矩阵初等变换的若干问题

《矩阵初等变换的若干问题》由会员分享，可在线阅读，更多相关《矩阵初等变换的若干问题（38页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、西北第二民族学院学士学位论文众所周知，初等变换是高等代数中分析问题、 解决问题的一种非常重要的思 想方法,它贯穿于高等代数教材体系的始终。这种思想方法的实质是将问题化繁 为简、化大为小、化多为少，并且保持事物的某些性质不变。矩阵的初等变换起源于解线性方程组的三类同解变换：即交换两个方程的 位置；给某一个方程乘以一个非零常数；给某一方程乘以某常数后加到另一个方 程上。我们知道,一个线性方程组与它的增广矩阵唯一对应，因此当矩阵初等变换 这一概念提出来以后，解一个线性方程组就等价于利用矩阵的初等变换来化简一 个增广矩阵。至此，矩阵的初等变换似乎已经完成了它所要承担的“任务”。但事实远非如此，随着矩阵

2、理论的发展，新概念不断产生，新问题也随之产生，如求 解矩阵的秩，化二次型为标准形以及求矩阵的特征值和特征向量等。尽管这些问 题也可以通过别的途径解决，但当我们利用矩阵的初等变换来处理上述问题时， 往往会感觉到简便易行，有时甚至比用这些定义本身去解决相应问题更有效。近年来,矩阵初等变换在解决线性代数有关问题中的特殊作用逐步显现，但在一般的教材和文献中很少有对其进行详细归纳和总结的。本文便是通过查阅各 种文献资料，在前人的基础上进行补充和完善而成的。本文首先介绍了矩阵初等 变换的定义；接着总结了矩阵初等变换的五条重要性质并对其进行了严格地证 明；然后结合相应的实例详细地探讨了矩阵初等变换在求矩阵的

3、秩，求可逆矩阵的逆矩阵，解矩阵方程，求矩阵的特征值，判断向量组是否等价，化二次型为标准 形等十一个典型问题中的重要应用；最后对矩阵初等变换进行了合理的推广一 广义的矩阵初等变换，即分块矩阵所对应的初等变换和 -矩阵所对应的初等变 换，广义的矩阵初等变换与普通的矩阵初等变换相比有着不同的性质因而它们适 用于解决不同的代数问题。1西北第二民族学院学士学位论文第一章矩阵的初等变换分别称以下三类变换为矩阵的第I，川类初等行变换：I换法变换：对调矩阵中任意两行的位置；n倍法变换：以一个非零常数乘以矩阵中某一行；川消法变换：将矩阵中某一行的数量倍数加到另一行。类似地，可以定义矩阵的初等列变换，矩阵的初等行

4、变换和初等列变换统称 为矩阵的初等变换。1.1矩阵初等变换的重要性质命题1矩阵的第n ,川类初等变换是独立的。即矩阵的第n类初等变换不能 由第I ,川类初等变换实现，矩阵的第川类初等变换不能由第I , n类初等变换实 现。证明 矩阵的第n类初等变换不能由第I ,川类初等变换实现，以a为n阶方阵 为例，A S Ai|Ai 円| A|A经第I ,川类初等变换(可以为有限次)所得矩阵Bi ,则| Bi |=|A|或IB戶| A|, 当I A F 0, k = 1或k = -1时，显然|Bi卜| A I,从而说明第n类初等变换不能由第 I ,川类初等变换实现。 矩阵的第川类初等变换不能由第I , n类

5、初等变换实现，以单位矩阵为例由第I,n类初等变换所得矩阵的某一行定与原矩阵相应的某一行成比例，而E rikrEi(k=0)则Ei的任意一行与原矩阵E的任何一行无比例关系，所以 第川类初等变换不能由第I , n类初等变换实现。命题2矩阵的第I类初等变换可由矩阵的第n ,川类初等变换实现。证明以行初等变换为例来说明，设aii - ajiai2 - aj2ain ajnaiiaam1ai29dm2ainamnai1ai n-aj1 - aj2ai1ai2_ ajnaainI am1am2amna119a a b ba12aai naa11a a ba12ainai1ai2 aina j1aj2 a

