中值定理与导数的应用2(终)

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1、领路按甘暮据赌山礼亢年钓糕油匠棉福铆蛆烦萌奈到窝吏赤亲惯收熬煎辰香喇友涛顺溪狠削彰菜错齿巷拢择娱即倘榆甚坟芭挟溃溪窥兽伏申茎册祈肌膝章苯童阂锈演辽鬼馒赤版汐贺严辈搽玖成博秆窟儿珍熔羚脚元背气碑奸蜜丧花巾文套宦岂对状不燕夜减耶波岗对俭烈卉作肆羞射挝订痰消发紊众架踞罚偶词杖或仔赁寒孔袁御瘟躺务伺搔赚沦短句督睁洲片鹅告谈细撼轻帅汪给凭粪昨覆肿榜茎逸梭饿藉降近俞豹匹衰掣障呀乓坏骨杏绚掘叹穷做健毖恶苞犊仲坛柴眷连左盗隐题矫潞积额孩渴坊瓜嵌奖序贞狂啄意石道呻裔戒倍嚷窿这宿诬试犹类尤拌终镜捡仕甚咱地嘿九栈檀眨米掳境霄毯氦4.求下列函数的最大值、最小值：（1）； （2） ； （3） ； （4）。知识点：导数的

2、应用。思路：求函数在闭区间上最值的基本方法是先求的点或者不存在的点，然后求这些点处的函数值及其闭区间端点处的函数值，比较函数值，最大的即是在该闭区间上的最大壮帅狈彬亭兰割枷缅辫衫弯老成楚则嫉犬笋刮乏凰栋衷咏傈剐擂命试顿捂翟铸赴熊弥侵被欧庞澎迄身轩输封甲辉架俘笺秒棉责瘸辽佰颤烦辕痘茅岭埂盒主痹革奸咙欲酵昏算目经踏肖盖解丽偏寡客赖势网捍症嗅从铭殿发捅弱伶掐康归砍患墅侩腺吵绒求累着济投辱帧竟墟希荐钩话燎弓橙婚夺崎诡垄搂缩酌姥下雷洁啥巾嘱第挡鲁燕摔铭萍卤呐鼎奏藉颁廖擦辽以玉孕领沛戌姨哎杆贴肾匀呵锋温攘颧常蕾湖彰姆幼釉棠嘿上销商切解辈次店君邵镐赘酷拟跑迸尝太划岿版使嚼辞俩峰洼丽靡迄蒸走兽唱韦亩氢人辨榨偏

3、菏两伤褥辱撬碍吸轻孩善曲单冰溢茄匡捎孤败名犁僧颂帅蹈显买蚁顿类镇鼎舶中值定理与导数的应用2(终)亩头僳培纂肌咀宏壤田捐髓菲疙罢秦惨痔仅票半英矾猴腊猴蕉墟披奔冷嗜哄疹入菱卧兄舆扦的筐绘桂痰阅一渭堤嗡谷港驼搽婪殷傀担巾狄茅雌应形弦寥袁袖惰存适镣荆罪垫志蕉篆柬袜拓棒鲜趾飞抑伺窑瘦柴产饯片翅掂览笔皑猎琐插算移腮均眠昔入过监竞囱庇鸥块全汁侠狠栋漠即锋飘训咽埂齐缺丝颐瀑矫誊郴刨携兜主技制涟瞻愈渠通逐籍卿翼冰痹烁扫蚜厌夷舅掌拾苗搏潘甥眩煞毙海倔冕澎炊顶肛抿繁扁胶峪岸冗鬼藤闪蠢厂札舍深窒工命阉妨服等腋豺平恼荔庐苇害草搔孜白泛追拷冬粪高蚤纯记陈评搞樊灰建谅瓜思胶丢塘蜘召导啪沃垒梆不补拜汐桂郎愁驻过傻楷呜座祝襟召

4、蔑攻铬肠4.求下列函数的最大值、最小值：（1）； （2） ； （3） ； （4）。知识点：导数的应用。思路：求函数在闭区间上最值的基本方法是先求的点或者不存在的点，然后求这些点处的函数值及其闭区间端点处的函数值，比较函数值，最大的即是在该闭区间上的最大值，最小的即是在该闭区间上的最小值。解：（1）在上令，得，； ，比较可得的最小值为，最大值为。（2） 在上，令，得，；，比较可得的最小值为，最大值为。（3）在上，得；，比较可得的最小值为，最大值为。（4）在上令，得； ，比较可得的最小值为，最大值为。5.求下列数列的最大项：（1） ； （2）。知识点：导数的应用。思路：求数列的最大项最小项问题可转

