D18闭区间上连续函数的性质实用教案

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1、一一. 有界性及最值定理有界性及最值定理(dngl)1. 最值的概念最值的概念(ginin)设设 f (x) 定义在区间定义在区间(q jin)I上上, 若存在若存在使得对任意使得对任意有有则称则称为为 f (x) 在区间在区间 I 上的最小值上的最小值,大大例如：例如：在区间在区间上的最大值为上的最大值为最小值为最小值为小结小结 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 为最小值点为最小值点.大大第1页/共24页第一页，共25页。在在(0, 1 上的最小值为上的最小值为 f (1)=1,无最大值无最大值在在上的最大值为上的最大值为f (1)=1,无最小值无最小值在在上既无最大值上既无

2、最大值,也无最小值也无最小值在在上的最大值和最小值均为上的最大值和最小值均为c小结小结 目录目录(ml) (ml) 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第2页/共24页第二页，共25页。2.2.最值定理最值定理(dngl)(dngl)定理定理(dngl)1.(dngl)1.在闭区间上连续的在闭区间上连续的函数函数即即: 设设xoyab)(xfy 12则则使使值和最小值值和最小值. .在该区间在该区间(q jin)(q jin)上一定有最大上一定有最大(证明略证明略)机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 或或第3页/共24页第三页，共25页。例如例如(lr),无最大值和

3、最小值无最大值和最小值 xoy11xoy1122也无最大值和最小值也无最大值和最小值 又如又如, 机动机动 目录目录(ml) (ml) 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 注意注意: 若函数若函数(hnsh)在开区间上在开区间上连续连续,结论不一定成立结论不一定成立 .或在闭区间内或在闭区间内有间断有间断 点点 ,第4页/共24页第四页，共25页。设设f (x)Ca, b，则则(i) f (x)在a, b上为单调(dndio)函数时 aObxyaObxyOab xyOabxy机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回(fnhu) (fnhu) 结束结束 第5页/共24页第五页，共25

4、页。此时，函数此时，函数(hnsh) f (x)恰好在恰好在 a, b的端的端点点a和和b取到最大值和最小值取到最大值和最小值.y=f (x)a, b, 则则y=f (x)a, b, 则则机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回(fnhu) (fnhu) 结束结束 第6页/共24页第六页，共25页。(ii) y = f (x) 为一般(ybn)的连续函数时，如图中所示，xya a1a2a3a4a5a6bma1mama2ma3ma4ma5ma6mby = f (x)第7页/共24页第七页，共25页。bxoya)(xfy 12mM定理定理(dngl)8.2. 由定理由定理(dngl)8.

5、1 可知有可知有证证: 设设, ,)(baCxf上有界上有界 .机动机动 目录目录(ml) (ml) 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 在闭区间上连续的函数在该区间上有界在闭区间上连续的函数在该区间上有界. 第8页/共24页第八页，共25页。二、零点二、零点(ln din)定理与介值定定理与介值定理理定理定理(dngl)8.3. ( 零点定零点定理理(dngl) ), ,)(baCxf至少至少(zhsho)有一点有一点且且使使xyoab)(xfy ( 证明略证明略 )1. 零点零点:若若则称则称 为为f (x)的零点的零点.0()0,f x0 x机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返

6、回返回 结束结束 注意：注意：定理只表明的零点的存在性，而没有回答零点的个数定理只表明的零点的存在性，而没有回答零点的个数 及求法。及求法。第9页/共24页第九页，共25页。 证明的思想方法是等分区间法证明的思想方法是等分区间法(区间套法区间套法)：将区：将区间间a, b等分为等分为a, a1和和a1, b, 在这两个区间中选择在这两个区间中选择与与a, b性质相同的一个，例如，若性质相同的一个，例如，若f (a1)f (b)0, 则选则选取取a1, b, 然后，对然后，对a1, b进行等分，并进行选择，又进行等分，并进行选择，又得一个新的小区间得一个新的小区间. 如此下去，小区间的长度趋于零

7、，如此下去，小区间的长度趋于零，并且总保持区间端点值反号，由函数的连续性，这些并且总保持区间端点值反号，由函数的连续性，这些(zhxi)小区间的左端点或右端点构成的数列的极限小区间的左端点或右端点构成的数列的极限值就是我们要求的值就是我们要求的(a, b).机动机动 目录目录(ml) 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第10页/共24页第十页，共25页。设设 , ,)(baCxf且且则对则对 介于介于(ji y)f (a) 与与f (b)B 之间的任一之间的任一数数 A ,一点一点(y din)证证: 作辅助作辅助(fzh)函函数数则则且且( )f abxoya)(xfy ( )f b使

