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1、例例1. 求微分方程求微分方程(wi fn fn chn)的通解(tngji).解: 分离(fnl)变量得两边积分得即( C 为任意常数 )或说明: 在求解过程中每一步不一定是同解变形,因此可能增、减解.( 此式含分离变量时丢失的解 y = 0 )第1页/共18页第一页，共19页。例例2. 解初值问解初值问题题解: 分离(fnl)变量得两边(lingbin)积分得即由初始条件得 C = 1,( C 为任意(rny)常数 )故所求特解为第2页/共18页第二页，共19页。例例3:解法 1 分离(fnl)变量即( C 0 )解法(ji f) 2故有积分(jfn)( C 为任意常数 )所求通解:积分第
2、3页/共18页第三页，共19页。练习练习(linx). 求下述微分方求下述微分方程的通解程的通解:解: 令 则故有即解得( C 为任意(rny)常数 )所求通解(tngji):第4页/共18页第四页，共19页。例例4. 子的含量(hnling) M 成正比,求在衰变(shuibin)过程中铀含量 M(t) 随时间 t 的变化规律. 解: 根据(gnj)题意, 有(初始条件)对方程分离变量, 即利用初始条件, 得故所求铀的变化规律为然后积分:已知 t = 0 时铀的含量为已知放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变原M0MtO第5页/共18页第五页，共19页。例例5.成正比,求解: 根据(gnj)牛顿
3、第二定律列方程初始条件为对方程(fngchng)分离变量,然后(rnhu)积分 :得利用初始条件, 得代入上式后化简, 得特解并设降落伞离开跳伞塔时( t = 0 ) 速度为0,设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度 降落伞下落速度与时间的函数关系. t 足够大时第6页/共18页第六页，共19页。内容内容(nirng)小结小结1. 微分方程(wi fn fn chn)的概念微分方程(wi fn fn chn);定解条件;2. 可分离变量方程的求解方法:说明: 通解不一定是方程的全部解 .有解后者是通解 , 但不包含前一个解 .例如, 方程分离变量后积分;根据定解条件定常数 .解; 阶;通解;
4、特解 y = x 及 y = C 第7页/共18页第七页，共19页。 找出事物(shw)的共性及可贯穿于全过程的规律列方程.常用(chn yn)的方法:1) 根据(gnj)几何关系列方程 ( 如: P298 题5(2) ) 2) 根据物理规律列方程3) 根据微量分析平衡关系列方程(2) 利用反映事物个性的特殊状态确定定解条件.(3) 求通解, 并根据定解条件确定特解. 3. 解微分方程应用题的方法和步骤解微分方程应用题的方法和步骤例4例5例6第8页/共18页第八页，共19页。思考思考(sko)与练习与练习 求下列(xili)方程的通解 :提示(tsh):(1) 分离变量(2) 方程变形为第9页
5、/共18页第九页，共19页。作业作业(zuy)P 304 1 (1) , (5) , (7) , (10); 2 (3), (4); 5 ; 6第三节 第10页/共18页第十页，共19页。齐次方程(fngchng) 第三节第三节 第七章 第11页/共18页第十一页，共19页。齐次方程齐次方程(fngchng)形如的方程(fngchng)叫做齐次方程(fngchng) .令代入原方程(fngchng)得两边积分, 得积分后再用代替 u,便得原方程的通解.解法:分离变量: 第12页/共18页第十二页，共19页。例例1. 解微分方程解微分方程(wi fn fn chn)解:代入原方程(fngchng
6、)得分离(fnl)变量两边积分得故原方程的通解为( 当 C = 0 时, y = 0 也是方程的解)( C 为任意常数 )0C此处第13页/共18页第十三页，共19页。例例2. 解微分方程解微分方程(wi fn fn chn)解:则有分离(fnl)变量积分(jfn)得代回原变量得通解即说明: 显然 x = 0 , y = 0 , y = x 也是原方程的解, 但在(C 为任意常数)求解过程中丢失了. 第14页/共18页第十四页，共19页。x由光的反射定律(fn sh dn l):可得 OMA = OAM = 例例3. 探照灯的聚光镜面是一张旋转曲面探照灯的聚光镜面是一张旋转曲面(qmin),
7、它的形状由它的形状由解: 将光源所在(suzi)点取作坐标原点, 并设入射角 = 反射角TMP能的要求, 在其旋转轴 (x 轴)上一点O处发出的一切光线，从而 AO = OMxOy 坐标面上的一条曲线 L 绕 x 轴旋转而成 , 按聚光性而 AO 于是得微分方程 : yO经它反射后都与旋转轴平行. 求曲线 L 的方程.第15页/共18页第十五页，共19页。积分(jfn)得故有得 (抛物线)故反射镜面为旋转(xunzhun)抛物面.于是(ysh)方程化为(齐次方程) 第16页/共18页第十六页，共19页。作业作业(zuy)P309 1 (1), (4), (6) ; 2 (2), (3) ; 3
8、 ; 第四节 第17页/共18页第十七页，共19页。感谢您的欣赏(xnshng)！第18页/共18页第十八页，共19页。NoImage内容(nirng)总结例1. 求微分方程。解: 分离变量得。第1页/共18页。第2页/共18页。练习. 求下述微分方程的通解:。解: 令。子的含量 M 成正比,。已知放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变原。后者是通解 , 但不包含前一个解 .。找出事物的共性及可贯穿于全过程的规律列方程.。2) 根据物理规律列方程。(3) 求通解, 并根据定解条件确定特解.。(1) 分离变量。的方程叫做(jiozu)齐次方程 .。例2. 解微分方程。求曲线 L 的方程.第十九页，共19页。
D723可分离变量微分方程实用教案
