(word完整版)高一数学寒假课程第4讲-基本初等函数

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1、寒假课程高一数学5 5幕函数1第四讲基本初等函数、知识梳理1 1指数与对数的概念ab= N Nb logaN(a0 0, 2 2指数与对数的性质指数运算性质（注） 上述性质对sR R 均适用. .对数运算性质推广：logamMn logaM mlogbN换底公式：logaN -（a,b 0 0,a1 1,b1 1）logba3 3指数函数、对数函数的概念形如y=ax（a 0 0 且a工1 x 0 0）叫做指数函数（exponentialexponential functionfunction ）,其中x是自变量，函数的定义域为 R.R.形如y=logax（a0 0 且a工1,x0 0）的函数，

2、叫做对数函数（logarithmiclogarithmic functionfunction ）. .（1 1） 指数函数、对数函数的定义是一个形式定义，注意指数函数与幕函数的区别；（2 2） 注意底数的取值范围. .4 4指数函数、对数函数的图像和性质（略）r sa (a 0,r、sQ Q），（ar）sars(a 0, r、sQ Q），(a b)rarbr(a0,b0,rQ Q)loglogaMN= loglogaMlogaN M一logloga亓logaMlogaNlogaMnnlogaM(M M、N N0,0,a0,0,a1 1)寒假课程高一数学2（1 1） 幕函数定义：一般地，形如yX

3、 （ R）的函数称为幕函数，其中 为常数. .（2 2） 幕函数性质：1所有的幕函数在（0 0, + +R）都有定义并且图象都过点（1 1, 1 1）;20时，幕函数的图象通过原点，并且在区间0,）上是增函数特别地，当1时，幕函数的图象下凸；当01时，幕函数的图象上凸；30时，幕函数的图象在区间（0,）上是减函数在第一象限内，当x从右边趋向原点时， 图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于 时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴. .二、方法归纳1 1解决与对数函数有关的问题，要特别重视定义域；2 2指数函数、对数函数的单调性决定于底数大于1 1 还是小于 1 1，要注意对底数的讨论；3

4、3比较几个数（幕或对数值）的大小的常用方法有：以0和1为桥梁；利用函数的单调性；作差 4 4指数函数与对数函数中的绝大部分问题是指数函数与对数函数与其他函数的复合问题，讨论复合函数的 单调性是解决问题的重要途径三、典型例题精讲1 1323）3【例 1 1】比较下列各数的大小：log20.35, lg 25, lg15, 255又例: :比较下列各组数的大小：(1 1)60.7,0.76,log0.76；(2 2)log1.10.7,log1.20.7寒假课程高一数学3再例：当OV a VbV1 1,下列不等式正确的有()iA.A.1 abbbabC.C.1 a1 a2D.D.1 a1 b技巧提

5、示：禾U用指数函数、对数函数、幕函数的单调性，同时充分利用0和1为桥梁，能使比较大小的问题得到解决【例 2 2】已知函数y=a2x2ax1(a 0 0,a工1)在区间1 1, 1 1上的最大值为 1414,求a的值技巧提示：指数函数与二次函数的复合函数，讨论复合函数的单调性是解决问题的重要途径又例：已知f(x)=log4(2x 3 x2). .求(1)f (x)的单调区间；(2)求函数f (x)的最大值及对应的x的值aB.B.1 a寒假课程高一数学4【例 3 3】函数y1 12X1V3的定义域是()1A.A.2，)B.B.(，2】C.C.(,)D.D.(,1通过解简单的指数不等式得到所求定义域

6、同样，可以充分利用对数函数的单调性，通过解简单的对数不等式得到某些问题的解再例：解不等式log,(a2x2(ab)xb2x1) 0(a0 0,b0 0)2【例 4 4】函数y log,( x22x)的单调递增区间是_ .2技巧提示：对于复合函数的单调性，一要注意在定义域内研究问题；二是对组成复合函数的每一个函 数的单调性作出判断；最后根据复合函数的单调性原则做出结论技巧提示：这里充分利用指数函数的单调性,又例：若也21，则a的取值范围是寒假课程高一数学5f( x) f (x)f(x)1(f(x)切，f(x)f(x)f( x) f(x)如本题可另证如下：1(f(x)丸)f( x)f(x)xa1x