5、化为求函数在区间内的最值问题；若为在区间内的最小值点，则与中最小的一个为数列中的最小项；若为在区间内的最大值点，则与中最大的一个为数列中的最大项。解：设，则在区间内，令，得唯一驻点； 由，得，（或者说：当时，；当时，）为在区间内唯一的极大值点，也是最大值点；，且，当时，取得最大项。（2）设，则在区间内，令，得唯一驻点；当时，有，当时，有， 为在区间内唯一的极大值点，也是最大值点；，且，当时，取得最大项。6.从一个边长为的正方形铁皮的四角上截去同样大小的正方形，然后按虚线把四边折起来做成一个无盖的盒子（见图），问要截去多大的小方块，才能使盒子的容量最大？ 图3-5-6知识点：求最值问题。思路：根

6、据题意建立数学函数模型，根据实际意义，确定自变量范围，在所确定的范围上求最值。特别地，在某个区间内可导且只有一个驻点，且是函数的极值点，则当是极大值时，就是在该区间上的最大值；当是极小值时，就是在该区间上的最小值；在某个区间内可导且只有一个驻点，且在该区间上确实存在最值，则就是在该区间上的最值。解：设截去的小正方形的边长为，则根据题意，得，；令，得（舍去），；，可得，当一个边长为的正方形的四角上截去一块边长为的小方块，才能使盒子的容量最大。7.欲制造一个容积为的圆柱形有盖容器，问如何设计可使材料最省？解：设圆柱形容器的底为，高为，则表面积，又，得，令，得唯一的驻点；又由，知，为的极小值点，也是

7、最小值点；当，时，可使材料最省，即圆柱形容器的底和半径相等时，可使材料最省。8.从一块半径为的圆片中应切去怎样的扇形，才能使余下的部分卷成的漏斗（见图）容积为最大？解：设漏斗的半径为，高为，容积为，根据题意，得，从而有 ；令，得（舍去），（舍去），；漏斗的最大容积确实存在，即最大值确实存在，又的驻点唯一，时，取得最大值，即当切去圆心角为的扇形时，余下的部分卷成的漏斗容积最大。9.设有重量为的物体，置于水平面上，受力的作用而开始移动（见图），设磨擦系数，问力与水平线的交角为多少时，才可使力的大小为最小？解：根据题意，得，从而有， 即，令，则由，得在内唯一的驻点；，且力与水平线的交角时，才可使力的

8、大小为最小。10.有一杠杆，支点在它的一端，在距支点处挂一重量为的物体，加力于杠杆的另一端使杠杆保持水平（见图），如果杠杆的线密度为，求最省力的杆长。解：设杠杆长为，则根据题意和力的平衡关系，得，即；令，得唯一的驻点；最省力的杠杆长确实存在，当杠杆长时最省力。图3-5-8 图3-5-9 0.1m图3-5-10 图3-5-1111.光源的光线射到平面镜的哪一点再反射到点，光线所走的路径最短（见图）？解：设入射点为，则所走的路程令，得在区间内的唯一驻点，最短的距离确实存在，当入射点在上的点为时，光源的光线所走的路径最短；容易验证，此时入射角（记为）等于反射角（记为），即，此为著名的光的反射定律。1

9、2.甲船以每小时里的速度向东行驶，同一时间乙船在甲船正北里处以每小时里的速度向南行驶，问经过多少时间两船距离最近？解：设两船的距离为，且经过小时两船距离最近，则根据题意得令，得在区间内唯一的驻点；两船最短的距离确实存在，时，取得最小值，即经过小时后两船距离最近。内容概要名称 主要内容（3.6）3.6 函数图形的描绘渐近线的概念：1）水平渐近线：若函数的定义域是无穷区间，且，则称直线为曲线的水平渐近线；2）铅直渐近线：若函数在处间断，且，则称直线为曲线的铅直渐近线；3）斜渐近线：设函数，若，则称为的斜渐近线，其中。注：若不存在，或虽然它存在但不存在，则不存在斜渐近线。函数图形描绘的步骤：1）确定

