第二章连续小波变换

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1、2.2 连续小波变换的概念与性质2.2. l连续小波变换的概念将任意空间中的函数在小波基下进行展开，称这种展开为函数的连续小波变换（CWT），其表达式为 （2.9）由CWT定义可知，小波变换与傅里叶变换的相同之处：（1） 一种积分变换。（2） 称为小波变换系数。小波变换与傅里叶变换的不同之处：（1） 小波基具有尺度和平移两个参数。（2） 函数在小波基下展开，意味着将一个时间函数投影到二维的时间尺度相平面上。由于小波基本身所具有的特点，将函数投影到小波变换域后，有利于提取函数的某些本质特征。从时频分析角度来看，小波变换具有如下特点：若令则CWT可视作STFT。CWT：任意函数在某一尺度、平移点上

2、的小波变换系数，实质上表征的是在位置处，时间段上包含在中心频率为、带宽为频窗内的频率分量大小。随着尺度的变化，对应窗口中心频率、窗口宽度也发生变化（根据式（2.6），（2.7）。STFT：窗口固定不变（即不随的变化而变化）。二者不同之处：CWT是一种变分辨率的时频联合分析方法。低频（大尺度），对应大时窗；高频（小尺度），对应小时窗。举例说明。信号，在不同时窗下的STFT和CWT的展开系数图，如图2.1所示。与傅里叶基不同，尺度和位移均连续变化的连续小波基函数形成了一组非正交的过度完全基。这意味着其任意函数的小波展开系数之间有一个相关关系。若用描述两个基函数和的相关度的大小，则 （2.11）表征

3、了连续尺度、时移半平面(由于所以称半平面)的两个不同点之间的CWT系数的相关关系，也称它为再生核或重建核（再生和重建的含义是指由尺度平移相平面上的已知点，根据再生核公式可再生和重构出某一点），其结构取决于小波选取。图2.12.2.2 连续小波变换的一些性质连续小波变换是一种线性变换，它具有以下几方面的性质：（1）叠加性 设空间，为任意常数，且的CWT为，且的CWT为，则的CWT为 （2.12）（2）时移不变性设的CWT为，则的CWT为，即延时后的信号的的小波系数可将原信号的小波系数在轴上进行同样时移得到。（3）尺度转换（伸缩共变性）设的CWT为，则的CWT为 （2.13）此性质表明，当信号在时

4、域作某一倍数的伸缩时，其小波变换在轴上也作同一倍数的伸缩，形状不变。（4）内积定理设空间，它们的CWT分别为，即 则有Moyal定理： （2.14）其中证明 由傅里叶积分的乘积定理可知则有 （2.15） （2.16）由小波函数定义，则有 （2.17） （2.18）将式（2.18）代入式（2.15），（2.16），再将式（2.15），（2.16）代入式（2.14），并化简。且 则式（2.14） 左边= =因为又由于小波函数满足可容许性条件（即中括号内的积分值存在），其一般情况下我们取，所以可容许性条件改为则式（2.14）左边最后成为左边=内积定理得证。 由上述定理的证明过程得知，内积定理的成立是

5、以为条件的。当时，由Moyal公式可推出： （2.19） 由于小波变换幅度平方的积分同信号的能量成正比，我们又称式（2.14）为能量关系。（5）自相关性：对应不同尺度参数a和不同平移参数b的连续小波变换之间是自相关的。（6）冗余性：连续小波变换把一维信号变换到二维空间，因此在连续小波变换中存在信息表述的冗余度(redundancy)。小波变换的逆变换公式不是唯一的。2.3 连续小波变换的逆变换2.3.1 连续小波变换的逆变换（ICWT）任何变换都必须存在逆变换（反变换）才有实际意义。对小波变换而言，我们可证明，若采用的小波满足可容许性条件（公式2.1），则其逆变换存在。即根据信号的小波变换系数

6、可以精确的恢复原信号，并满足下述连续小波变换的逆变换公式： （2.20）其中，对提出的容许条件。证明 令，则根据函数的采样特性 并由小波函数的内积定理式（2.14）： = = = = （2.21）也即逆变换公式得证。2.3.2 重建核方程（再生核方程） 尺度及位移均连续变化的连续小波基是一种过度完全基，再生核公式（2.11）描述了连续半平面（其中）上的两个不同点和之间的CWT系数的相关关系。实际上这个再生核度量了每个小波基函数的空间和尺度的选择性。因此，某些情况下我们可以根据重建核的结构来选择最适合于给定问题的小波基。由于任意信号小波变换的值在半平面上是相关的，因此某一点处的小波变换值可以表示