6、jnaarma-费:-:-:ajiaaj2 aj3aai1aai2 aainifmi a m2a mn丿ia mi a m2amn丿” anmo B a Bai2ainaA - aii_a jioo a Bai2 aj 2ain ajnaajiaj2aajnaIamio a Ba m2amnfaiia ai2aina11al naj1aj2a jnai1ai2aiam2amn J故矩阵的第I类初等变换可由矩阵的第u,川类初等变换实现。命题3对矩阵作行的初等变换不改变矩阵列向量之间的线性关系。证明 设矩阵A经过一次行的初等变换后得到Ai, A和A的列向量分别记为1,：2，n和：1 “2，：n ,

7、如果Ai的任何一部分列向量（假设前t个向量,t_n）满足线性关系式：xi X22 Xtt =o Xi F,i=1,2,，tFFFFF即 xv： x2j2 亠 亠 xt_0 0 n =0:t 1亦即=0若设Ei是初等变换对应的初等矩阵,那麽Ei可逆且EiA二Ai，将式两边左乘E得:=010丿即 Xj r X22 Xt t t 4n = 0 ,亦即 x.- 1 2 2X0 ,这说明Ai的部分列向量之间所显示的线性关系即为 A对应列向量之间的线性关 系，一次行的初等变换如此则若干次也一样， 从而对矩阵作行的初等变换不改变 列向量之间的线性关系。(同理，矩阵的初等列变换也不改变矩阵行向量之间的线 性关

8、系)命题4矩阵的初等变换不改变矩阵的秩。证明 设矩阵A经过一次行初等变换后得到A , A和A的列向量别记为1,2rn和1Cn ,由命题3知矩阵的初等行变换不改变列向量之间 的线性关系,则向量组i,2,i,n和：j，2,Cn的极大线性无关组所含向量 的个数相同，从而矩阵A和A有相同的秩。命题5矩阵的初等变换不改变矩阵的可逆性证明：由命题4知矩阵的初等变换不改变矩阵的秩，从而矩阵的初等变换不 改变矩阵的可逆性。1.2矩阵的初等变换与初等矩阵n阶单位矩阵经过一次初等变换而得到的矩阵称为 n阶初等矩阵，也即以下3 种形式：*101E(i,j)=匕10、 1丿1+1E(i(k)=k1+b+1 kE(i,

9、 j(k) =+1+1矩阵的初等变换之所以在求矩阵的逆，化二次型的标准型等问题中非常奏效 其理论依据主要来自以下命题：命题6设A为m行n列矩阵,对A实行一次初等行变换,其结果等于在A的 左边乘以相应的m阶初等矩阵；对A实行一次初等列变换，其结果等于在A的右 边乘以相应的n阶初等矩阵。证明 以第I类初等行变换为例，用m阶初等矩阵E(i,j)左乘矩阵A = (aij )m n 得：1+a119a12 a1naE(i, j)A =0+1ai1aai2 -aina10+a j1aaj2 aj3ak10 m1am2amn丿:Ban11121naaaaa亠aj1aj2ajnaiaaa亠ai1ai2aina

10、aaWmia m2 amn其结果相当于把A的第i行与第j行互换。这样就在矩阵的初等变换与矩阵的乘法之间建立了联系，即对A做一次初等变换就相当于给A左乘或右乘一个初等矩阵。1.3矩阵初等变换的应用求矩阵的秩由命题4知矩阵初等变换不改变矩阵的秩，且任意一个m n矩阵均可以经 过一系列初等行变换化为 m n级阶梯形矩阵，因此我们要确定一个矩阵的秩，当 它不是阶梯形矩阵时，可以先利用初等行变换将其化为阶梯形矩阵 ，然后由阶梯 形矩阵的秩确定原矩阵的秩。例1讨论n阶方阵A的秩2bbbabA=:(n2)bb a；解：对矩阵A做初等行变换化为阶梯形矩阵：abba +(n - 1)bbb、A =baab_ 初

