等离子体动理学方程

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1、第三章等离子体动理学方程动理论(kinetic theoiv)的总思是通过系统中粒子运动的基本特性來研究系 统的格体宏观特性。对气体，以前称为“气体分子运动论”。对等离子体，有的 称为等离子体“动力论”，这与“ Dvnamic相混。按物理含义，应称为“等离 子体粒子动力论”。因为这一理论方法是根据粒子微观运动然后进行统计平均。 也就是原來气体分子运动论(kinetic theoiy of gases)方法的推广。近年国内学者 建议称为“等离子体动理论”，并为新版物理学名词所采用。III1等离子体分布函数在统计力学中，粒子分布函数被用丁描述物理系统的状态。早期的等离子体 动理论方法是由单粒子分布

2、换数的Boltzmaim-Maxwell方程出发，采用 Chapman-Enskog技巧。所谓单粒子分布函数，即f(r,v.t)drdv ,把时刻t粒子在6-维空间(x,y,z,%Vy,Vz)中出现在观察点邻域中的几率。一 4知道该分布 函数，系统的统计性质就完全知道C宏观物理量可以通过对分布函数的积分來 表示，如粒子密度n(ryt) = ,vt)dv速度 V(r.t) = -vf(r,v,t)dvn J温度 T(r,r) =丄-/尸向。nJ 2但是，这不是严格的统计力学的出发点，而是经一系列中间过程后得到的一个非 常实用乂相当正确的近似方法。本罩，我们简耍地介绍严格的统计理论，然后在弱偶A近

3、似下，得到类似于 Boltzmaiin-Maxvvell分布描述的结果。III. 1.1平衡态统计分布：Gibbs分布考虑由N/2个电子和N/2个离子组成的等离子体，设处在热力学平衡态，并 通过热源保持在温度To则由平衡态统计力学知，在位置(兀,丘处 发现n个粒子的儿率为与速度无关的Gibbs分如：(,左2,片)=exp-一,(3-1-1)其中作用势为W厂単忙(3-1-2)，0拽是外加势能。配分函数(3-1-3)z訂exp-込tdW血在呂处发现第1号粒子的儿率密度为F(恳)=J Ddx2 .dxN在没有外力时，在任意点发现该粒子的儿率是相同的，故F 积的倒数：(3-1-4)1为常数，取其为体F

4、l/V(3-1-5)定义F2(xnx:)为双粒子分布萌数，表示在位管呂发现粒子1的同时，在发现 栗子的儿率。如果知道这一函数，那么，我们不仅知道这两个粒子的位置，而且 知道这两个粒子的互相作用情况。这就是双粒子分布与单粒子分布的雨耍不同。 依次类推，可以定义多粒子分布函数(3-1-6)Fs(xl9.xs) = f Ddxs.dxN如果粒子间不存在相互作用(理想气体)，显然有Fs T FF2.Fs = Vs(3-1-7)J E Mayer 在 “ Statistical Mecliamcs of Fluids ” 中发展 了 一个系列展开法，对弱 作用体系，设下述展开成立：(3-1-8)F?区，

5、丘2)= 1 +片2(丘1，丘2)人(呂)巧(丘2 )，尸3 (X1，“2 丘3 ) = 1 +鬥2 (天，左2)+ +人2 (呂丘3 ) +刁23 许尸2尸3(3-1-9)7山等分别称双粒子关联函数和三粒子关联函数等等。我们设片21，人23 片2(3-1-10)这个假定是基丁弱偶合条件得出的物理推断，得到一系列结论的反证。完整的Gibbs分布与速度有关，应写成,1 工卯皿 工工必(R v)=cxp- -exp -,(3-1-11)这里简写办=眄dv , dv = dvi.dvN o主耍到速度部分是可以分离的:)=(3-1-12)n,cxp(“7M/2T)卜*卩(一叶/27/歼于是有匕（灯）八

6、住）?,(3-1-14)F*2(x1,x25v1,v2) = /1(v1)/2(v2)F2,莫中fi是Maxwell分布価)=(冷)“exp(im22T(3-1-15)63#HI. 12平衡分布中的双粒子关联函数利用弱偶合条件（3-1J0）,取S=2,我们对（3-1-6）求微分略去四阶以上的 关联，有+眾皿1 a仮 =0#（3-1-16）这里Q代表电子和离子。利用Mavei展开链，略去三阶关联，得到关丁双粒子关联函数的截断方程場趙|+賈（判PE讥区心（3-1-17）假定电子一电子，电子一离子，离子一离子的关联函数大小基本相同（实际上, 前而从碰撞频率中已经看到，它们之间心在一些不同，但都是o（

7、g）级暈），其符 号与电荷符号一致（对异类电荷粒子，P12为正，反之，为负）。 （3-1-17）的求解可采用Fourier分解法。对于相互作用力为有心力的情形, 关联函数的Founei变换一般具有下述形状：(3-1-18)P12 =/ 片 2 (| 召-丘21 exp阳(召-丘 2 )d 满足肘+警+鲁旳宀(3-1-19)#对丁电中性等离子体，工（皿）=2山，将（3-1-19）中给出的PJ进行逆变换, a最后得到(3-1-20)#这电 心=（工4律 严 是報体等离子体的Debye长度。 a#冋过來考察弱偶合假定的匸确性。可以看到，弘达到0(1)量级的空间范田 为丄exp(-厶工，给出 %。也就