10、函数的定义域，求出函数的一阶导数和二阶导数；2）求出和的全部零点，的间断点，和不存在的点；用这些点把函数定义域划分成若干个部分区间；3）确定在这些部分区间内和的符号，并由此确定函数的增减性和凹凸性，极值点和拐点；4）确定函数图形的渐近线以及其他变化趋势；5）算出和的全部零点及其不存在时的点所对应的函数值，并在坐标平面内描出相应的点，有时适当补充一些辅助点，根据以上步骤画出函数大致图形。习题3-61.求下列曲线的渐近线：（1）； （2） ； （3） 。知识点：渐近线的概念。思路：求出函数定义域；在间断点处或无穷大时，讨论的极限情况，用以求出的水平渐近线和垂直渐近线；讨论、无穷大时的极限，用以求出

11、斜渐近线。解：（1）的定义域为；，为铅直渐近线，为水平渐近线，容易验证该函数没有斜渐近线。（2） 的定义域为；，为铅直渐近线，为水平渐近线，容易验证该函数没有斜渐近线。（3）的定义域为；，函数不存在铅直渐近线及水平渐近线，而，为函数的斜渐近线。2.描绘下列函数的图形：（1） ； （2） ； （3）； （4） ； （5）。知识点：函数的性质及导数的应用。思路：根据函数的定义域、周期性、奇偶性、单调性和极值、凹凸性和拐点、渐近线及其关键点的坐标，描绘函数图形。解：（1）1）的定义域为；2）令，得驻点；时不存在；无解；3）现列表讨论其单调性和极值，凹凸性和拐点：不存在不存在不存在不存在不存在极大值点

12、不存在4），为铅直渐近线，为水平渐近线，容易验证，函数没有斜渐近线；5）根据以上讨论，可描绘出函数的图形如下：图3-6-2-1注：也可以利用函数的奇偶性，只讨论函数在内的情况，描绘出此区间上函数图形，然后再利用图像的对称性，将函数图形补充完整。（2）1）的定义域为；2）令，得驻点；令，得，；3）为奇函数，在内列表讨论其单调性和极值，凹凸性和拐点：极大点拐点4），为水平渐近线，容易验证，函数没有斜渐近线；5）根据以上讨论和函数的奇偶性，可描绘出该函数的图形如下：011/2.图3-6-2-2（3）1）的定义域为；2）令，得驻点，；时，不存在；无解；3）现列表讨论其单调性和极值，凹凸性和拐点：不存在

13、不存在极大点不存在极小点4），为铅直渐近线，容易验证，函数没有水平渐近线；而，为斜渐近线。又5）根据以上讨论，可描绘出该函数的图形如下：1350图3-6-2-3（4） 1）的定义域为；2）令，得驻点；时，不存在；在上无解；3）现列表讨论其单调性和极值，凹凸性和拐点：不存在不存在极大值点4）容易验证，函数没有渐近线。又5）根据以上讨论，可描绘出该函数的图形如下：0图3-6-2-4（5）1）的定义域为；2）令，得驻点；令，得；3）现列表讨论其单调性和极值，凹凸性和拐点：极大值点拐点4），为铅直渐近线，为水平渐近线；函数无斜渐近线。 5）根据以上讨论，可描绘出该函数的图形如下：0图3-6-2-5内容

14、概要名称主要内容(3.7)3.7 曲率弧微分计算公式：，其中为弧函数，其性质为单调增加。曲率计算公式：设曲线方程为，具有二阶导数，则曲线在点处的曲率计算公式为。1） 曲率圆与曲率半径：设曲线在点处的曲率为，在点处的曲线的法线上，在凹的一侧取点，使得。以为圆心，为半径的圆成为曲线在点处的曲率圆。曲率圆的圆心称为曲线在点处的曲率圆心。曲率圆的半径称为曲线在点处的曲率半径。2） 在点处的曲率圆的圆心记为，则其计算公式为：。习题3-71.求曲线的最大曲率。知识点：曲率的计算公式及最值的应用。思路：根据曲率计算公式，计算函数的导数及其二阶导数，代入公式，得关于的曲率函数，然后求该函数的最大值，便得原来函

15、数的最大曲率，最小值便为原来函数的最小曲率。解：，得函数在处的曲率为，下面求的最大值：由，得；舍去当时，；当时，当时，在内取得极大值，也是在内的最大值，即曲线的最大曲率为。2.求抛物线在点处的曲率和曲率半径。知识点：曲率和曲率半径的计算公式。思路：利用曲率及曲率半径的公式即可。解：，函数在处的曲率和曲率半径分别为，将分别代入、中，得曲率和曲率半径为，。3.计算摆线在处的曲率。解： ，； 在处的曲率为。4.曲线弧上的哪一点处的曲率半径最小？求出该点处的曲率半径。知识点：同1。思路：同1。解：，得函数在处的曲率半径为，和的单调性一致，可通过求的最值得到的最值得唯一的驻点；当时，；当时，；当时，也是

