数学中考：专题提升(七) 二次函数的图象和性质的综合运用

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1、+数学中考教学资料数学中考教学资料 20192019 年编年编+专题提升(七)二次函数的图象和性质的综合运用【经典母题】用两种不同的图解法求方程 x22x50 的解(精确到 0.1)解：略【思想方法】二次函数 yax2bxc(a0)的图象与 x 轴的交点的横坐标x1， x2就是一元二次方程 ax2bxc0(a0)的两个根， 因此我们可以通过解方程 ax2bxc0 来求抛物线 yax2bxc 与 x 轴交点的坐标；反过来，也可以由 yax2bxc 的图象来求一元二次方程 ax2bxc0 的解【中考变形】1 2016烟台二次函数 yax2bxc 的图象如图 Z71 所示， 下列结论： 4acb2；

2、acb；2ab0.其中正确的有(B)图 Z71ABCD【解析】 抛物线与 x 轴有两个交点，0，b24ac0，4acb2，故正确；x1 时，y0，abc0，acb，故错误；对称轴直线 x1， b2a1， 又a0， b2a， 2ab0， 故正确 故选 B.22016绍兴抛物线 yx2bxc(其中 b，c 是常数)过点 A(2，6)，且抛物线的对称轴与线段 y0(1x3)有交点，则 c 的值不可能是(A)A4B6C8D10【解析】 抛物线 yx2bxc(其中 b，c 是常数)过点 A(2，6)，且抛物线的对称轴与线段 y0(1x3)有交点，42bc6，1b213，解得 6c14.故选 A.3201

3、7株洲如图 Z72，二次函数 yax2bxc 的对称轴在 y 轴的右侧，其图象与 x 轴交于点 A(1，0)与点 C(x2，0)，且与 y 轴交于点 B(0，2)，小强得到以下结论：0a2；1b0；c1；当|a|b|时 x2 51，以上结论中正确结论的序号为_.【解析】 由 A(1，0)，B(0，2)，得 ba2，开口向上，a0.对称轴在 y 轴右侧，b2a0，a22a0，a2，0a2，正确；抛物线与 y 轴交于点 B(0，2)，c2，错误；抛物线图象与 x 轴交于点 A(1，0)，ab20，ba2，0a2，2b0，错误；|a|b|，二次函数 yax2bxc 的对称轴在 y 轴的右侧，二次函数

4、 yax2bxc 的对称轴为 x12， x22 51， 正确 故答案为.图 Z72图 Z7342017天水如图 Z73 是抛物线 y1ax2bxc(a0)的一部分图象，抛物线的顶点坐标是 A(1，3)，与 x 轴的一个交点是 B(4，0)，直线 y2mxn(m0)与抛物线交于 A，B 两点，下列结论：abc0；方程 ax2bxc3 有两个相等的实数根；抛物线与 x 轴的另一个交点是(1，0)；当 1x4 时，有 y2y1；x(axb)ab，其中正确的结论是_.(只填写序号)【解析】 由图象可知：a0，b0，c0，故 abc0，错误；观察图象可知，抛物线与直线 y3 只有一个交点，故方程 ax2

5、bxc3 有两个相等的实数根，正确；根据对称性可知抛物线与 x 轴的另一个交点是(2，0)，错误；观察图象可知，当 1x4 时，有 y2y1，错误；x1 时，y1有最大值，ax2bxcabc，即 x(axb)ab，正确综上所述，正确5如图 Z74，已知抛物线 yax2bxc 与 x 轴交于点 A(1，0)，点 B(3，0)，且过点 C(0，3)(1)求抛物线的函数表达式和顶点坐标；(2)请你写出一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在直线 yx 上，并写出平移后抛物线的函数表达式图 Z74解：(1)抛物线与 x 轴交于点 A(1，0)，点 B(3，0)，可设抛物线表达式为 ya(x1)(x3)

6、，把 C(0，3)的坐标代入，得 3a3，解得 a1，故抛物线表达式为 y(x1)(x3)，即 yx24x3.yx24x3(x2)21，抛物线的顶点坐标为(2，1)；(2)答案不唯一，如：先向左平移 2 个单位，再向下平移 1 个单位，得到的抛物线的解析式为 yx2， 平移后抛物线的顶点为(0， 0)， 落在直线 yx 上62017江西已知抛物线 C1：yax24ax5(a0)(1)当 a1 时，求抛物线与 x 轴的交点坐标及对称轴；(2)试说明无论 a 为何值，抛物线 C1一定经过两个定点，并求出这两个定点的坐标；将抛物线 C1沿这两个定点所在直线翻折，得到抛物线 C2，直接写出 C2的表达

