小题分项对点练

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1、小题分项对点练(六)内容涉及高中全部知识的创新题1.在R上定义运算“ ？ ”： x? y= (1 x)(1 + y).若不等式(x a)? (x+ a)1对任意的实数x都成立，则a的取值范围是()A . 1a1B . 2a031C. 0a2D . 2a2答案 B解析由题意知，(x a) ? (x+ a) = (1 x+ a)(1 + x+ a)= (1 + a)2 x2(1 + a)21恒成立，故只要(1 + a)2 10恒成立，即a2 + 2a0，解得2a0,2.已知符号函数sgn(x) = 0, x= 0,贝U函数f(x)= sgn(ln x) ln2x的零点个数为()、1, x1 时，I

2、n x0, sgn(In x)= 1,二 f(x) = 1 ln2x,令 f(x)= 0,得 x= e满足.当 x= 1 时，ln x= 0, sgn(ln x)= 0,二 f(x) = ln2x,令 f(x)= 0，得 x= 1 满足.当 0x1 时，ln x0, sgn(ln x)= 1,2 f(x) = 1 ln x0, cm 1) 是“成功函数”，贝U t的取值范围为()( 1A . (0,+s )B. m, 4C.+ mfa =号fb = i答案 D解析 无论c1还是0c0），则cx+ t= cx可化为t= m m2,问题进一步可转化为求函数y=t与y=m m2 （m0）的图象有两个

3、交点的问题，结合图形可得t 0, 4 .4.甲、乙两人玩猜数字游戏， 先由甲心中想一个数字， 记为a,再由乙猜甲刚才所想的数字， 把乙猜的数字记为 b,其中a, b 1,2,3,4,5,6，若|a b|w 1，就称甲、乙“心有灵犀” 现 任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为（ ）1274A.9 B.9 C不 D.9答案 D解析任意找两人玩这个游戏，共有6X 6= 36种猜字结果，其中满足|a b| 1的有如下情形：若 a= 1,贝U b= 1,2;若 a= 2,贝U b= 1,2,3;若 a = 3,贝U b= 2,3,4;若 a= 4，则 b = 3,4,5;若a= 5，贝U b

4、= 4,5,6;若a = 6，则b= 5,6，总共16种，故他们 “心有灵犀 的概率为P = 16=食3695 .设A1, A2, A3,A4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若AjA3=知人2（入 R）, A1A4= MA1A21 1（让R），且1 +丄=2，则称A3, A4调和分割A1 , A?,已知平面上的点 C, D调和分割点A, B, 入 3则下面说法正确的是（）A . C可能是线段AB的中点B . D可能是线段AB的中点C . C, D可能同时在线段 AB上D . C, D不可能同时在线段 AB的延长线上答案 D解析 依题意，若c, d调和分割点a, b,则有Ac = A, Ad

5、= 3b，且1+ = 2若c是线 入 3A不对,f 1 f1111段AB的中点，则有ac=丹，此时匸-又寸；=2，所以；=o,不可能成立.因此 同理B不对.999911当C, D同时在线段 AB上时，由AC = ；AB, AD =(AB知0V & 1,0V卩2, 入 31 1 与已知条件二+-= 2矛盾，因此C不对.人 3.1 1若C, D同时在线段 AB的延长线上，则AC = ；AB时，心1, AD = AB时，3 1,此时1 +丄 f(x)，则称f(x)为M上的I高调函数.如果定义域为 R的函数f(x)是奇函数，当x 0时， f(x) = |x a2| a2 ,且f(x)为R上的4高调函数

6、，那么实数 a的取值范围是()A . 1 a 1B . 0a1C. 2a2D . 2 a2答案 Ax, 0 0时，函数f(x) =5由于函数f(x)是奇函数，所以函数y= f(x)x 2a , x a .的图象大致如图所示，根据函数图象的平移变换法则可得函数y= f(x+ 4)的图象，大致如图所示.如果在R上，f(x+ 4) f(x)恒成立，必须且只需4+ 2a2w 2a2(横轴上的截距)，即a2 1,解得1 w a w 1特例排除法也可解此题.8. 在平面直角坐标系中，定义d(P, Q) = |xi X2|+ |yi y2|为两点P(xi, yi), Q(X2, y2)之间的“折线距离” 在

