【精选】高中数学人教A版浙江专版必修4讲义：第一章 1.2 1．2.2　同角三角函数的基本关系 含答案

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1、精品资料精品资料数学精选教学资料数学精选教学资料精品资料精品资料12.2同角三角函数的基本关系同角三角函数的基本关系预习课本预习课本 P1820，思考并完成以下问题思考并完成以下问题(1)同角三角函数的基本关系式有哪两种？同角三角函数的基本关系式有哪两种？(2)已知已知 sin ，cos 和和 tan 其中的一个值，如何求其余两个值？其中的一个值，如何求其余两个值？新知初探新知初探同角三角函数的基本关系式同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：平方关系：sin2cos21.(2)商数关系：商数关系：tan_sin cos k2，kZ.这 就 是 说 ， 同 一 个 角这 就 是 说 ， 同 一

2、 个 角 的 正 弦 、 余 弦 的 平 方 和 等 于的 正 弦 、 余 弦 的 平 方 和 等 于 1 ， 商 等 于 角， 商 等 于 角 的 正 切的 正 切k2，kZ.点睛点睛同角三角函数的基本关系式揭示了同角三角函数的基本关系式揭示了“同角不同名同角不同名”的三角函数的运算规律的三角函数的运算规律， 这这里里“同角同角”有两层含义：一是有两层含义：一是“角相同角相同”，二是对，二是对“任意任意”一个角一个角(在使函数有意义的前提在使函数有意义的前提下下)关系式成立与角的表达形式无关，如关系式成立与角的表达形式无关，如 sin23cos231.小试身手小试身手1判断下列命题是否正确判

3、断下列命题是否正确(正确的打正确的打“”“”，错误的打，错误的打“”“”)(1)对任意角对任意角，sin23cos231 都成立都成立()(2)对任意角对任意角，sin 2cos 2tan 2都成立都成立()(3)若若 cos 0，则，则 sin 1.()答案：答案：(1)(2)(3)2已知已知0，2 ，sin 35，则，则 cos ()A45B45C17D35答案：答案：A3已知已知 cos 12，且，且是第四象限角，则是第四象限角，则 sin ()A12B32C32D12答案：答案：C4已知已知 sin 513，2，则，则 tan _.答案：答案：512利用同角基本关系式求值利用同角基本关

4、系式求值典例典例(1)已知已知 sin 1213，并且，并且是第二象限角，求是第二象限角，求 cos 和和 tan .(2)已知已知 sin 2cos 0，求，求 2sin cos cos2的值的值解解(1)cos21sin21121325132，又又是第二象限角是第二象限角，所以所以 cos 0，cos 513，tan sin cos 125.(2)由由 sin 2cos 0，得，得 tan 2.所以所以 2sin cos cos22sin cos cos2sin2cos22tan 1tan2141411.1求三角函数值的方法求三角函数值的方法(1)已知已知 sin (或或 cos )求求

5、tan 常用以下方式求解常用以下方式求解(2)已知已知 tan 求求 sin (或或 cos )常用以下方式求解常用以下方式求解当角当角的范围不确定且涉及开方时，常因三角函数值的符号问题而对角的范围不确定且涉及开方时，常因三角函数值的符号问题而对角分区间分区间(象限象限)讨论讨论2已知角已知角的正切求关于的正切求关于 sin ，cos 的齐次式的方法的齐次式的方法(1)关于关于 sin ，cos 的齐次式就是式子中的每一项都是关于的齐次式就是式子中的每一项都是关于 sin ，cos 的式子且它们的式子且它们的次数之和相同的次数之和相同，设为设为 n 次次，将分子将分子、分母同除以分母同除以 c

6、os 的的 n 次幂次幂，其式子可化为关于其式子可化为关于 tan 的式子，再代入求值的式子，再代入求值(2)若无分母时若无分母时， 把分母看作把分母看作 1， 并将并将 1 用用 sin2cos2来代换来代换， 将分子将分子、 分母同除以分母同除以 cos2，可化为关于可化为关于 tan 的式子，再代入求值的式子，再代入求值活学活用活学活用(1)已知已知 cos 45，求，求 sin 和和 tan .(2)已知已知 tan 2，试求，试求2sin 3cos cos sin 的值的值解：解：(1)sin21cos21452352，因为因为 cos 450，cos 0，所以原式所以原式sin c

7、os |cos |sin |sin cos cos sin 1.三角函数式的化简技巧三角函数式的化简技巧(1)化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的的目的(2)对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的的(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造 sin2cos21，以，以降低函数次数，达到化简的目的降低函数次

8、数，达到化简的目的活学活用活学活用化简：化简：(1)sin 1cos tan sin tan sin ；(2) 1tan cos211tan sin2.解：解：(1)原式原式sin 1cos 1cos 1cos sin 1cos 1cos 21cos2sin 1cos 1cos |sin |1.(2)原式原式cos sin cos cos2sin cos sin sin2 cos2sin cos sin2sin cos cos2sin21.证明简单的三角恒等式证明简单的三角恒等式典例典例求证：求证：tan sin tan sin tan sin tan sin .证明证明法一法一：左边左边ta