8、使至少有至少有机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 定理定理8.4（介值定理）：（介值定理）：若若则必有则必有故由零点定理知故由零点定理知, 至少有一点至少有一点使使即即第11页/共24页第十一页，共25页。机动机动 目录目录(ml) (ml) 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 若若则则或或即即或或此时此时(c sh)取取或或即可即可.综上可知结论综上可知结论(jiln)成立成立.第12页/共24页第十二页，共25页。推论推论(tuln)1:在闭区间在闭区间(q jin)上的连续函数上的连续函数 必取得必取得(qd)介于最小值与最介于最小值与最大值之间的任何值大值之

9、间的任何值 .机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 推论推论2: 闭区间上不为常数的连续函数把该区间应为闭区闭区间上不为常数的连续函数把该区间应为闭区间间.第13页/共24页第十三页，共25页。例例1. 证明证明(zhngmng)方程方程一个一个(y )根根 .证证: 显然显然(xinrn)又又故据零点定理故据零点定理, 至少存在一点至少存在一点使使即即说明说明:内必有方程的根内必有方程的根 ;取取的中点的中点内必有方程的根内必有方程的根 ;可用此法求近似根可用此法求近似根.二分法二分法4321x01在区间在区间内至少有内至少有机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回

10、返回 结束结束 则则则则第14页/共24页第十四页，共25页。例例2 2：证明：方程：证明：方程 x = 2 sinx + 1 x = 2 sinx + 1 至少至少(zhsho)(zhsho)有有一个不超过一个不超过 3 3 的正根的正根. .证：问题证：问题(wnt)(wnt)归结为在归结为在(0, 3(0, 3上求方程的根的问题上求方程的根的问题(wnt).(wnt).而而 f (0) = 0 2 sin0 1 = 1 0, 则则f (0) f (3)0，由介值定理由介值定理, 至少存在一个至少存在一个 (0, 3)， 使得使得 f (3 )=0. 综上所述，方程在综上所述，方程在(0,

11、 3上至少有一个根上至少有一个根, 即至即至少有一个不超过少有一个不超过 3 的正根的正根.第16页/共24页第十六页，共25页。例例3 3：设：设 f (x) f (x)Ca, bCa, b， a x1 x2 a x1 x2 xn b , xn b , 证明证明(zhngmng): (zhngmng): 至少存在一点至少存在一点x1 , xn x1 , xn ，使得，使得小结小结 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回(fnhu) (fnhu) 结束结束 第17页/共24页第十七页，共25页。证：证： f (x) C(a, b).有有从而从而(cng r)若若m M,由介值定理，至少存在由介

12、值定理，至少存在(cnzi)一点一点x1 , xn ，使，使若若m = M, f (x1)= f (x2)m = M, f (x1)= f (x2)= f (xn), = f (xn), 则可取则可取(kq)(kq)xixi综上所述，命题获证综上所述，命题获证. .m f (xi) M.小结小结 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第18页/共24页第十八页，共25页。上连续上连续(linx) , 且恒为且恒为正正 ,例例4. 设设在在对任意对任意(rny)的的必存在必存在(cnzi)一点一点证证:使使令令, 则则使使故由零点定理知故由零点定理知 , 存在存在即即. )()()(

13、21xfxff当当时时,取取或或, 则有则有证明证明:小结小结 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第19页/共24页第十九页，共25页。内容内容(nirng)小小结结2. f(x)在在a, b上达到上达到(d do)最大值与最小值最大值与最小值;3. f(x)在在a, b上可取上可取(kq)最大与最小值之间的任最大与最小值之间的任何值何值;1. f(x)在在a, b上有界上有界;机动 目录 上页 下页 返回 结束 4. 当当时时,使使必存在必存在( ) ( )0f a f b (,) ,ab( )0.f第20页/共24页第二十页，共25页。思考思考(sko)与练习与练习机动机动

14、 目录目录(ml) (ml) 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 证明至少存在证明至少存在使使一点一点( )0 , 2 ,f xCa(0)(2 ) ,ffa0 , ,a( )().ffa设设则则提示提示(tsh): 令令则则易证易证第21页/共24页第二十一页，共25页。作业作业(zuy)P70 1, 2, 4, 5 习题课 目录(ml) 上页 下页 返回 结束 第22页/共24页第二十二页，共25页。备用备用(biyng)题题 至少(zhsho)有一个不超过 4 的 证证：证明(zhngmng)令且根据零点定理 ,原命题得证 .内至少存在一点在开区间显然正根 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 第23页/共24页第二十三页，共25页。感谢您的观看(gunkn)！第24页/共24页第二十四页，共25页。NoImage内容(nirng)总结一. 有界性及最值定理。第1页/共24页。上的最大值为f (1)=1,无最小值。上既无最大值,也无最小值。第2页/共24页。第3页/共24页。注意: 若函数在开区间上连续,。设f (x)Ca, b，则。二、零点定理与介值定理。定理8.4（介值定理）：。大值之间的任何(rnh)值 .。证：问题归结为在(0, 3上求方程的根的问题.。至少存在一个(0, 3)，。mf (xi) M.。第23页/共24页。感谢您的观看第二十五页，共25页。