《函数的最大(小)值与导数》课件2

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1、1.3.3 函数的最大函数的最大(小小)值与导数值与导数21、函数的极值、函数的极值设函数设函数f(x)在点在点x0附近有定义，附近有定义，如果对如果对X0附近的所有点，都有附近的所有点，都有f(x)f(x0), 则则f(x0) 是函数是函数f(x)的一个极小值，记作的一个极小值，记作y极小值极小值= f(x0)；oxyoxy0 x0 x使函数取得极值的使函数取得极值的点点x0称为称为极值点极值点函数的函数的极大值与极小值统称为极大值与极小值统称为极值极值. 复 习-2-11234567abxyO( )0f a0)( bf( )0f x( )0f x( )0f x( )0f x (1) (1)

2、如果如果f /(x0)=0, 并且并且在在x x0 0附近的左侧附近的左侧 f /(x0)0 ,右侧右侧f /(x0)0, 那么那么f(x0)是极大值是极大值. (2) (2)如果如果f /(x0)=0, 并且并且在在x x0 0附近的左侧附近的左侧 f /(x0)0, 那么那么f(x0)是极小值是极小值.2.2.函数的极值函数的极值与导数的关系与导数的关系4 一般地，设函数一般地，设函数y=f(x)的定义域为的定义域为I，如果，如果存在实数存在实数M满足：满足： 3最大值与最小值最大值与最小值 （1）对于任意的）对于任意的xI，都有，都有f(x)M; （2）存在）存在x0I，使得，使得f(x

3、0) = M那么，称那么，称M是函数是函数y=f(x)的的最大值最大值. . 一般地，设函数一般地，设函数y=f(x)的定义域为的定义域为I，如果，如果存在实数存在实数M满足：满足： （1）对于任意的）对于任意的xI，都有，都有f(x)M; （2）存在）存在x0I，使得，使得f(x0) = M那么，称那么，称M是函数是函数y=f(x)的的最小值最小值. . 请考察下列函数的最值的存在性请考察下列函数的最值的存在性1-2-211-21-21-21-2讲授新课讲授新课6最值的存在性定理最值的存在性定理 一般地，如果在区间a，b上函数f（x）的图像是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值。如何

4、求最值？观察图像： (2) (2)将将y=y=f(xf(x) )的各极值与端点处函数值的各极值与端点处函数值f(a)f(a)、f(bf(b) )比较比较, ,其中最大的一个为最大值，最小的一其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值个为最小值. . (1) (1)求求f(xf(x) )在区间在区间( (a,ba,b) )内极值内极值( (极大值或极极大值或极 小值小值) ) 假设在区间a，b上函数f(x)的图像是一条 连续不断的曲线, 求它的最大值与最小值的求它的最大值与最小值的 步骤如下：步骤如下： 例例1 1、求函数求函数 在在00，33上的最上的最 大值与最小值大值与最小值. .4431

5、)(3 xxxf解：解：f(x)的图象在的图象在0,3上是连续不断的上是连续不断的.)2)(2(42 xxxy令令 ，解得，解得122(),2xx 舍去0 y 因此函数因此函数 在在00，33上的最大上的最大值为值为4 4，最小值为，最小值为 . .4431)(3 xxxf34 4(0)4, (2), (3)13fff 10练习练习：1 1、求函数、求函数f(xf(x)=x)=x2 2-4x+3-4x+3在区间在区间-1-1，44内内的最大值和最小值的最大值和最小值.f(xf(x)=2x- 4)=2x- 4令令f(xf(x)=0)=0，即，即2x4=02x4=0， 得得x =2x =2 故函数

6、故函数f(xf(x) ) 在区间在区间-1-1，44内的最大值为内的最大值为8 8，最小值为，最小值为-1 -1 ( 1)8, (2)1, (4)3fff 解解: : f(x)的图象在的图象在0,3上是连续不断的上是连续不断的. 2 2、求函数求函数 在在-1-1，22上的最大值上的最大值与最小值与最小值. .3( )f xxx2( )310.fxx /解 因此函数因此函数 在在-1-1，22上的最大值上的最大值 为为1010，最小值为，最小值为 -2.-2.3( )f xxx( 1)2, (2)10.ff f(xf(x) )在在-1-1，22上是增函数上是增函数. .123 3、求函数、求函

7、数f(xf(x)= )= xex 在区间在区间-1-1，11内的最大值内的最大值和最小值和最小值.解解 f(xf(x)=e)=ex x(x+1)0(x+1)0 故函数故函数f(xf(x) ) 在区间在区间-1-1，11内的最大值为内的最大值为e e，最小值为，最小值为-1/e .-1/e .1( 1), (1), ffee f(x)f(x)在在-1-1，11上是增函数上是增函数. .例例 求函数求函数 的值域的值域 xxxxf 4325)(解：解：由由 得得 的定义域为的定义域为 0403xx)( xf43 x( )(5 )(23)( 4)1150324yfxxxxxx所以所以 在在 上单调递增，上单调递增， )(xf 3,4( 3)157,yf 最小(4)202 7yf最大 157 , 2027 所以所以, ,值域为值域为 14 0,:1.xxex例 设求证 f( )1,0 xxexx证 令( )1,xfxe/( )(0,),f x在上是增函数( )(0)f xf10 xex e1.xx( )(,0),f x在上是减函数