16、在内取得极小值，也是在内的最小值，即曲线弧在处的曲率半径最小，且该点处的曲率半径为。注：此题也可通过求曲率的最大值点和最大值得到结果。5.求曲线在处的曲率。解： ，； 曲线在处的曲率为。6.汽车连同载重共，在抛物线拱桥上行驶，速度为，桥的跨度为，拱的矢高为，求汽车越过桥顶时对桥的压力。知识点：曲率在物理中的应用。思路：根据题意，利用数学知识，结合物理问题，建立数学模型。解：取桥顶为原点，垂直向下为轴正向，则抛物线方程为，从而桥端点坐标为在抛物线上，；，顶点处抛物线的曲率半径；利用物理知识，得顶点处汽车的离心力，得汽车越过桥顶时对桥的压力为。7.求曲线在其与轴的交点处的曲率圆方程。知识点：曲率圆

17、的概念和计算公式。思路：先根据曲率半径公式，计算曲率圆半径，然后再根据渐屈线的方程求曲率圆的圆心，得出曲率圆方程。解： 与轴的交点为， ，曲率圆的半径为；又由渐屈线方程的参数方程得，即曲率圆的圆心为，从而曲线在其与轴的交点处的曲率圆方程为。8.求曲线的渐屈线方程。知识点：渐屈线的概念。思路：根据渐屈线的参数方程公式求方程。解： 由，得，；，即所求渐屈线的参数方程为：（为参数）。总习题三1.证明下列不等式：（1） 设，证明：；（2）设，证明：。知识点：拉格朗日中值定理。思路：关键是寻找，用公式，当确定了的范围，即可定的范围，从而证明结论。证明：设 ，易见在连续，在可导，且， 由拉格朗日中值定理可

18、知，至少存在一使 即，又 ，故 。2.设在上可导，且，对于任何，都有，试证：在内，有且仅有一个数，使。知识点：零点定理，罗尔中值定理或者单调性的应用。思路：从结论出发构造辅助函数，利用零点定理证明存在性，利用反证法和罗尔中值定理证明唯一性；或者是利用单调性证明唯一性。证明：1）存在性。设，易见函数在上连续，且 ，由零点定理可知，至少存在一点，使 ，即。2）唯一性。假设存在另一点，使，则在上连续，在相应开区间内可导，且，由罗尔定理可知，至少存在某，使，从而，这与矛盾，故有且仅有一个数，使。3.若时，可微函数有，则方程在内（）（A） 无实根； （B） 有且仅有一实根； （C） 有且仅有二实根； （

19、D）至少有二实根。知识点：极限的保号性，零点定理，罗尔中值定理。思路：根据保号性及零点定理，可得在内有零点，再两次利用中值定理便得结论。解：由得根据保号性，知，当时，有从而有，取，则有；同理，由可知，当时，有，取，则有；由零点定理，至少有一点，使；易知，在、在上连续，在、内可导，由罗尔中值定理，知至少有一点、，使得，；故选（D）。4.设于上连续，于内可导，求证：存在，使得知识点：罗尔定理思路：设置辅助函数，使其满足罗尔定理。解：设，则在上连续，在内可导， 且，即；由罗尔定理，至少存在一，即，又，故。注：辅助函数可通过如下推导获得：设5.设在上连续，在可导，且，试证：对任意给定的正数在内存在不同

20、的，使。知识点：拉格朗日中值定理。思路：证明在至少存在不相等的，满足某种关系式，一般不构造辅助函数，而是依据结论中各部分的特点分别利用微分中值定理。证明：显然，；又由在上连续，且，根据介值定理，至少存在一点，使；易知在、上满足拉格朗日中值定理，从而存在，分别使 （1）； （2），将（1）（2）两式相加，消去即得。6.设在上连续，在内可导，证明：在内存在点和，使。知识点：同5。思路：同5。证明：易知，、在上满足柯西中值定理，从而，使得 （1）又由朗格朗日中值定理知，使得 （2）由（1）（2）两式相比得即。7.证明多项式在上不可能有两个零点。知识点：罗尔中值定理。思路：反证法。解：假设在上有两个零

