D121常数项级数40233实用教案

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1、一、常数项级数一、常数项级数(j sh)的的概念概念 引例(yn l)1. 用圆内接正多边形面积逼近圆面积.依次(yc)作圆内接正边形, 这个和逼近于圆的面积 A .设 a0 表示即内接正三角形面积, ak 表示边数增加时增加的面积, 则圆内接正第1页/共25页第一页，共26页。引例引例(yn l)2. (神秘的康神秘的康托尔尘集托尔尘集)把0,1区间(q jin)三等分, 舍弃中间的开区间将剩下的两个(lin )子区间分别三等分,并舍弃在中间的开区间,如此反复进行这种“弃中”操作,问丢弃部分的总长和剩下部分的总长各是多少？丢弃的各开区间长依次为故丢弃部分总长剩余部分总长 剩余部分总长虽然为0

2、, 但康托尔证明了其成员和实数“一样多”, 它们象尘埃一样散落在0,1区间上, 人们称其为康托尔尘集.01313291929798(此式计算用到后面的例1)第2页/共25页第二页，共26页。引例引例(yn l)3.小球从 1 m 高处(o ch)自由落下, 每次跳起的高度减问小球是否会在某时刻停止(tngzh)运动? 说明道理.由自由落体运动方程知则小球运动的时间为( s )设 tk 表示第 k 次小球落地的时间, (此式计算用到 后面的例1)少一半,第3页/共25页第三页，共26页。定义定义(dngy)：给定(i dn)一个数列将各项依即称上式为无穷(wqing)级数，其中第 n 项叫做级数

3、的一般项,级数的前 n 项和称为级数的部分和.次相加, 简记为收敛 ,则称无穷级数并称 S 为级数的和,记作第4页/共25页第四页，共26页。当级数(j sh)收敛时, 称差值为级数(j sh)的余项.则称无穷(wqing)级数发散 .显然第5页/共25页第五页，共26页。例例1. 讨论讨论(toln)等比级数等比级数 (又称几何级数(j h j sh)( q 称为(chn wi)公比 ) 的敛散性. 解: 1) 若从而因此级数收敛 ,从而则部分和因此级数发散 .其和为第6页/共25页第六页，共26页。2). 若因此(ync)级数发散 ;因此(ync)n 为奇数(j sh)n 为偶数从而综合

4、1)、2)可知,时, 等比级数收敛 ;时, 等比级数发散 .则级数成为不存在 , 因此级数发散.第7页/共25页第七页，共26页。例例2. 判别判别(pnbi)下列级下列级数的敛散性数的敛散性:解: (1) 所以级数(j sh) (1) 发散 ;技巧(jqio):利用 “拆项相消” 求和第8页/共25页第八页，共26页。(2) 所以(suy)级数 (2) 收敛, 其和为 1 .技巧(jqio):利用(lyng) “拆项相消” 求和第9页/共25页第九页，共26页。 例例3.判别(pnbi)级数的敛散性 .解:故原级数(j sh)收敛 , 其和为第10页/共25页第十页，共26页。二、无穷级数的

5、基本二、无穷级数的基本(jbn)性质性质 性质(xngzh)1. 若级数1nnu收敛(shulin)于 S ,则各项乘以常数 c 所得级数也收敛 ,证: 令则这说明1nnuc收敛 , 其和为 c S . 说明: 级数各项乘以非零常数后其敛散性不变 .即其和为 c S .第11页/共25页第十一页，共26页。性质性质2. 设有两个设有两个(lin )收敛级数收敛级数则级数(j sh)也收敛(shulin), 其和为证: 令,1nkknuS则这说明级数)(1nnnvu 也收敛, 其和为.S第12页/共25页第十二页，共26页。说明(shumng):(2) 若两级数(j sh)中一个收敛一个发散 ,

6、 则必发散(fsn) . 但若二级数都发散 ,)(1nnnvu 不一定发散.例如, (1) 性质2 表明收敛级数可逐项相加或相减 .(用反证法可证)第13页/共25页第十三页，共26页。性质性质(xngzh)3.在级数(j sh)前面加上或去掉有限项, 不会影响级数(j sh)的敛散性.证: 将级数(j sh)的前 k 项去掉,的部分和为数敛散性相同. 当级数收敛时, 其和的关系为类似可证前面加上有限项的情况 .极限状况相同, 故新旧两级所得新级数第14页/共25页第十四页，共26页。性质性质(xngzh)4. 收敛级数(j sh)加括弧后所成的级数(j sh)仍收敛于原级数(j sh)的和.

7、证: 设收敛(shulin)级数,1nnuS若按某一规律加括弧,则新级数的部分和序列 为原级数部分和序列 的一个子序列,推论: 若加括弧后的级数发散, 则原级数必发散.注意: 收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.但发散.因此必有例如，用反证法可证例如第15页/共25页第十五页，共26页。三、级数收敛三、级数收敛(shulin)的必要条件的必要条件 设收敛(shulin)级数则必有证: 可见: 若级数的一般(ybn)项不趋于0 , 则级数必发散 .例如,其一般项为不趋于0,因此这个级数发散.第16页/共25页第十六页，共26页。注意注意(zh y):并非级数(j sh)收敛的充分条件.例如(l

8、r), 调和级数虽然但此级数发散 .事实上 , 假设调和级数收敛于 S , 则但矛盾!所以假设不真 .第17页/共25页第十七页，共26页。例例4.判断判断(pndun)级级数的敛散性数的敛散性:解: 考虑(kol)加括号后的级数发散(fsn) ,从而原级数发散 .第18页/共25页第十八页，共26页。例例5. 判断下列判断下列(xili)级数的敛散性级数的敛散性, 若若收敛求其和收敛求其和:解: (1) 令则故从而(cng r)这说明级数(j sh)(1) 发散.第19页/共25页第十九页，共26页。因进行(jnxng)拆项相消这说明(shumng)原级数收敛 ,其和为(2) 第20页/共2

9、5页第二十页，共26页。211212nn1212nn这说明(shumng)原级数收敛, 其和为 3 .(3) 第21页/共25页第二十一页，共26页。的充要条件是:*四、柯西审敛原理四、柯西审敛原理(yunl) 定理(dngl).有证: 设所给级数(j sh)部分和数列为因为所以利用数列 的柯西审敛原理(第一章第六节) , 即得本定理的结论.第22页/共25页第二十二页，共26页。例例6. 解: ,Np对任意有利用柯西审敛原理(yunl)判别级数 第23页/共25页第二十三页，共26页。当 nN 时,Np对任意都有由柯西审敛原理可知(k zh), 级数 作业(zuy) P253 1(1), (

10、3) ； 2(2), (3), (4)； 3(2)； 4(1), (3), (5); *5(3), (4)第二节 第24页/共25页第二十四页，共26页。感谢您的欣赏(xnshng)！第25页/共25页第二十五页，共26页。NoImage内容(nirng)总结一、常数项级数的概念。这个和逼近于圆的面积 A .。第1页/共25页。把0,1区间三等分, 舍弃中。剩余部分总长虽然为0, 但康托尔证明了其成员和实数“一样多”,。它们象尘埃一样散落在0,1区间上, 人们称其为康托尔尘集.。第2页/共25页。级数的前 n 项和。并称 S 为级数的和,。综合 1)、2)可知,。不存在 , 因此级数发散.。利用 “拆项相消” 求和。故原级数收敛 , 其和为。性质(xngzh)2. 设有两个收敛级数第二十六页，共26页。