7、这个定义下，给出下列命题： 到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个正方形； 到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个圆； 到M( 1,0), N(1,0)两点的“折线距离”相等的点的轨迹方程是x= 0; 到M( 1,0), N(1,0)两点的“折线距离”差的绝对值为1的点的集合是两条平行线.其中真命题有()A . 1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个答案 C解析 设到原点的“折线距离”为1的点为(x, y)，则x+b 1时，不成立，当xw 1时也不成立，只有当一 1x0)上异于一条直径两个端点的任意一点与这条直径两个端点连线的斜率存 2在，则这两条直线的斜率乘积为定值一1写出该

8、定理在有心曲线 + y = 1(m0)中的推广：m n 3x + 4与g(x) = 2x+ m在0,3上是关联函数”，则 m的取值范围是9- 4解析 f(x)= x 3x+ 4为开口向上的抛物线，g(x) = 2x+ m是斜率k= 2的直线，可先求出g(x)=2x+ m 与 f(x) = x2 3x+ 4 相切时的 m 值.由f (x)= 2x 3= 2得切点为2, 11，此时m= ”，因此f(x) = x2 3x+ 4的图象与g(x)=92x+ m的图象有两个交点，只需将g(x)= 2x 4向上平移即可.再考虑区间0,3，可得点(3,4)为f(x)= x2 3x+ 4图象上最右边的点，此时m

9、= 2,所以m -4，- 2 .13. 在数列an中，如果对任意 n N*都有 时2 *+1 = k(k为常数)，则称数列an为等差比an+ 1 an数列，k称为公差比.现给出下列命题： 等差比数列的公差比一定不为零； 等差数列一定是等差比数列； 若an = 3n+ 2,则数列an是等差比数列； 若等比数列是等差比数列，则其公比等于公差比.其中正确命题的序号为 .答案解析 若k= 0, an为常数列，分母无意义，正确；公差为零的等差数列不是等差比数列，错误；an+ 2 an+12 2答案 如果曲线+ = 1（mn 0）上异于一条直径两个端点的任意一点与这条直径两个端点m n的连线斜率存在，则这

10、两条直线的斜率乘积为定值-解析设直径两端点分别为A(xi, yi), B( xi， yi), C(xo, yo)为曲线上异于A, B的任意一点，则yo yi yo+ yikAckBc= ，由于点A、C在曲线上，所以X0 Xi xo+ Xi两式相减得yo yi yo + yixo xi xo + xin m.i5.（20i3四川）设Pi, P2,，Pn为平面a内的n个点，在平面 a内的所有点中，若点 P到 点Pi, P2，Pn的距离之和最小，则称点 P为点Pi, P2,，Pn的一个“中位点” 例 如，线段AB上的任意点都是端点 A、B的中位点.现有下列命题： 若三个点 A, B, C共线，C在线

11、段AB上，贝U C是A, B, C的中位点； 直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点； 若四个点A, B, C, D共线，则它们的中位点存在且唯一； 梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点.其中的真命题是 .（写出所有真命题的序号）答案解析|CA|+ |CB| |AB|,当且仅当点C在线段AB上时等号成立，即三个点A, B, C共线，点C在线段AB 上,点C是A, B, C的中位点，故是真命题.如图 ，在Rt ABC中，/ C = 90 P是AB的中点，CH丄AB，点P, H不重合，则|PC|HC|.又 |HA|+ |HB|= |PA|+ |PB|= |AB|, |HA|+ |HB|+ |HC|PA |+ |PB|+ |PC|,点P不是点A, B, C的中位点，故 是假命题.如图，A, B, C, D是数轴上的四个点，若 P点在线段 BC上，则|PA|+ |PB|+ |PC|+ |PD| =|AD|+ |BC|，由中位点的定义及 可知，点P是点A, B, C, D的中位点.显然点 P有无 数个，故是假命题.如图，由可知，若点P是点A, C的中位点，则点 P在线段AC上, 若点P是点B, D的中位点，则点P在线段BD上，若点P是点A, B,C, D的中位点，贝U P是AC, BD的交点，梯形对角线的交点是梯形四个顶点的唯一中位点，故 是真命题.