9、n sin tan sin tan2sin2tan sin tan sin tan2tan2cos2tan sin tan sin tan2 1cos2 tan sin tan sin tan2sin2tan sin tan sin 右边，右边，原等式成立原等式成立法二：法二：右边右边tan2sin2 tan sin tan sin tan2tan2cos2 tan sin tan sin tan2 1cos2 tan sin tan sin tan2sin2 tan sin tan sin tan sin tan sin 左边，左边，原等式成立原等式成立法三：法三：左边左边tan sin t

10、an tan cos sin 1cos ，右边右边tan tan cos tan sin 1cos sin 1cos2sin 1cos sin2sin 1cos sin 1cos ，左边右边，原等式成立左边右边，原等式成立法四：法四：tan sin tan sin tan sin tan sin tan2sin2 tan2sin2 tan sin tan sin tan2sin2tan2sin2tan sin tan sin tan2 sin21 sin2tan sin tan sin tan2cos2sin2tan sin tan sin sin2sin2tan sin tan sin 0，

11、tan sin tan sin tan sin tan sin .法五：法五：(tan sin )(tan sin )tan2sin2tan2tan2cos2tan2(1cos2)tan2sin2，tan sin tan sin tan sin tan sin .证明三角恒等式常用的方法证明三角恒等式常用的方法(1)从一边开始，证得它等于另一边，一般是由比较复杂的一边开始化简到另一边，其从一边开始，证得它等于另一边，一般是由比较复杂的一边开始化简到另一边，其依据是相等关系的传递性依据是相等关系的传递性(2)左右归一法：即证明左右两边都等于同一个式子，其依据是等于同一个量的两个量左右归一法：即证

12、明左右两边都等于同一个式子，其依据是等于同一个量的两个量相等相等(3)综合法综合法：即由一个已知成立的等式即由一个已知成立的等式(如公式等如公式等)恒等变形得到所要证明的等式恒等变形得到所要证明的等式，其依据其依据是等价转化的思想是等价转化的思想(4)比较法：即证左边右边比较法：即证左边右边0 或证或证左边左边右边右边1.活学活用活学活用求证：求证：2(1sin )(1cos )(1sin cos )2.证明：证明：法一：法一：左边左边22sin 2cos 2sin cos 1sin2cos22sin cos 2(cos sin )12(cos sin )(cos sin )2(1sin co

13、s )2右边右边法二：法二：左边左边22sin 2cos 2sin cos ，右边右边1sin2cos22sin 2cos 2sin cos 22sin 2cos 2sin cos ，左边右边左边右边.sin cos 型求值型求值典例典例已知已知 sin cos 12(0)，求求 sin cos 和和 sin cos 的值的值解解因为因为 sin cos 12(00，所以所以 sin cos sin cos 24sin cos 122438 72.已知已知 sin cos ，sin cos 求值问题，一般利用三角恒等式，采用整体代入的方法求求值问题，一般利用三角恒等式，采用整体代入的方法求解涉

14、及的三角恒等式有：解涉及的三角恒等式有：(sin cos )212sin cos ；(sin cos )212sin cos ；(sin cos )2(sin cos )22；(sin cos )2(sin cos )24sin cos .上述三角恒等式告诉我们，已知上述三角恒等式告诉我们，已知 sin cos ，sin cos ，sin cos 中的任何一个中的任何一个，则另两个式子的值均可求出则另两个式子的值均可求出活学活用活学活用1已知已知 0，且，且 sin cos 15，求，求 sin cos ，tan 的值的值解：解：sin cos 15，(sin cos )2125.解得解得 s

15、in cos 1225.00，sin 0，cos 0.sin cos sin cos 2 12sin cos 1242575.由由sin cos 15，sin cos 75，得得sin 45，cos 35，tan sin cos 43.2若若 0，sin cos 60169，求，求 sin cos .解：解：0，sin cos 601690，cos 0.sin cos sin cos 2 12sin cos 1260169 2891691713.层级一层级一学业水平达标学业水平达标1(福建高考福建高考)若若 sin 513，且，且为第四象限角，则为第四象限角，则 tan 的值等于的值等于()A

16、125B125C512D512解析：解析：选选 D因为因为 sin 513，且，且为第四象限角，为第四象限角，所以所以 cos 1213，所以，所以 tan 512，故选，故选 D.2若若为第三象限角，则为第三象限角，则cos 1sin22sin 1cos2的值为的值为()A3B3C1D1解析：解析：选选 B为第三象限角，为第三象限角，原式原式cos cos 2sin sin 3.3下列四个结论中可能成立的是下列四个结论中可能成立的是()Asin 12且且 cos 12Bsin 0 且且 cos 1Ctan 1 且且 cos 1D是第二象限角时，是第二象限角时，tan sin cos 解析解析