7、1a1，即f ( x)=-f (x),所以函数f(x)xaxa是奇函数再例：已知a 0 0 且a丰丰1 1 函数f (x) logax在定义域2,32,3上的最大值比最小值大1 1，则a的值为_. .a 1【例 5 5】当a 1 1 时，证明函数f(x)=-是奇函数. .ax1技巧提示：对于指数形式的复合函数的奇偶性的证明，在判定f ( x)与f (x)关系时，也可采用如下等价证法. .又例：求函数yx23x 9的单调递减区间寒假课程高一数学6(1)试证明对于任意a,f(x)为增函数;(2)试确定a值，使f (x)为奇函数. .【例 6 6】已知 O Ov x v1 1,a 0 0,a1 1,

8、比较lOga(1 x)和lOga(1 X)的大小. .技巧提示：比较大小通常采取作差-变形-判定符号如果比较两个正数的大小时,形一与“ 1 1”比较的办法又例：设a是实数,f(x)=a-( (x xR R)亦可采取作商-变寒假课程高一数学7又例：解不等式log8(x3x 3) log2(x 1)寒假课程高一数学82 学穴教肓jtuedacom【例 7 7 】(1 1)已知log23 a,log37 b，用a,b表示log4256;(2 2)已知logxa 2,logxb 3, logxC 6,求logabcx的值. .技巧提示：掌握对数与指数的运算性质， 是本部分的基本要求尽管近几年高考中很少

9、直接考查对数与 指数的运算，但由于指数函数与对数函数几乎是必考内容，不能熟练的进行对数与指数的运算，会影响解 题技巧的把握，至少会影响解题速度. .又例：判断下列函数的奇偶性(2)g(x)=-ln(x x21). .x(1)(1)f(x)=葺2寒假课程高一数学9四、课后训练11 1. .已知log7log3(log2x)0，那么x2等于(1A.A.- -31B23B231C221D332 2函数y lg21的图像关于(1 xA.A.X轴对称B.B.y轴对称C.C.原点对称D.D.直线y x对称3 3. .函数ylog(2x 1r 3x 2的定义域是2A.A.,13U 1,B.B.1,2C.C.

10、,3D.D.2log1(x 6x 17)的值域是2A.A.RB.B.8,C.C.,3D.D.3,5 5. .下列函数中，在0,2上为增函数的是()A.ylog1(x 1)2B.B.ylog2X21C.C.yxD. ylog1(x24x 5)26.6.已知g(x) loga|x 1 |(a0,a1)在1,上有g(x) 0A.A.在,0上是增加的B.B. 在,0上是减少的C.C.在,1上是增加的D.D.在J1上是减少的4 4. .函数y)2x(a 1)是减函数，则实数af(x)的取值范围是7 7. .函数，则f (x) ax 1是( )8.8.计算Ig25lg2 lg50 4也39.9.已知f(X

11、)1 mxloga是奇函数(其中a 0,a 1)，x 1(1(1)求 m m 的值;0 住学穴教旨花少 xutdacom寒假课程高一数学10(2) 讨论f (x)的单调性；(3) 求f (x)的反函数f1(x);(4) 当f(x)定义域区间为(1,a2)时，f (x)的值域为(1,)，求a的值. .210.10.对于函数f (x) logi(x 2ax 3)，解答下述问题：2(1) 若函数的定义域为 R R，求实数 a a 的取值范围；(2) 若函数的值域为 R R，求实数 a a 的取值范围；(3) 若函数在1,)内有意义，求实数 a a 的取值范围；(4) 若函数的定义域为(，1) (3,)，求实数 a a 的值;(5) 若函数的值域为(，1，求实数 a a 的值；(6) 若函数在(，1内为增函数，求实数 a a 的取值范围. .