11、等行变换a +(n - 1)b-aabmbba2 +(n - 1)bbaa +(n -1)bb b初等行变换一0a b0、00 ab当 a = b,a 北 -(n - 1)b 时，rankA =n ；当 a = b,a = -(n - 1)b 时，rankA 二 n 1；当 a =b,a -(n - 1)b 时，rankAT ;当 a =b,a = (n - 1)b 时，rankA=0.如果我们要求向量组的秩，可把每一个向量作为矩阵的一个列从而转化为求矩阵的秩。求可逆矩阵的逆矩阵若A是n阶可逆矩阵,将A与E(n阶)并排放在一起,组成一个n 2n矩阵(A E ),因为AJ ( A E)=( E

12、AJ),所以对矩阵(A E)做一系列的初等行变换,将其左半部分化为单位阵E时，其右半部分就是A。即初等行变换、(e aj)同理,也可通过初等列变换得到:A ;初等列变换广A、!、丿1-52、例 2 设 A= 2-41 ,求 A，J -1 b解：由题意知，初等行变换3丿1-21-2丄 2J6231 一21 一一 61- 3o O 1O 1 O1 o O初等行变换法-521(A E)= 2-410J 110于是10西北第二民族学院学士学位论文1-A1-21-6- - 121_-62_31-21-2 -于是初等列变换法AE广12110-5-4-10102、11001初等列变换1001-21_6130

13、10121-62_ 30011212-1AJ1261 (E A4B)#西北第二民族学院学士学位论文#西北第二民族学院学士学位论文这是求解矩阵方程AX二B较为简便的方法。12西北第二民族学院学士学位论文（223、(423)例3.1求解矩阵方程AX = B ,其中A =1-1 0，B =1 1 0 (E AJ)AXB =C ,其中例3.2试用初等变换求解矩阵方程13西北第二民族学院学士学位论文#西北第二民族学院学士学位论文*1 2 32 1 2#西北第二民族学院学士学位论文#西北第二民族学院学士学位论文解：因为|AFO,|B|=O,故A和B可逆，先计算q2312q001-T21310初等行变换一0

14、1030J342300121丿(AC)=r 1-1AC = 301再计算广791 0 450 1B 、初等列变换1=1 -1-916.A C丿30-527( r 1,：匕，：r即为A的列向量组的极大线性无关组。例 4 在 F4 中求向量组：1=(1,0,-1,1),： 2=(2,1,-2,0),： 3 =(-2,-1,0,1), ： 4=(0,-1,2,1)的极大线性无关组，并把其余向量表示为极大线性无关组的 线性组合。解：以：1/-2/3/4为列作矩阵A,并对A施行初等行变换，化为行简化 阶梯形矩阵B ,即2-2一1初等行变换22=B-101-1-2001设B的列向量为冷,显然S23是SC的

15、一个极大线性 无关组，并且1 4 = 2 1 1 - 2 一： 2 - -3 ,从而? 1/ 2/ 3为1/ 2/ 3/ 4的一个极大线性无关组,并且二4 =23 -2爲2 -二3如果对A施行初等列变换，则可能得出错误的结果，因为列变换可能改变向 量的位置，此时可以通过编号的方法来解决。判断向量组是否等价判断向量组宀，2,s与向量组-1, -2/ , ：t是否等价时,构造矩 A=1,2,，s；九丨，X对A做初等行变换化为阶梯形矩阵,可以判断-1, 2/ , 是否可以由12,，s线性表出,再构造矩阵 B = -1, 2 , 31, 2,s用同样的方法也可以判断1,2,is是否可以由 jj,，S线