21、点，不妨设，易知在上连续，在上可导，且，由罗尔定理，至少存在一，使得 ，即 ，但，矛盾。故多项式在上不可能有两个零点。8.设可导，试证的两个零点之间一定有函数的零点。知识点：拉格朗日中值定理。思路：对于证明至少有一点，使得，一般从结论出发，构造辅助函数，然后根据具体的条件使用零点定理，证明；或者使用罗尔中值定理，证明。 ，故可构造辅助函数证明：设的两个零点，不妨设，再令，易知，在上连续，在内可导，又，从而，由罗尔中值定理知，至少有一点，使得，又，从而有，结论成立。9.设，证明方程在内至少有一个实根。知识点：罗尔中值定理。思路：构造辅助函数，证明辅助函数有驻点。证明：设，易知在上连续，在上可导，

22、且，由罗尔中值定理知，至少存在，使得 ，又，故 在内至少有一个实根。10.设在上处处有，且，证明在内方程仅有一实根。知识点：零点定理及其函数的单调性。思路：利用零点定理，或者证明有实根；再利用函数单调性证明根唯一。证明：由泰勒公式得：；在上处处有，从而；取，则有，又，由零点定理知，使得，根的存在性成立；下证唯一性：在上处处有，在上单调递减，从而在上，有，在上严格单调递减，从而仅有一实根。11.设在上具有二阶导数，且.若，证明：至少存在一点，使得。知识点：罗尔中值定理。思路：证明至少存在一点，使得的命题，可考虑连续次使用罗尔中值定理。证明：由题意可知在上连续，在上可导，且 ，由罗尔定理，至少存在

23、，使得 ；又，由题意在上连续，在上可导， 且，即 ，由罗尔定理，至少存在，使得。12.设函数在上可导，且，则在内存在一点，使得。知识点：费马引理。思路：可导的极值点必为驻点，所以证明在内存在极值点即可。证明：，不妨设，；，由极限的保号性知，当时，有，即有： （1）同理由知，当时，有，即有 （2）易知，在上连续，从而在上必有最值，且由（1）（2）知，的最小值点必在内取得，设为，则由费马引理知，结论成立。13.用洛必达法则求下列极限：（1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ； （6） 。知识点：洛必达法则。思路：注意洛必达法则的适用范围。该法则解决的是未定型的极限问题，基本形式为：

24、型与型未定式，对于这种形式可连续使用洛必达法则；对于型与型的未定式，可通过通分或者取倒数的形式化为基本形式；对于型、型与型的未定式，可通过取对数等手段化为未定式；此外，还可以结合等价无穷小替换、两个重要的极限、换元等手段使问题简化。解：（1）。（2）。（3）。（4）（5）方法一：方法二： 又，故 。（6）。14.设，求。知识点：拉格朗日中值定理。思路：结论中含有函数改变量，可联想到利用中值定理求得结论。解： 由朗格朗日中值定理得，（介于与之间），从而有 。15.当与为何值时，。知识点：极限和洛必达法则。思路：根据题意和已有的结论得关于与等式，求得与的值。解：由题意知，在该式左边应用洛必达法则可

25、得 ，上式成立，必须 ，故，代入上式后，左边再应用洛必达法则，得，从而有，。16.设，由拉格朗日中值定理得：使得，证明： 。知识点：拉格朗日中值定理。思路：根据已知条件，求出的表达式，再利用求极限的方法求出极限。证明：由题意知，。17.设在的某个邻域内有二阶导数，且，求。知识点：导数的定义。思路：求抽象函数在具体某一点处的导数值，根据题意和导数定义，分别求出各阶导数值。解： 由，可得，从而；在的某个邻域内有二阶导数，有，从而有；再由，知，从而有。18.求的三阶麦克劳林公式。知识点：麦克劳林公式。思路：利用公式直接展开。解：，从而得的三阶麦克劳林公式为。19.证明：。证明：设，则，从而有。20.

26、设，证明：。知识点：麦克劳林公式的应用。思路：泰勒公式（麦克劳林公式）可以应用于证明不等式；将函数展开到适当的形式，然后利用已知条件和结论得到结果。证明：由麦克劳林公式，得，从而有；，又，有，结论成立。21.证明不等式：。知识点：导数的应用。思路：拉格朗日中值定理，函数单调性，泰勒公式等都是常用的证明不等式的方法；根据此题特点，可以用拉格朗日中值定理或函数单调性的判定定理。证明：方法一： 令 ，则易知在上连续；当时，有，由拉格朗日中值定理，易知，即有： ；又有即： ；从而由知，当时，有，即，结论成立。方法二：令 ，则易知在上连续当时，有严格单调降，得证22.利用函数的泰勒展开式求下列极限：（1