7、成半平面上其他各处小波变换系数的总贡献，即 （2.22）式（2.22）称为重建核方程。证明 由小波变换的定义式及其逆变公式有 （2.23） （2.24）将式（2.24）代入式（2.23）得证毕。由重建核方程可知：（1） 任意一个随机信号，其连续小波变换系数在小波相平面上都有一定的相关关系。相关区域的大小由再生核给出。随着尺度的减小，其相关区域减小，如图2.9-2.11所示，这说明连续小波变换是一种冗余度很高的基。（2） 由重建核方程可知，任意函数的小波变换系数在域都必须满足重建核方程。因此，并不是域的任意函数都可看作是某一函数的小波变换系数。2.4 几种常用的连续小波基函数与常用信号的连续小波

8、变换与标准傅里叶变换相比，小波分析中所用到的小波函数具有不唯一性，即小波函数具有多样性。但小波分析在工程应用中的一个十分重要的问题是最优小波基的选择问题，这是因为用不同的小波基分析同一个问题会产生不同的结果。目前，主要是通过用小波分析方法处理信号的结果与理论结果的误差来判定小波基的好坏，并由此选定小波基。根据不同的标准，小波函数具有不同的类型，这些标准通常有：(1)、和的支撑长度。即当时间或频率趋向无穷大时，、和从一个有限值收敛到0的速度。(2)对称性。它在图像处理中对于避免移相是非常有用的。(3) 和（如果存在的情况下)的消失矩阶数。它对于压缩是非常有用的。 (4)正则性。它对信号或图像的重

9、构获得较好的平滑效果是非常有用的。但在众多小波基函数(也称核函数)的家族中，有一些小波函数被实践证明是非常有用的。我们可以通过waveinfo函数获得工具箱中的小波函数的主要性质，小波函数和尺度函数可以通过wavefun函数计算，滤波器可以通过wfilters函数产生。在本节中，我们主要介绍一下MATLAB中常用到的小波函数。2.4.1 几种常用的连续小波基函数（1）Haar小波Haar函数是在小波分析中最早用到的一个具有紧支撑的正交小波函数，同时也是最简单的一个函数，它是非连续的，类似一个阶梯函数。Haar函数与下面将要介绍的db1小波函数是一样的。Haar函数的定义为图2.2尺度函数为在M

10、ATLAB中，可以输入命令waveinfo(haar)获得Haar函数的一些主要性质。如图2.2所示。 （2）Daubechies(dbN)小波系Daubechies函数是由世界著名的小波分析学者Ingrid Daubechies构造的小波函数，除了db1(即haar小波)外，其他小波没有明确的表达式，但转换函数h的平方模是很明确的。dbN函数是紧支撑标准正交小波，它的出现使离散小波分析成为可能。假设 ，其中，为二项式的系数，则有其中，几个结论：1） 小波函数和尺度函数的有效支撑长度为2N1，小波函数的消失矩阶数为N。2） 大多数dbN不具有对称性，对于有些小波函数，不对称性是非常明显的。3）

11、 正则性随着序号N的增加而增加。4） 函数具有正交性。我们画出db4和db8小波的尺度函数、小波函数、分解滤波器和重构滤波器的图形，如图2.3所示。Daubechies小波函数提供了比Haar组更有效的分析和综合。Daubechies系中的小波基记为dbN，N为序号，且N1，2，10。在MATLAB中，可以输入命令waveinfo(db)获得Daubechies函数的一些主要性质。图2.3（3）Biorthogonal(biorNr.Nd)小波系Biorthogonal函数系的主要特性体现在具有线性相位性，它主要应用在信号与图像的重构中，通常的用法是采用一个函数进行分解，用另外一个小波函数进行