7、式；(3)若(2)中抛物线 C2的顶点到 x 轴的距离为 2，求 a 的值解：(1)当 a1 时，抛物线表达式为 yx24x5(x2)29，对称轴为 x2，当 y0 时，x23 或3，即 x1 或 5，抛物线与 x 轴的交点坐标为(1，0)或(5，0)；(2)抛物线 C1表达式为 yax24ax5，整理，得 yax(x4)5.当 ax(x4)0 时，y 恒定为5，抛物线 C1一定经过两个定点(0，5)，(4，5)这两个点连线为 y5，将抛物线 C1沿 y5 翻折，得到抛物线 C2，开口方向变了，但是对称轴没变，抛物线 C2的表达式为 yax24ax5；(3)抛物线 C2的顶点到 x 轴的距离为

8、 2，则 x2 时，y2 或2.当 y2 时，24a8a5，解得 a74；当 y2 时，24a8a5，解得 a34.a74或34.7 2017北京在平面直角坐标系 xOy 中， 抛物线 yx24x3 与 x 轴交于点 A，B(点 A 在点 B 的左侧)，与 y 轴交于点 C.(1)求直线 BC 的表达式；(2)垂直于 y 轴的直线 l 与抛物线交于点 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，与直线 BC 交于点 N(x3，y3)，若 x1x2x3，结合函数的图象，求 x1x2x3的取值范围解：(1)由 yx24x3 得到 y(x3)(x1)，C(0，3)，A(1，0)，B(3，0)设直线 BC 的

9、表达式为 ykxb(k0)，则b3，3kb0，解得k1，b3，直线 BC 的表达式为 yx3；中考变形 7 答图(2)由 yx24x3 得到 y(x2)21，抛物线 yx24x3 的对称轴是 x2，顶点坐标是(2，1)y1y2，x1x24.令 y1，代入 yx3，得 x4.x1x2x3(如答图)，3x34，即 7x1x2x38.82016益阳如图 Z75，顶点为 A( 3，1)的抛物线经过坐标原点 O，与 x 轴交于点 B.(1)求抛物线对应的二次函数的表达式；(2)过点 B 作 OA 的平行线交 y 轴于点 C，交抛物线于点 D，求证：OCDOAB；(3)在 x 轴上找一点 P，使得PCD

10、的周长最小，求出 P 点的坐标图 Z75中考变形 8 答图解：(1)抛物线顶点为 A( 3，1)，设抛物线对应的二次函数的表达式为ya(x 3)21.将原点坐标(0，0)代入，得 a13，抛物线对应的二次函数的表达式为 y13x22 33x；(2)证明：将 y0 代入 y13x22 33x 中，得 B(2 3，0)设直线 OA 对应的一次函数的表达式为 ykx，将 A( 3，1)代入，得 k33，直线 OA 对应的一次函数的表达式为 y33x.BDAO，设直线 BD 对应的一次函数的表达式为 y33xb，将 B(2 3，0)代入，得 b2，直线 BD 对应的一次函数的表达式为 y33x2.由y

11、33x2，y13x22 33x，得交点 D 的坐标为( 3，3)，将 x0 代入 y33x2 中，得 C 点的坐标为(0，2)，OA2OC，AB2CD，OB2 3OD，在OCD 与OAB 中，OCOA，CDAB，ODOB，OCDOAB(SSS)；(3)如答图，点 C 关于 x 轴的对称点 C的坐标为(0，2)，连结 CD，则 CD与 x 轴的交点即为点 P，此时PCD 的周长最小过点 D 作 DQy 轴，垂足为 Q，则 PODQ.CPOCDQ，PODQCOCQ，即PO325，解得 PO2 35， 点 P 的坐标为2 35，0.【中考预测】设抛物线 ymx22mx3(m0)与 x 轴交于点 A(

12、a，0)和 B(b，0)(1)若 a1，求 m，b 的值；(2)若 2mn3，求证：抛物线的顶点在直线 ymxn 上；(3)抛物线上有两点 P(x1，p)和 Q(x2，q)，若 x11x2，且 x1x22，试比较p 与 q 的大小解：(1)当 a1 时，把(1，0)代入 ymx22mx3，解得 m1，抛物线的表达式为 yx22x3.令 y0，则由 yx22x3，得x1 或 3，b3；(2)抛物线的对称轴为 x1，把 x1 代入 ymx22mx3，得 y3m，抛物线的顶点坐标为(1，3m)把 x1 代入 ymxn，得 ymnm32m3m，顶点坐标在直线 ymxn 上；(3)x1x22，x211x1，x11x2，|x21|x11|，P 离对称轴较近，当 m0 时，pq，当 m0 时，pq.