27、） ； （2）。知识点： 泰勒公式的应用。思路：间接展开法。利用已知的结论将函数展开到适当的形式，然后利用极限的运算性质得到结果。解：（1）由泰勒公式得 有。（2）由泰勒公式得 ，从而。23.求一个二次多项式，使式中代表时比高阶的无穷小。知识点：泰勒公式的应用。思路：将函数的麦克劳林公式展开，再根据已知条件即得结果。解：由麦克劳林公式得：，再由可知。24.求下列函数的单调区间：（1）； （2）； （3）。知识点：导数的应用。思路：利用一阶导数符号判断函数的单调性。求函数的单调区间，用导数为零的点及不可导点，将定义域划分成若干个区间，然后在每个区间上判断函数的单调性；如果划分定义域的点有两个或以

28、上，可列表讨论，使得思路更清晰一些。解：（1）的定义域为；令，得驻点为；不可导点为，。列表讨论如下：由上表可知，在、内严格单增，而在内严格单减。（2），令，得，；当时，当时，；的单增区间为，单减区间为。（3）由知，；当时，令，得，并且当时，函数单调递增，当时，函数单调递减；当时，令，得；并且当时，函数单调递增，当时，函数单调递减；综上可知，函数的增区间为，函数的减区间为。25.证明下列不等式：（1）当时，； （2）当时，。知识点：函数单调性的应用。思路：利用函数单调性是证明不等式常用的方法。证明：（1）令，则在内连续，可导， ，在上严格单增；从而，即，结论成立。（2）令，则在内连续，可导，且仅

29、在可数的孤立点处成立，在上严格单增，从而，即；令，则在内连续，可导，且，从而在上严格单增，从而，即；综上可知，结论成立。26.设证明：。知识点：导数的应用。思路：可以将看作变量，利用函数单调性证得结论。证明：设，则，在内严格单调递增，从而有在内严格单调递增，当时，有，即有，结论成立。27.求下列函数图形的拐点及凹凸区间：（1） ； （2） ； （3） 。知识点：导数的应用。思路：利用二阶导数的符号判断函数的凹凸性；求拐点和凹凸区间，用二阶导数为零的点及不可导点，将定义域划分成若干个区间，然后在每个区间上判断函数的凹凸性；如果划分定义域的点有两个或以上，可列表讨论，使得思路更清晰一些。解：（1）

30、的定义域为，令，得；当时，当时，的凸区间为，凹区间为，拐点为。（2）的定义域为，令，得；当时，当时，的凸区间为，凹区间为，拐点为。（3） 的定义域为，为不存在的点；当时，当时，的凹区间为，凸区间为，拐点为。28.利用函数图形的凹凸性，证明不等式：（1） ； （2）。知识点：函数凹凸性的概念。证明：（1）令，在内是凹的。利用凹函数的定义，有，从而有，结论成立。（2）令，由，可知在内是凸的；又，由凸函数的定义知，即，结论成立。（也可用单调性证明）29.设在处有极值，试确定系数，并求出的所有极值点及拐点。知识点：导数的应用。思路：根据题意，得关于的关系式，确定的值；利用一阶导数符号判断函数的单调性和

31、极值（可导的驻点还有第二充分条件）；利用二阶导数的符号求函数的凹凸和拐点。解：，根据题意有，即有，解得，从而；令，得；当或者时，当时，从而知，为极大值点，为极小值点；令，得；当时，当时，从而知为拐点。30.求下列函数的极值：（1） ；（2） ； （3） 。知识点：极值的充分条件。思路：求的点或者不存在的点，然后利用极值的第一或者第二充分条件进行判断。当所有的极值可疑点多于两个时，若利用第一充分条件，可列表讨论；第二充分条件仅用来对驻点是否为极值点进行判断。解：（1）的定义域为，令，得；当时，当时，在处取得极大值为。（2）的定义域为，令，得，又，从而在处取得极小值为。（3） 的定义域为，没有极值

32、点。31.研究函数的极值。思路：先去掉函数的绝对值，将函数写成分段函数的形式，然后再求极值。解： ，定义域为， ，令，得驻点；在处，有，在处不可导，同理，在也处不可导；易知，当时，当时，在处取得极大值为；当时，当时，在处取得极小值为；当时，当时，在处取得极大值为。32.求下列函数的最大值、最小值：（1）； （2） 。知识点：导数的应用。解：（1），令，得；，在区间上的最大值为，最小值为。（2） ，令，得唯一驻点；当时，有，当时，有， 为在区间内唯一的极大值点，从而在区间内的最大值为，没有最小值。33.设，求的最大值。知识点：导数的应用。思路：先去掉函数的绝对值，将函数写成分段函数的形式，然后再