12、重构。众所周知，如果使用同一个滤波器进行分解和重构，对称性和重构的精确性将成为一对矛盾，而采用两个函数，将有效地解决这个问题。设函数用于信号分解，而函数用于信号重构，则分解和重构的关系式为其中，另外，与之间具有二元性这样，利用函数的特性，在信号分解时可以获得一些很好的分解性质(如振动、零力矩)，而利用的特性，在信号重构时又可获得一些很好的重构性质(如正则性)。Biorthogonal函数系通常表示成biorNr.Nd的形式：Nr1Nd1，3，5Nr2 Nd2，4，6，8Nr3 Nd1，3，5，7，9Nr4 Nd4Nr5 Nd5Nr6 Nd8其中，r表示重构(Reconstruction)；d表

13、示分解(Decomposition)。我们画出bior2.4和bior4.4小波(分别用于分解与重构)的尺度函数、小波函数、分解滤波器和重构滤波器的图形，如图2.4所示。在MATLAB中，可输入命令waveinfo(bior)获得该函数的主要性质。图2.4（4）Coiflet(coifN)小波系Coiflet函数也是由Daubechies构造的一个小波函数，它具有coifN(N1，2，3，4，5)这一系列。Coiflet具有比dbN更好的对称性。从支撑长度的角度看，coifN具有和db3N和sym3N相同的支撑长度；从消失矩的数目来看，coifN具有和db2N和sym2N相同的消失矩数目。在这

14、里，我们画出coif3和coif5小波的尺度函数、小波函数、分解滤波器和重构滤波器的图形，如图2.5所示。在MATLAB中，可输入命令waveinfo(coif )获得该函数的主要性质。图2.5（5）Morlet 小波Morlet小波是一种单频复正弦调制高斯波，也是最常用的复值小波，它的时域、频域形式如下：时域 频域 Morlet小波的时域、如图2.6（a），（b）所示。注意：此小波不满足可容许性条件，因为，不过当时，我们认为，近似满足容许性条件。图2.6Morlet小波是一种复数小波，其时频域都有很好的局部性，常用于复数信号的分解及时频分析中。Morlet小波在推广到n维时具有很好的角度选择

15、性。由于它的尺度函数不存在，因此分析不具有正交性。（6）Marr小波（Mexcian hat）Marr小波的形状好似墨西哥草帽，因此有时也称它为墨西哥草帽（Mexcian hat function）小波，如图2.7所示。它的时域、频域形式如下：时域 频域 ，Marr小波为高斯函数的二阶导数，在处，有二阶零点，在时、频域同时具有很好的局部性。由于它的尺度函数不存在，因此分析不具有正交性。图2.7（7）DOG（Difference of Gaussian）小波DOG小波是两个尺度相差一倍的高斯函数之差，其波形如图2.7所示。它的时域公式如下：在处，它的傅里叶变换有二阶零点 （7）Meyer函数Me

16、yer小波的小波函数y和尺度函数f都是在频域中进行定义的，是具有紧支撑的正交小波。其中，v(a)为构造Meyer小波的辅助函数，且有v(a)a4(3584a70a220a3)a0，1在MATLAB中，可输入waveinfo(meyr)获得该函数的主要性质，如图2.8所示。 图2.8 （8）Battle-Lemarie小波Battle-Lemarie小波在MATLAB工具箱中不存在，但它也是我们常用到的一个小波函数。它具有两种形式，一种具有确定的正交性，一种不具有确定的正交性。当N1时，尺度函数是线性样条函数；当N2时，尺度函数是具有有限支撑的B-样条函数。更一般的情况，对于一个N次B样条小波，

17、尺度函数为当N为奇数时，k0；当N为偶数时，k1。上式可以用来构造滤波器。它的双尺度关系为当N为偶数时，是对称的，x1/2；当N为奇数时，是反对称的，x0。表1-1MATLAB工具箱中15个小波(或小波系)的主要性质2.4.2 几种常用信号的连续小波变换下面给出几种常用信号的小波变换：（1）函数的连续小波变换（2）正弦函数的连续小波变换（3） 白噪声的连续小波变换2.5 连续小波变换的应用举例MATLAB函数：（1） scal2frq函数：尺度转换为频率函数%设置小波函数、时间间隔和采样点数wname=morl;A=0;B=64;P=500;%计算采样周期和采样函数及真实频率t=linspac

