人教版 高中数学【选修 21】优化练习：第二章2.42.4.1抛物线及其标准方程

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1、2019年编人教版高中数学课时作业A组基础巩固1经过点(2,4)的抛物线的标准方程为()Ay28x Bx2yCy28x或x2y D无法确定解析：由题设知抛物线开口向右或开口向上，设其方程为y22px(p0)或x22py(p0)，将点(2,4)代入可得p4或p，所以所求抛物线标准方程为y28x或x2y，故选C.答案：C2已知抛物线C：y2x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|x0，则x0()A1 B2C4 D8解析：由题意知抛物线的准线为x.因为|AF|x0，根据抛物线的定义可得x0|AF|x0，解得x01，故选A.答案：A3若动点M(x，y)到点F(4,0)的距离等于它到直线x40

2、的距离，则M点的轨迹方程是()Ax40 Bx40Cy28x Dy216x解析：根据抛物线定义可知，M点的轨迹是以F为焦点，以直线x4为准线的抛物线，p8，其轨迹方程为y216x，故选D.答案：D4已知双曲线C1：1(a0，b0)的离心率为2.若抛物线C2：x22py(p0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为()Ax2y Bx2yCx28y Dx216y解析：抛物线的焦点，双曲线的渐近线为yx，不妨取yx，即bxay0，焦点到渐近线的距离为2，即ap44c，所以，双曲线的离心率为2，所以2，所以p8，所以抛物线方程为x216y.故选D.答案：D5如图，设抛物线y24x的焦

3、点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则BCF与ACF的面积之比是()A. B.C. D.解析：由图形可知，BCF与ACF有公共的顶点F，且A，B，C三点共线，易知BCF与ACF的面积之比就等于.由抛物线方程知焦点F(1,0)，作准线l，则l的方程为x1.点A，B在抛物线上，过A，B分别作AK，BH与准线垂直，垂足分别为点K，H，且与y轴分别交于点N，M.由抛物线定义，得|BM|BF|1，|AN|AF|1.在CAN中，BMAN，.答案：A6已知抛物线y22px(p0)的准线与圆x2y26x70相切，则p的值为_解析：依题意得，直线x与圆(x3

4、)2y216相切，因此圆心(3,0)到直线x的距离等于半径4，于是有34，即p2.答案：27设抛物线y22px(p0)的焦点为F，定点A(0,2)若线段FA的中点B在抛物线上，则B到该抛物线准线的距离为_解析：抛物线的焦点F的坐标为，线段FA的中点B的坐标为，代入抛物线方程得12p，解得p，故点B的坐标为，故点B到该抛物线准线的距离为.答案：8对于抛物线y24x上任意一点Q，点P(a,0)都满足|PQ|a|，则a的取值范围是_解析：设Q(x0，20)(x00)，则|PQ|a|对x00恒成立，即(x0a)24x0a2对x0恒成立化简得x(42a)x00.当42a0时，对x00，x(42a)x00

5、恒成立，此时a2；当42a0时，0x02a4时不合题意答案：(，29已知圆A：(x2)2y21与定直线l：x1，且动圆P和圆A外切并与直线l相切，求动圆的圆心P的轨迹方程解析：如图，作PK垂直于直线x1，垂足为K，PQ垂直于直线x2，垂足为Q，则|KQ|1，|PQ|r1，又|AP|r1.|AP|PQ|.故点P到圆心A(2,0)的距离和到定直线x2的距离相等点P的轨迹为抛物线，A(2,0)为焦点直线x2为准线2.p4.点P的轨迹方程为y28x.10.如图所示，花坛水池中央有一喷泉，水管OP1 m，水从喷头P喷出后呈抛物线状，先向上至最高点后落下，若最高点距水面2 m，P距抛物线的对称轴1 m，则

6、水池的直径至少应设计为多少米？(精确到整数位)解析：如图所示，建立平面直角坐标系，设抛物线方程为x22py(p0)，依题意有P(1，1)，在此抛物线上，代入得p，故得抛物线方程为x2y.又因为B点在抛物线上，将B(x，2)代入抛物线方程得x，即|AB|，则水池半径应为|AB|11，因此所求水池的直径为2(1)，约为5 m，即水池的直径至少应设计为5 m.B组能力提升1已知抛物线y22px(p0)的焦点为F，点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)在抛物线上，且2x2x1x3，则有()A|FP1|FP2|FP3|B|FP1|2|FP2|2|FP3|2C2|FP2|FP1|FP

7、3|D|FP2|2|FP1|FP3|解析：|FP1|x1，|FP2|x2，|FP3|x3，2x2x1x3，2|FP2|FP1| FP3|.答案：C2已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M(2，y0)若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|等于()A2 B2 C4 D2解析：设抛物线方程为y22px(p0)，则焦点坐标为，准线方程为x，M在抛物线上，M到焦点的距离等于到准线的距离，即23，p2，抛物线方程为y24x，M(2，y0)在抛物线上，y8，|OM|2.答案：B3已知抛物线y22px(p0)上一点M(1，m)(m0)到其焦点的距离为5，双曲线y21的左顶点为A.若双曲

8、线的一条渐近线与直线AM平行，则实数a等于_解析：由抛物线定义知15，p8，抛物线方程为y216x，m216，m4，即M(1,4)，又A(，0)，双曲线渐近线方程为y x，由题意知，a.答案：4如图，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a，b(ab)，原点O为AD的中点，抛物线y22px(p0)经过C，F两点，则_.解析：正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a，b，O为AD的中点，C，F.又点C，F在抛物线y22px(p0)上，解得1.答案：15已知抛物线y2x与直线yk(x1)相交于A，B两点(1)求证：OAOB；(2)当OAB的面积等于时，求k的值解析：(1)证明：设A(y，y

9、1)，B(y，y2)则y1k(y1)，y2k(y1)，消去k得y1(1y)y2(1y)(y2y1)y1y2(y1y2)，又y1y2，y1y21，y1y2yyy1y2(1y1y2)0，OAOB.(2)SOAB1|y2y1|，由得ky2yk0，SOAB1|y2y1|，k.6已知抛物线y22px(p0)试问：(1)在抛物线上是否存在点P，使得点P到焦点F的距离与点P到y轴的距离相等？(2)在抛物线上是否存在点P，使得点P到x轴的距离与点P到准线的距离相等？解析：(1)假设在抛物线上存在点P，使得点P到焦点F的距离与点P到y轴的距离相等那么根据抛物线定义，得点P到准线的距离与点P到y轴的距离相等，这显然是不可能的所以在抛物线上不存在点P，使得点P到焦点F的距离与点P到y轴的距离相等(2)假设在抛物线上存在点P，使得点P到x轴的距离与点P到准线的距离相等，则由抛物线定义，得点P到x轴的距离与点P到焦点的距离相等这样的点是存在的，有两个，即当PF与x轴垂直时，满足条件.