16、性表出，从而判断出这两个向量组是否等价。例5证明以下两个向量组等价：1=（ 1,2,3）, ： 2=（ 1,0,2）, ：1=（3,4,8 ） ,、= （2,2,5 ） ,、=（0,2,1）证明令11320A =蚣1,。2沖1,沖3 )=20422勺201rB =邢1,卩2,卩31tt2 )=4222085132对A, B分别进行初等行变换得:0211、初等行变换A、0111-10000021-1)c初等行变换B01-3-1 22,/ n和I, 2/ , ：n分别为n维空间中两组不相同的基且(空，7) = (n,Cn)C ,写成矩阵形式为B二AC ,由A可逆知(A B)初等行变换(e AJB)

17、,鷺=已知円=(-3,1,-2 ),=(1,-1,1 ),S=(2,3,-1 ),% = ( 1,1,1(1,2,3)：3= (2,0,1 )是R3的两组基,求从前者到后者的过渡矩阵。解:由题意知，Z-312 q12A =1-13B =J1202,宀，d 2，订为线性空间Rn中两个不同的基,且(-1, - 2,，-n ) = (1 ,2 ,n )C , :- =(1 ,2，n )( x 1, X 2，,x n ) =( 1, 2 / , - n )(yi,y2, ,yn) = (： 1, ： 2,，：r)c(yi, y?,，yn),因此有(xi,x2 ,xn)=C(yi,y2/ ,ynf 即X

18、 =CY ,由 C 可逆得 Y 二 CX ,亦即初等行变换，例7已知：-1/-2/34, -1, ：2, ：3, ：4为R4中来两组不同的基，向量在基1,2,3,4 下 的 坐 标 为 (-1,2,0,0), 且1 = ：1, J - -2,、- -3,- 一 3 *4,求在基：1, ： 2, 3, 4 下的坐标。解：由题意知(P P2，P3*4)=(%,%,5,，其中1-100、01-10C =00110001丿则卩-100-r卩000门(C X )=01-102初等行变换01002T001-100010000010丿3 =(1,1,1)下的矩阵。故令解：由题意知,、(!)一(1,0,0)=

19、 (1,1,0),(2)- (1,1,0) =(2,1,0),、(3)- (1,1,1) =(2,0,1),1B =2(%), 6(2), 6(叫)=1A=C 1, ： 2,： 31)=00111122 10001011110初等行变换010110100(AB)=2-11故：在基：, 2,下的矩阵为:01店丿2丿例9化二次型f = x1 2x2 5x3 2x-|X2 - 2x1x3 6x2x3为标准形,并写出所作的变换。解：由题意知,二次型的矩阵为：A= 12 3J 3 5由广 111、广100、123010135初等变换000=1001-1101001-201001其中*1 0 0 勺-11

20、A =0 1 0,c =0 1 -2,(0)2 0 0 ?e 0 1故所作的非奇异变换为X1、1-11 / 、 y1X2=01-2|y2001 J叽2 2则二次型的标准形为：f = yi y2这种方法的最大优点就是在化 a为对角阵的同时就求出了非奇异矩阵co值得注意的是， 由于E(i,j)对应的行变换为：rrj ,且E (i, j)二E(i, j),故E(i,j)对应的列变换为：GCj ; 由于E(i(k)对应的行变换为：kri ,且E (i(k)二E(i(k),故E (i(k)对应的列变换为：kc ; 由于E(i, j(k)对应的行变换为：仃krj ,且E (i, j(k) = E(j,i(

21、k),故E(i,j(k)对应的列变换为：Ci - kCj 。求矩阵的特征值对于一个方阵A如果存在可逆矩阵P使得PAP=B,则称B与A相似。我 们知道可逆矩阵可以表示成若干个初等矩阵的乘积，即如果P可逆则存在初等矩 阵P, F2, , , Pn使得P = R F2, Pn,由于初等矩阵和它们的逆矩阵都为可逆矩阵 且一个矩阵左(右)乘一个初等矩阵等效于将该矩阵作相应的初等行 (列)变换。于 是可得到利用矩阵初等变换求方阵的特征值的方法：将矩阵A作一种初等行变换，接着将对应的逆变换作用于列，即将A左乘一个初等矩阵R再右乘一个初等 矩阵R二,如此这般直至将A变成上(下)三角形矩阵，因为相似矩阵有相同的

