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1、例例1. 解: 第1页/共22页第一页，共23页。tFO例例2. 质量为质量为 m 的质点的质点(zhdin)受力受力F 的作用沿的作用沿 Ox 轴作直线轴作直线运动(yndng),在开始(kish)时刻随着时间的增大 , 此力 F 均匀地减直到 t = T 时 F(T) = 0 .如果开始时质点在原点, 解: 据题意有t = 0 时设力 F 仅是时间 t 的函数: F = F (t) . 小,求质点的运动规律. 初速度为0, 且对方程两边积分, 得 0FT第2页/共22页第二页，共23页。利用(lyng)初始条件于是(ysh)两边(lingbin)再积分得再利用故所求质点运动规律为0dd0t
2、tx第3页/共22页第三页，共23页。型的微分方程(wi fn fn chn) 设原方程(fngchng)化为一阶方程(fngchng)设其通解(tngji)为则得再一次积分, 得原方程的通解二、二、第4页/共22页第四页，共23页。例例3. 求解求解(qi ji)解: ,py 则代入方程(fngchng)得分离(fnl)变量积分得利用于是有两端再积分得利用,10 xy因此所求特解为第5页/共22页第五页，共23页。例例4. 绳索(shn su)仅受重力(zhngl)作用而下垂,解: 取坐标系如图.考察(koch)最低点 A 到( : 密度, s :弧长)弧段重力大小按静力平衡条件, 有Msg
3、故有设有一均匀, 柔软的绳索, 两端固定, 问该绳索的平衡状态是怎样的曲线 ? 任意点M ( x, y ) 弧段的受力情况: T A 点受水平张力 HM 点受切向张力T两式相除得HAyxO第6页/共22页第六页，共23页。则得定解问题(wnt): 原方程(fngchng)化为两端(lin dun)积分得, 01C得则有两端积分得故所求绳索的形状为悬 链 线MsgTHAyxO第7页/共22页第七页，共23页。三、三、型的微分方程(wi fn fn chn) 令故方程(fngchng)化为设其通解(tngji)为即得分离变量后积分, 得原方程的通解第8页/共22页第八页，共23页。例例5. 求解求
4、解(qi ji)代入方程(fngchng)得两端(lin dun)积分得(一阶线性齐次方程)故所求通解为解:xpydd 则第9页/共22页第九页，共23页。M : 地球质量(zhling)m : 物体质量(zhling)例例6. 静止(jngzh)开始落向地面, (不计空气阻力). 解: 如图所示选取(xunq)坐标系.则有定解问题:代入方程得积分得一个离地面很高的物体, 受地球引力的作用由 yRlO求它落到地面时的速度和所需时间第10页/共22页第十页，共23页。122CyMkv两端(lin dun)积分得因此(ync)有注意(zh y)“”号第11页/共22页第十一页，共23页。由于(yu
5、y) y = R 时由原方程(fngchng)可得因此落到地面( y = R )时的速度和所需时间(shjin)分别为lylyylMkltarccos22yRlO第12页/共22页第十二页，共23页。说明说明(shumng): 若此例改为如图所若此例改为如图所示的坐标系示的坐标系, 22ddtym解方程可得问: 此时开方根号前应取什么(shn me)符号? 说明道理 .则定解问题(wnt)为RylO第13页/共22页第十三页，共23页。例例7. 解初值问题解初值问题解: 令代入方程(fngchng)得积分(jfn)得利用(lyng)初始条件, 01C得根据积分得故所求特解为得第14页/共22页
6、第十四页，共23页。为曲边的曲边梯形(txng)面积上述(shngsh)两直线与 x 轴围成的三角形面例例8.二阶可导, 且上任一点(y din) P(x, y) 作该曲线的切线及 x 轴的垂线,区间 0, x 上以解:于是2S在点 P(x, y) 处的切线倾角为 ,满足的方程 .积记为( 1999 考研 )Pxy1S1yxO第15页/共22页第十五页，共23页。再利用(lyng) y (0) = 1 得利用(lyng)得两边(lingbin)对 x 求导, 得定解条件为方程化为利用定解条件得得故所求曲线方程为2SPxy1S1yxOyyS221ttySxd)(02第16页/共22页第十六页，共
7、23页。内容内容(nirng)(nirng)小结小结可降阶微分方程(wi fn fn chn)的解法 降阶法逐次(zh c)积分令令第17页/共22页第十七页，共23页。思考思考(sko)(sko)与练习与练习1. 方程(fngchng)如何(rh)代换求解 ?答: 令或一般说, 用前者方便些. 均可. 有时用后者方便 .例如,2. 解二阶可降阶微分方程初值问题需注意哪些问题 ?答: (1) 一般情况 , 边解边定常数计算简便.(2) 遇到开平方时, 要根据题意确定正负号.例6例7第18页/共22页第十八页，共23页。 P323 1 (5) , (7) , (10) ; 2 (3) , (6)
8、 ; 3 ; 4 作业作业(zuy) 第六节 第19页/共22页第十九页，共23页。yxO) 1 , 0(A速度(sd)大小为 2v, 方向(fngxing)指向A , )0 , 1(),(yxB提示: 设 t 时刻(shk) B 位于 ( x, y ), 如图所示, 则有去分母后两边对 x 求导, 得又由于设物体 A 从点( 0, 1 )出发, 以大小为常数 v 备用题备用题的速度沿 y 轴正向运动, 物体 B 从 (1, 0 ) 出发, 试建立物体 B 的运动轨迹应满足的微分方程及初始条件.第20页/共22页第二十页，共23页。代入 式得所求微分方程(wi fn fn chn):其初始条件
9、为xtvxyxdddd22即yxO) 1 , 0(A)0 , 1(),(yxBtv第21页/共22页第二十一页，共23页。感谢您的欣赏(xnshng)！第22页/共22页第二十二页，共23页。NoImage内容(nirng)总结例1.。原方程化为一阶方程。考察最低点 A 到。问该绳索的平衡状态是怎样的曲线(qxin)。A 点受水平张力 H。m : 物体质量。一个离地面很高的物体, 受地球引力的作用由。说明: 若此例改为如图所示的坐标系,。上述两直线与 x 轴围成的三角形面。上任一点 P(x, y) 作该曲线(qxin)的。切线及 x 轴的垂线,。2. 解二阶可降阶微分方程初值问题需注意哪些问题。(2) 遇到开平方时, 要根据题意确定正负号.。第21页/共22页第二十三页，共23页。
D75可降阶高阶微分方程62184实用教案