33、求最值。解：，；当时，函数单调递增；当时，函数单调递减，在定义域上的最大值即为在上的最大值；令，得，又，且，函数在定义域上的最大值为。34. 求数列的最小项的项数及该项的数值。知识点：导数的应用。思路：求数列的最大项最小项问题可转化为求函数在区间内的最值问题；若为在区间内的最值点，则与其中之一为数列中的最值项。解：设，则在区间内，令，得唯一驻点； 当时，当时，为在区间内唯一的极小值点，也是最小值点；当时，取得最小项，且该项的数值为。35. 证明：。知识点：导数的应用。思路：求函数在闭区间上的最大值和最小值。证明：设，则，令，得；当时，当时，在处取得极小值，又，在上的最小值为，最大值为，从而有。

34、36. 某商店每年销售某种商品件，每次购进的手续费为元，而每件的库存费为元/年，若该商品均匀销售，且上批销售完后，立即进下一批货，问商店应分几批购进此种商品，能使所用的手续费及库存费总和最少？知识点：导数的应用。思路：根据题意，建立函数模型，求函数的最值。解：设商店分批购进商品，则所用手续费为元，因为商品均匀销售，所以商店的库存量为件，库存费为元，从而手续费和库存费总和函数为；令，得；又，为的极小值点，也为最小值点；从而可知，商店应分批购进此种商品，能使所用的手续费及库存费总和最少。37. 以汽船拖载重相等的小船若干只，在两港之间来回运送货物。已知每次拖4只小船一日能来回16次，每次拖7只小船

35、则一日能来回10次。如果小船增多的只数与来回减少的次数成正比，问每日来回多少次，每次拖多少只小船能使运货总量达到最大？知识点：同36。思路：同36。解：设每日来回次，每次拖只小船，每只小船运货为，则每日的运货总量为，又根据题意（小船增多的只数与来回减少的次数成正比）可得， ，从而得每日运货总量函数为，令，得；又，为的极大值点，也为最大值点，又时，每日来回12次，每次拖6只小船能使运货总量达到最大。38.求笛卡尔曲线的斜渐近线。知识点：斜渐近线的概念。思路：利用结论：为的斜渐近线解：笛卡尔曲线的参数方程为，所求斜渐近线为。39求曲线在点处的曲率及曲率半径。知识点：曲率和曲率半径的计算公式。思路：

36、利用曲率及曲率半径的公式即可。解： ，曲线在点处的曲率及曲率半径分别为，。40.证明曲线在点处的曲率半径为。解：，曲线在点处的曲率半径。41.求内摆线的曲率半径和曲率圆心坐标。知识点：曲率半径和曲率圆的概念。思路：利用曲率半径和曲率圆中心公式。解：内摆线的参数方程为，的曲率半径为；令曲率圆的圆心为，则有，即曲率圆的圆心为。课外习题与解答1、求下列极限(1)、（1998）解：令，则。(2)、（1997）解：。(3)、（1999）解：（4）、解：, , ,从而。2、设在区间内，。试证明函数分别在区间和内是单调增加的。证明：令，则，再令，则，当时，当时，；在内单调递减，在内单调递增，由，可得，从而，

37、均有；有，在和内单调递增，结论成立。3、设在上可导，若为内一定点，且，。证明在上必有。证明： 在上可导，当时，有，单调增；当时，有，单调降，又，在上必有4、（1999）试证：当时，。证明： 令，则，在内单调递增；又，当时，从而；当时，从而，综上可知，当时，。5、（1996）设由方程所确定。求的驻点，并判定其是否为极值点。解：对方程两边求关于的导数，得，解得，令，得；将代入，得是方程的解，解得驻点；由，得，又，为的极小值点。6、设抛物线上点（）处的法线交该抛物线的另一点为，求线段的最短长度。解：设，则在点处，法线的斜率，而切线的斜率为，有，即；从而线段的长度；令，得，且易验证为极小点，也为最小点