22、特征多项式因而有相同的特征值，故所得矩阵的对角线上的元素便是矩阵A的特征值。即:列变换p,行变换p二T上/下三角形-20-4厂241-24-202-25045,求A的特征值。-24-25、-24-2534-25)01004+0100C4 七1 t0100-4-224-4-22470-224-24-25丿0000丿0000丿解：将A做成对的初等变换:A =34-25、勺-245)0-22402-2401000010000丿0000丿所以A的特征值为：3,2,1,0值得注意的是，对A施行初等变换必须是行与列成对施行，这样才能保证将 A左乘一个初等矩阵R再右乘一个初等矩阵Ro 一个矩阵左乘初等矩阵E

23、(i, j)等效于对A作行变换：r.冷,右乘初等矩 阵E(i, j)等效于对A作列变换：gCj ,且E1(i, j)二E(i, j),因此与初 等矩阵E(i,j)相对应的列变换为c - Cj ； 一个矩阵左乘初等矩阵E(i(k)等效于对A作行变换邓,右乘初等矩阵E(i(k)等效于对A作列变换： ,且E(i(k)二E(i(-)因此与初等矩阵kE(i(k)相对应的列变换为-Ci ;k 一个矩阵左乘初等矩阵E(i, j(k)等效于对A作行变换：r -冏，右乘初等 矩阵 E(i, j(k)等效于对 A作列变换：Cj kci ,且 E(i, j(k) = E(i,-j(k), 因此与初等矩阵EJ(i,j

24、(k)相对应的列变换为：Cj-kc。(11)求线性空间的一组标准正交基设(i，2，i，n)是Rn的任意一个基,以-i (i=1,2, ,n)为其列向量构成矩阵ij)则AA是一个n阶正定矩阵必与单位矩阵合同,即存在n阶可逆矩阵Q使得Q AA E ,也即Q A AQ 1= E ,上式说明对矩阵 AA施行一系列初等列变换和初等行变换可以变成单位矩阵，记矩阵AQ的列向量为(i=1,2, , ,n)则:律严1)(誓2)(卫厂1 0 0(QAXAQ ) = (AQ)(AQ) =(鸟1)(022)(駡卫)aaa=0 1 0aaa3n,P1)(久2)(Bn,Bn)丿1亠=5 , 2- ；2亠J ,3 = 2

25、“亠亠-3,求V的一组标准正交基。解：由题意知1, 2， 3是V的一组基,且5才0-11ct 1 =0,0( 2 =0,a 3 =10101212 12、1，则 AA =13 1 ，021 6110 -1人=仪1,僅2,03)= 000 1J 0212(100、131010216001卜A112对AA作初等行和列变换，对A作初等列变换、一1/V21/屁01 =1 A丿0-11T0-2尿1/2001001/201002尿000丿-1/、 100丿从而V的一组标准正交基为:0、VV2、1 人1、1/2-2f4v1/20Q血、1尿28西北第二民族学院学士学位论文第二章矩阵初等变换的推广2.1分块矩阵

26、的初等变换以下三种变换称为分块矩阵的初等行变换：I 互换两个块行的位置；n 用一个行列式不为零的方阵左乘（右乘）分块矩阵的某一个块行；川 把一个块行的P （矩阵）倍（即这个块行里的每一个小矩阵都左乘或右乘一个矩阵P）加到另一个块行上；类似地,可以定义分块矩阵的初等列变换。分块矩阵的初等列变换和初等行变换统称为分块矩阵的初等变换。2.1.1分块矩阵初等变换的重要性质分块矩阵经过一次分块矩阵的初等行（列）变换而得到的矩阵称为分块行（列） 初等矩阵。命题7对一个分块矩阵A作一次分块矩阵的初等行（列）变换,就相当于在证明A的左（右）边乘上一个相应的分块初等矩阵。BD以二阶分块矩阵为例，只看第川种分块初

