,13. 400 (mi=4)