8、是说，弱偶合近似只在很小的空间 d 心广范用内不使用。而在这个小范禺中的体积仅为&欣O以上引入的关丁单粒子分布函数和双粒子关联函数的概念具有更普遍的意 义。III. 2 Klimontovich 方程本节简耍介绍有关多带电粒子体系的微观描述中的粒子动理论方法。III. 2.1多粒子体系的微观方程如果我们知道N个粒子在每一时刻的位置和速度，那我们就完全确定了体系 的物理状态。这意味着，这个体系可以由下而的函数完全描述(3-2-1)NgJ)二工/x-兀帀一片(/)ISiSN这里采取了关丁矢鼠的简写。进一步定义6维矢暈X=(x,v),相关的微观电磁(322)场方程为6 aVxBw =匚砂 +。工(3

9、-2-3)0/ a等等。值得注意的是，这电的微观场是全体带电粒子(电子和离子)所产生的， 显然它们依赖r这些粒子的具体位置。所以实际上这是一种力学描述。在外加场 和FI恰场的作用下，第1个粒子的运动方程为(324)(325)dx. 一矿*炉 q+Myat 在(325)右边加“号表示微观场不包括笫I个粒子H身产生的场。例如, 对电场5 =丄工弘工5(壬-乞)吕)a j*i(3-2-4) (3-2-5)是数目非常大的非线性常微分方程组，虽然描述是严格的，但 实际上根本无法求解。因此意识描述也仅是理论意义上的一种过度。与粒子运动方程相对应的关丁体系状态断数所满足的方程为Ng) t n 6Na(X,/

10、)十V dtdx+ q (EM +vxBMy dN =0 叫Sv这个方程也可以简写成(3-2-6)DNa(X,t)_Q(3-2-6) 1Dt这世D/Dt表示沿粒子运动轨道的金微分。方程(3-2-6)称Klimontovich-Dupree 方程。注意，上述方程不过是全体粒子的力学方程的综合而已，它不是统计描 述。Na是力学系统的状态甫数，不是分布函数。实际上，上述方程是无法确定 和求解的。真正的统计甫数由描述空间文邻域中发现粒子的儿率的萌数來描述。III.2.2多体系统的统计描述类似丁咲丁平衡态的统计描述，引入多粒子分布函数，泄义为在空间；？邻域 中发现粒子的儿率(327)F (乂 “.X “

11、 J)dX .dX “它同样满足Liouville方程:Dt(328)65#根据总儿率应为1,有为简单计，引入记号dXnll=dXxdXy.dXJfyjxm/=io定义a类粒子的单粒子分布函数扎就心戶vFn豊严应财,(3-2-9)V为系统的体积。(A(v,/)/V)表示时刻t在(i,v )邻域找到第q类粒子 的儿率。这是我们在以后的研究中要应用的主要分布函数。这电我们要说明，多 粒子，主要是双粒子关联会在一定程度上影响这一萌数的演化。同样，可以引入 a 类粒子位丁 XdX内而同时0类粒子处T的儿率(fafi(X,X/V2)dXdX 其中fafi(XyXt) = V2必启云(3-2-10)统计描

12、述与力学描述的不同Z处在几一个物理量的统计描述是建立在数日非常大“试验”某础上的该量的统计平均。现在，我们的“试验冃标”是不同的初始 状态下的由完全相同的带电粒子组成的物理体系。显然，每一个这样的体系都满 足Klimontovich方程，但由丁初始条件不同，它们以后发展的物理状态可以差 万别。由这吐体系组成的统计集合称统计系综”(statistic assembly)。在多粒子 体系屮的物理駄的可观察偵 定义为相应微观磺的对这个统计系综的统计平均值=厂 JFn A(Na,Nb,.Ns)dXall(3-2-11)实际上，关r n个粒子的分布函数的演变方程还是无法求解的。关丁平衡 态统计分布的Ma

13、yer展开方法给人启示，如果偶合参数gl,也可以利用 Maye】展开來研究非平衡体系。我们主耍关心的是双粒子分布函数的情况。令： 九(壬= (元 办(0,r) + g 捉壬,0,r),而可以预期L 0(1),Sab = 0(g)等等。(3-2-12)(3-2-13)此外，人们根据以前的研究成果己经知道，单粒子分布函数A(x,v,/)实际 上可以告诉我们物理体系的全部“流体性质”(见以后对流体描述的讨论)，例如, 平均粒子密度% =研人如，(3214)平均速度心匚=町丿乳勿，(3-2-15)(3-2-16)等等。这里带半均号的密度是对统计系综半均值，即 =nafa现在我们需耍进一步知道的也就是关