17、： 选选 B根据同角三角函数的基本关系进行验证根据同角三角函数的基本关系进行验证， 因为当因为当时时， sin 0 且且 cos 1，故，故 B 成立，而成立，而 A、C、D 都不成立都不成立4已知已知 sin 55，则，则 sin4cos4的值为的值为()A35B15C15D35解析解析：选选 Asin4cos4(sin2cos2)(sin2cos2)sin2(1sin2)2sin212552135.5若若是三角形的最大内角，且是三角形的最大内角，且 sin cos 35，则三角形是，则三角形是()A钝角三角形钝角三角形B锐角三角形锐角三角形C直角三角形直角三角形D等腰三角形等腰三角形解析：

18、解析：选选 B将将 sin cos 35两边平方，得两边平方，得 12sin cos 925，即，即 2sin cos 1625.又又是三角形的内角，是三角形的内角，sin 0，cos 0，为锐角为锐角6若若 sin 22，tan 0，则，则 cos _.解析：解析：由已知得由已知得是第三象限角，是第三象限角，所以所以 cos 1sin2122222.答案答案：227化简化简： 12sin 40cos 40_.解析解析：原式原式 sin240cos2402sin 40cos 40 sin 40cos 40 2|cos 40sin 40|cos 40sin 40.答案答案：cos 40sin 4

19、08已知已知 tan 12，则则12sin cos sin2cos2_.解析解析：12sin cos sin2cos2 sin cos 2sin2cos2sin cos sin cos tan 1tan 1121121123213.答案答案：139化简化简：(1)cos 36 1cos23612sin 36cos 36；(2)sin cos tan 1.解解：(1)原式原式cos 36 sin236sin236cos2362sin 36cos 36cos 36sin 36 cos 36sin 36 2cos 36sin 36|cos 36sin 36|cos 36sin 36cos 36sin

20、 361.(2)原式原式sin cos sin cos 1cos sin cos sin cos cos .10已知已知 sin cos 33，求求 tan 1tan 及及 sin cos 的值的值解解：将将 sin cos 33两边平方两边平方，得得 sin cos 13.tan 1tan 1sin cos 3，(sin cos )212sin cos 12353，sin cos 153.层级二层级二应试能力达标应试能力达标1已知已知 tan 12，且，且，32 ，则，则 sin 的值是的值是()A55B55C2 55D2 55解析：解析：选选 A，32 ，sin 0.由由 tan sin

21、cos 12，sin2cos21，得得 sin 55.2化简化简1sin 1tan (1cos )的结果是的结果是()Asin Bcos C1sin D1cos 解析解析： 选选 A1sin 1tan (1cos )1sin cos sin (1cos ) 1cos sin (1cos )1cos2sin sin2sin sin .3已知已知是第三象限角是第三象限角，且且 sin4cos459，则则 sin cos 的值为的值为()A23B23C13D13解析解析：选选 A由由 sin4cos459，得得(sin2cos2)22sin2cos259.sin2cos229.是第三象限角是第三象限

22、角，sin 0，cos 0，sin cos 23.4已知已知sin cos sin cos 2，则则 sin cos 的值是的值是()A34B310C310D310解析解析：选选 C由条件得由条件得 sin cos 2sin 2cos ，即即 3cos sin ，tan 3，sin cos sin cos sin2cos2tan 1tan23132310.5已知已知 sin cos 18，且且54，则则 cos sin _.解析解析：因为因为54，所以所以 cos 0，sin 0.利用三角函数线利用三角函数线，知知 cos sin ，所以所以 cossin 0，所以所以 cos sin cos

23、 sin 2121832.答案答案：326若若 sin cos 1，则则 sinncosn(nZ)的值为的值为_解析解析：sin cos 1，(sin cos )21，又又 sin2cos21，sin cos 0，sin 0 或或 cos 0，当当 sin 0 时，时，cos 1，此时有，此时有 sinncosn1；当当 cos 0 时，时，sin 1，也有，也有 sinncosn1，sinncosn1.答案：答案：17已知已知tan212tan 13，2，.(1)求求 tan 的值；的值；(2)求求sin 2cos 5cos sin 的值的值解：解：(1)由由tan212tan 13，得，得

24、 3tan22tan 10，即即(3tan 1)(tan 1)0，解得解得 tan 13或或 tan 1.因为因为2，所以所以 tan 0，所以所以 tan 13.(2)由由(1)，得得 tan 13，所以所以sin 2cos 5cos sin tan 25tan 132513516.8求证：求证：cos 1sin sin 1cos 2 cos sin 1sin cos .证明：证明：左边左边cos 1cos sin 1sin 1sin 1cos cos2sin2cos sin 1sin cos sin cos cos sin cos sin 1 12 cos sin 2sin cos 122 cos sin cos sin 1 sin cos 1 22 cos sin 1sin cos 右边右边所以原等式成立所以原等式成立【精选】数学人教版教学资料【精选】数学人教版教学资料【精选】数学人教版学习资料【精选】数学人教版学习资料