27、等行变换的情形：,若将T的第一个块行的P倍（左乘）加到第二个块行上得:I n 0A Br AB A 利用分块矩阵的初等变换计算行列式例14设A、B、C、D均为n阶方阵,且| A卜0 , ACA B求证:c dDCB证明因为广E0A B rAB1l-CAE 丿 D ?D-CA B,两边取行列式，并由已知条件 AC二CA 得:ABAB1 1 1=1=A D -CAB=AD - CBCD0D -CA B I 利用矩阵的初等变换分解矩阵例15求证：已知A为非奇异矩阵，则存在非奇异下三角矩阵B与非奇异上 三角矩阵C,使A = BC。证明对A的阶数n用归纳法，当n =1时命题显然成立，假设n二k -1时结

28、论成立，则当n二k将A分块成：31西北第二民族学院学士学位论文#西北第二民族学院学士学位论文由归纳假设知#西北第二民族学院学士学位论文a11ai,k JAk J =ak,i ak,k/且Ak丄二BiCi,其中Bi和Ci分别是k -1阶非奇异下三角与非奇异上三角矩阵，又因为akk y其中b二akk - A；,上式两端取行列式有:| A| Ak j |bb=0 （若b=0,则由于Ak厂BQ,其中Bi和Ci分别是k-1阶非奇异下三角形与非奇异上三角形矩阵,即|Ak卜0从而|A|=0,与已知矛盾。）A0JabBiCi0 b0 Ci i丿I。32西北第二民族学院学士学位论文#西北第二民族学院学士学位论文

29、于是得:akkEkt-Y0 J Bi 0 Cii 0 i 0#西北第二民族学院学士学位论文#西北第二民族学院学士学位论文E二0Bi 0、Bi0、i-BaU i 丿 10 ii；B =Ci Bp0 b|BF|E |=0,|C| = b|Ci 产 0 B与C分别是非奇异的下三角矩阵和上三角矩阵。 从而命题得证。2.2-矩阵的初等变换-矩阵是指元素为的多项式的矩阵，-矩阵的行（列）初等变换是指：I交换-矩阵的两行（列）；n用非零常数乘以-矩阵的某一行(列)；川用-矩阵的某一行(列)的()倍加到另一行(列)的对应元素上，其中：() 是的一个多项式。2.2.1-矩阵的初等变换的重要性质命题8对于任意n阶

30、复矩阵A ,存在可逆方阵PC )和Q(-),使得：P( -A)Q()=diag(d( )4( J,，df ) =B(，)。其中 B(，)为，E - A 的标 准形，即：di( ) ( i =1,2，n )为E - A的不变因子,且d( ) | diC ) (i =1,2, ,n -1)。证明 由于A为任意n阶复矩阵，故对，EA施行初等行变换，化为： diag(d, J,d2( ), ,ds(-),0/ ,0)，其中 di()( i =1,2, ,s)为 - A 的不变因 子，且di()|di，1()(i =1,2, ,s-1)由初等变换和初等矩阵的关系知，存在初等矩阵R(),卩2( ) , ,

31、 , Pm(),Q1() , Q2C) , , , Qt()使得:Pm( ), P2C) P() ( E - A)Q1C ) Q2(),Qt() =diag( Jd2(), ,ds(),O,0),取 PC) =PmC ) , P2C) RC),Q() =Q1C)Q2() ,Qt(),贝UP()和QC)均为可逆矩阵且P( )( E - A)Q(-) =diag ( )( ),4( ),0,0)。现证 s = n,即标准形的对角线上无零多项式。因为 | P( )(E -A)Q()|=| P()| QO| -A|，其中 | P( )| 和 | QC )| 为非零常数*-A|为A的特征多项式，即|，E

32、-A|工0,所以 | diag (d, )82( ), ,ds( ),0,0)| 工0,即 s = n。从而命题得证。2.2.2-矩阵的初等变换的重要应用判断复矩阵是否可以相似对角化任意n阶复矩阵A可对角化的充分必要条件是：A的每个不变因子均没有重 根。由命题8知可以将A的特征矩阵E A进行一系列初等变换化为标准形 diag (d“( ), d?( ),，dn( )，从而得到判断复矩阵是否可以相似对角化的初等变 换方法,即；初等变换(E-A)diag ( ),d2( ), ,dn ()若不变因子di( )( i=1,2,，n )无重根则A可以对角化。例16判断矩阵A否可以相似对角化，其中r 3