14、丁双粒子分布函数屮的关联部分张。单粒子分布函数的演变方程可以通过对Klmiontovich方程进行平均求収:+v-V/o+-=0(3217)(3218)8t叫现在，宏观场方程就可以由单粒子分布函数确定r：V =丄工q戶(文,51q a辰字+“。工込戏曲)而(3-2-19)值得主耍，现在对单粒子分布两数的描述并没有完成，因为方程(3-2-17)这含 有微观场的统计平均，它与粒子间的偶合有关。为看清楚这一点，将(3-2-17) 改写为Sfact+ 2_(E+0x 初益二-(E+0xE)生dv67(3-2-20)如果没有粒子间偶合，上式右边为零。当存在弱偶合时(这是动理论的主耍研究 内容)，上式右边

15、可以化出代表两体碰撞的关联作用项，称为Balescu-Lenaid偶 合。这是动理论的一个重耍成果。有关知识超越木课程的耍求。III 3. Vlasov 方程略去所以关联作用后，单粒子分布函数变为Vlasov方程0M+絆+如.讣阴)=。(3-3-1)也称无碰撞Boltzinaim方程。这里E,鸟是平均电磁场。加上Maxwell方程组，构 成对等离子体系统的绘低一级近似下的统计描述。在很多情况卜，这是一个很好 的近似。菲常有意思的是，在描述等离子体演变时利用上述近似方程，但关丁无 扰动态的假定，则常常采用Maxwell分布。但我们仍可以放心地这样做，因为我 们可以认为，所研究的物理过程(例如很多

16、微观不稳定性)其特征时间远小丁双 粒子碰撞的特征时间。当遇到这类问题，我们进一步设/(-V, V, t) = f0 (x, v) + 两(x, v, t)(3-3-2)其中，fb代表非扰动分布，常常取为Maxwell分布，或其他有意义的分布(例 如双温度分布)2/o (x，b) = n(x)(- )3 2 exp(- -)(3-3-3)27fT(x)2T(x)这也密度和温度都假定为空间位置的因数，因此，它不是真iE意义上的热平衡 分布，而是一类局部的热平衡分布。在这一分布下，可以产生多种很有意义的物 理过程。当 冴九，方程可以对芳线性化:Qa 一一a _+v.V + -L(+vx)V 訂夕=一

17、3(陆+x)yjo dtmn(3-3-4)这里 比必是扰动电磁场，分别由扰动方程确定:(3-3-5)(3-3-6)廉疋亦+怎,*0 a X屈=亠滋+“M初E + L，aVxSE = - (3-4-1)(3-4-2)(3-4-3)(3-4-4)(3-4-5)遇到和研究单粒子运动时一样的满足寝渐条件的大量有意义的情况。这时粒子的 回旋相位变化并不起作用，而且增犬了数学难度。一个与单粒子运动特性对应的 动理学方法就产生了，称漂移动理学近似。设等离子体的粒子(电子和离子)分布函数由來描述，这里兀y,z是回转中心的坐标,(记住:漂移近似下带电粒子可以用回转中心代替，它的空间位置为&)，具有平行速度u,磁

18、矩 “，和能量w,满足 dRdt一 Ex B m - “厂 3 丁+麺处心+卯)根据Liouville定理,分布函数满足 df f、dR 对 | d“茅 | dw 茅 _ dt dt dt dR dt dp dt 亦 苴中利用磁矩的寝渐不变性：d“/dr = O,得到+ (lib + Vd)-Vf + =0(3-4-6)Stdt Svv如果不包含电场(静态不均匀磁场中运动)，粒子能量简化为粒子动能，而且也 是守恒最：dw/山=0 , (3-4-6)进一步简化为鲁+远+ E)yf = 0(3-4-7)漂移近似方程比起Vlasov方程有很人的简化，粒子的回旋角变数不再出现。在研究低频漂移波时，粒子

19、总能量不再是守恒暈：dwdedBdu=Zf+ Ll+ 1)11(dtdtdtdt = -Vcp-1 dAc dt引入矢势A,总电场为注意 _=A+v v,dt dtdwbO3B=Ze+/ +ZV-VO + /V-VB + muZeE 一/VBdt8tdt这里利用了 mdu/dt = ZeEif - pb VB ,若上式中的零阶速度仅取为Vub,则上式右方第三、四项与般后一项抵消后余下一个-竺“生，最后得到c dtdwMcB Ze M=+ /u，dtdtdt c dt而漂移动理学方程化为雪+（W +巧）W + 0罟+ “譽-竺“寥雪=0 （3-4-8）dtdt dt c dt dv最后我们指出，上面形式的漂移动理学方程不是唯一的形式。在不同的应用中，速度变最也可以取其他暈，如“，“，漂移动理学方程将是：堂+ （亦+匕）.巧+空堂=0（3-4-9）dtat du其中du/dt由（4-3-2）确定。与Vlasov方程相比，漂移动理学方程减少一个速度 变数，因而得到很大的简化，并易丁和实际位形结介起来。这个方程在磁约束聚 变物理的许多问题研究中得到应用。如果进一步将碰撞项包括进去，就是新经典 输运理论的基础方程。73