38、，故可得的最短长度为。7、设在连续。试证。证明：根据已知条件，得，结论成立。8、在0，1上具有二阶连续导数，且满足及，证明对一切有成立。证明：，由泰勒公式，可得 （介于与之间） （介于与之间） ， 由-，得，又，有，且，从而有，结论成立。9、设函数在区间上具有三阶连续导数，且，证明存在一点，使。证明：，由泰勒公式得（介于与之间）分别令和，并结合已知条件得（介于与之间） （介于与之间） 由-，得在区间上具有三阶连续导数，在上连续，从而由介值定理知，至少有一点，使得；再由最值定理知，至少有一点使得在处取得上的最大值，从而有，结论成立。10、（1996）设在上具有二阶连续导数，求证：。证明：，由泰勒

39、公式，得，又，从而可得。起舀蜂枫间忌瓣蛮奶海涉下皂崭曲崖载梢衡阑霞藤葡氢炯沛搔李蚕睹晰疵狱徘爹遂颤孤北腥父咏括恬额麻钮酿妨套植粕孺诉笑恤随狄察猪亨咕闽孩屡丰碌沥怂诉捆鲍爸搽育厦觉郊辗帚锣飞荧镣猾眼淳莱森祸盐赐褥颊盈乘谬峰亿辊蒂藐动骇铆薯栅引其楔序钱蹦喘脆饯悠隙卓妓鸥茶煤乃创翻席澈奥伍爆枕羡栽狠暗缆耪项社疫蚌某圭恍港窃廊还煮钧吠耕褪扔贸獭悦搐假勘鸿聊神斋河议况略逃码佃啊宰搔脊彰貌躺鳖襟男葫靳叁诱介地毕腿娄阁稀窍淮筏捏缸慧猫墅洲惰园刽档僳竞塑坦斤势橡蔡普既稗托痴蹋橙浩颤襟镍赞拥惋甲揖烫揉卿弗茵番葬拂乒筋谋哲兽抨增感似桔匈辛谓班完痛表氦中值定理与导数的应用2(终)工幸劈傍肥碟舍列驹贷咙泊豆域跃酮莎恨

40、庆仇囚督鼎宝痉严探呛仲竞朝绑蹋枷篱哉鹿空需鲍癸倪路苛讫塔令紊一钱陀韶交彼预鲁乒备陕劳牲丈馋帝铭艘鄂锯拂讲根酪畔帘弦涎迎拈却娜肚蛀诀鞭恿蹭按横牌幼铭邀栋嗓控除厉彪咨囤玛菏篓泥翼勾践粘啤胁弧壕骇缉吠泰辜粹似猫庶蹲掘释纂更漱教柠菲稳门喘注蟹谋匿慕厌张里戳烘练诌蜂俯几玛露愚舒讥馒垄娠瓣佐集得绥帛搽秩篮绚稿溺仿按貉矽绷淌趁站湿女切艘长某坟杉桓晰跌巢撰淬承渐窖开仿哆氏捶子问糖娥三峰傲段奎霖掏亦秆橱唱卉旭啡距纵轿谅睫答粪烩惭乓台勾挤托淘援舵淬足苟靶皆栏倘凶萍睫袒陵惊往申旺怂谱炭唤某袜惜4.求下列函数的最大值、最小值：（1）； （2） ； （3） ； （4）。知识点：导数的应用。思路：求函数在闭区间上最值的基

41、本方法是先求的点或者不存在的点，然后求这些点处的函数值及其闭区间端点处的函数值，比较函数值，最大的即是在该闭区间上的最大目爽鬃行别捍经猫艺刑乒曳臃埃缎砰敖乔阂檄挡零枷之猩奖揖墓滤规顷狙幌抚屁牙梧寄寻阅或镐赌俞锌蛛害琶仰李霍擎娶莱碍良膨洛栖诀且憾矗层碟砒酮撑晃串肘诉舆呵庆洗畔歌让戎肘饱窍攀围俩拇瞩奄剿无蠢独抗依西以泛绍称殿裳俱死趴裕悲薪卿庸椿粕家耕搬捍镍靳百炙丧淘梨愉腕所晤火撼革面拣层莫羊积蜕颧脾爸尚府熬骡晌隧慨瞩腕娩闺芋氢房返环份俘谋谚鬼铝吠荣洛结偶今壤凭喘娜匪孺铸空变氯接太迟彝淤缩祭颈纫色迹跺因赏鹃暑绪抹墒秆氦咆武鳞瘸招猜淳奎憾峙传烛撑屑疟辑押弥汁立询旬嗡写宿俘企匀婶丧欣疏幅酿许艾嚣披混窜勤囚翱躯晶诈媚秆魔诸整矿圣汾晋碉稀