18、e(A,B,P);delta=(B-A)/(P-1);tab_OMEGA=5,2,1;tab_FREQ=tab_OMEGA/(2*pi);tab_COEFS=5,3,2;x=zeros(1,P);for k=1:3 x=x+tab_COEFS(k)*sin(tab_OMEGA(k)*t);end%设置尺度并且使用scalfrq函数计算准频率序列scales=1:1:60;tab_PF=scal2frq(scales,wname,delta);%计算最近似的准周期和相应频率for k=1:3 dummy,ind=min(abs(tab_PF-tab_FREQ(k); PF_app(k)=tab_

19、PF(ind); SC_app(k)=scales(ind);end%进行连续分解并绘图str1=strvcat(500 samples of x=5*sin(5t)+3*sin(2t)+2*sin(t) on 0,64真实频率（Hz）:5 2 1/(2*pi)=,num2str(tab_FREQ,3)str2=准周期函数组和尺度： ;str3=num2str(tab_PF,scales,3);str4=准频率=,num2str(PF_app,3);str5=对应尺度=,num2str(SC_app,3);figure;cwt(x,scales,wname,plot);ax=gca;color

20、baraxTITL=get(ax,title);axXLAB=get(ax,xlabel);set(axTITL,String,str1)set(axXLAB,String,str4, - ,str5)clcdisp(strvcat(,str1,str3,str4,str5)（2）wfilters函数：小波滤波器格式1：Lo_D,Hi_D,Lo_R,Gi_R=wfilters(wname);计算正交小波或双正交小波wname相关的4个滤波器。格式2：F1,F2=wfilters(wname,type)Type: d,r,l,h%设置小波名称wname=db5;%计算该小波的4个滤波器组Lo_D

21、,Hi_D,Lo_R,Gi_R=wfilters(wname);subplot(221);stem(Lo_D);title(分解低通滤波器);subplot(222);stem(Hi_D);title(分解高通滤波器);subplot(223);stem(Lo_R);title(重构低通滤波器);subplot(224);stem(Gi_R);title(重构高通滤波器);（3）画尺度函数和小波函数%设置有效支撑和网格参数lb=-8;ub=8;n=1024;%计算并画出Meyer小波和尺度函数phi,psi,x=meyer(lb,ub,n);subplot(211);plot(x,psi);t

22、itle(Meyer 小波)subplot(212);plot(x,psi);title(Meyer 尺度函数)CWT的变换过程1. 把小波(t)和原始信号f(t)的开始部分进行比较2. 计算系数c 。该系数表示该部分信号与小波的近似程度。系数 c 的值越高表示信号与小波越相似，因此系数c 可以反映这种波形的相关程度3. 把小波向右移，距离为k，得到的小波函数为(t-k)，然后重复步骤1和2。再把小波向右移，得到小波(t-2k)，重复步骤1和2。按上述步骤一直进行下去，直到信号f(t)结束4. 扩展小波(t)，例如扩展一倍，得到的小波函数为(t/2)5. 重复步骤14CWT的变换过程图示CWT

23、小结小波的缩放因子与信号频率之间的关系可以这样来理解。缩放因子小，表示小波比较窄，度量的是信号细节，表示频率w 比较高；相反，缩放因子大，表示小波比较宽，度量的是信号的粗糙程度，表示频率w 比较低。例题：装载vonkoch信号并进行连续小波变换%装载vonkoch信号load vonkochvonkoch=vonkoch(1:510);lv=length(vonkoch);subplot(311),plot(vonkoch);title(被分析信号);set(gca,Xlim,0 510)%执行离散5层sym2小波变换%层数1：5分别对应尺度2，4，8，16and32c,l=wavedec(v

24、onkoch,5,sym2);%扩散离散小波系数进行画图%层数15分别对应尺度2，4，8，16and32cfd=zeros(5,lv);for k=1:5 d=detcoef(c,l,k); d=d(ones(1,2k),:); cfd(k,:)=wkeep(d(:),lv)endcfd=cfd(:);I=find(abs(cfd)sqrt(eps);cfd(I)=zeros(size(I);cfd=reshape(cfd,5,lv);%画出离散系数subplot(312),colormap(pink(64);img=image(flipud(wcodemat(cfd,64,row);set(set(img,parent),YtickLabel,);title(离散变换，系数绝对值。);ylabel(层数);subplot(313);%执行连续小波是sym2变换尺度1：32ccfs=cwt(vonkoch,1:32,sym2,plot);title(离散变换，系数绝对值。);colormapylabel(尺度);