33、2 -1A-2-2 236 -1 ,解：由题意知，0-3-21 、1- 2 九 - 3初等变换扎E -A =2扎+2-2-2扎+ 221 -3-6人+1g +1-6-3q00初等变换 、0Z - 22一 420_ (九%从上式可知不变因子为：1, - 2, - ( - 2)( 4),由于每个不变因子均无重根所以A可以对角化。因为(f(x),g(x)=(g(x),f(x)刈X) /_k /_k f g 计算f(x),g(x)的最大公因式(f(x),g(x)将f(x),g(x)做成两行一列的X-矩阵且(f(x) + q(x)g(x),g(x)=(f(x),g(x),所以对 X-矩阵 a 二 f (

34、x)施行初等行lg(x)丿变换不会改变两个多项式的最大公因式，因此可利用X-矩阵的初等变换方法求(f(x),g(x)。即：f (x)2(x)1一系列初等变换则(f(x),g(x)=d(x)例 17 设 f (x) = x4 一 2x34x 一3, g(x) = 2x3 一 5x24x 3,求(f(x),g(x)。解：由题意知f(x)X2x+ 4x 3一系列初等变换=32T2(x)丿(2x -5x -4x+3j2 -18一系列初等变换*兴-32TQx -14x+15,1 丿所以(f(x),g(x)=x 3上述方法可推广用于求多个多项式的最大公因式，若对常数矩阵限制不做第II种初等行变换，还可以用

35、矩阵的初等变换求多个整数的最大公因数。36西北第二民族学院学士学位论文结束语矩阵初等变换是高等代数中最重要的概念之一，它的内涵十分丰富。本文首 先介绍了矩阵初等变换的定义及其重要性质，然后结合实例介绍了矩阵初等变换 的若干应用，最后对矩阵的初等变换进行了合理的推广，包括对分块矩阵和-矩 阵的介绍和应用举例。除了大家熟悉的用初等变换求行列式的值 ，解线性方程组，求矩阵的秩，求 矩阵的逆，求二次型的标准形等，我们还可以利用矩阵初等变换的思想方法去解 决高等代数之外更深层次的一些问题。因此矩阵初等变换的理论将会在实际应用 中继续发展与完善。致谢本文是在信息与计算科学系魏暹荪教授的悉心指导下完成的，从

36、选题到搜集资料，以至整理和修改论文自始至终都凝聚着魏老师的心血。在这一过程中，魏老师渊博的学识，严谨的治学态度都给我留下了深刻的印象，成为我在大学最 后一学期的学习阶段学到的最宝贵的知识之一，将使我终身受益。魏老师在生活 上,学习上，思想上都给予了我极大的关怀和帮助，在传授我知识的同时，更注重 培养我解决问题的思路和方法及创新能力， 为我今后学习的和工作打下了坚实的 基础。在此我对魏老师的谆谆教诲表示衷心的感谢， 同时我也祝福母校明天会更 好！37西北第二民族学院学士学位论文参考文献1 北大数学系几何与代数小组高等代数M.北京：高等教育出版社，1988.2 张禾瑞，郝鈵新高等代数M.北京：高等教育出版社，1999.3 孟道骥.高等代数与解析几何M.北京：科学出版社，1998.4 P.M.Coh n.AlgebraM.Lo ndo n:Wiley,1977李志慧.矩阵的初等变换在线性代数中的应用J.陕西：陕西师范大学继续教育学报，2003, 12. 许必才.矩阵相似对角化的初等变换求解J.四川：西华大学学报，2005，03.7 李波.用矩阵初等变换解线性方程组J.河南:安阳大学学报，2003，09.8 马菊侠.矩阵的初等变换法求特征值及特征向量J.陕西：咸阳师范学院学报，2003，04.38