【最新教材】【人教A版】高中数学选修11同步辅导与检测 章末评估验收(二)

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1、新教材适用高中选修数学章末评估验收(二)(时间：时间：120 分钟分钟满分：满分：150 分分)一、选择题一、选择题(本大题共本大题共 12 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 60 分在每小分在每小题给出的四个选项中题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的只有一项是符合题目要求的)1双曲线双曲线 3x2y29 的实轴长是的实轴长是()A2 3B2 2C4 3D4 2解析：解析：因为因为 3x2y29，所以所以x23y291，所以所以 a 3，所以所以 2a2 3.答案：答案：A2抛物线抛物线 y24x 的焦点坐标是的焦点坐标是()A(0，2)B(0，1)C(2，0)D(1，0)解析：

2、解析：由由 y24x 知知 p2，故抛物线的焦点坐标为故抛物线的焦点坐标为(1，0)答案：答案：D3 已知椭圆已知椭圆x25y2m1(m0)的离心率的离心率 e105， 则则 m 的值为的值为()A3B.253或或 3C. 5D.5 153或或 15解析解析：由题意知由题意知 m0，当当 5m 时时，a 5，b m，c 5m，所以所以 eca5m5105，解得解得 m3；当当 5m 时时，a m，b 5，c m5，所以所以 ecam5m105，解得解得 m253.故选故选 B.答案：答案：B4已知曲线已知曲线x2ay2b1 和直线和直线 axby10(a，b 为非零实数为非零实数)，在同一坐标

3、系中在同一坐标系中，它们的大致图象可能为它们的大致图象可能为(如图所示如图所示)()解析：解析：若若 a0 且且 b0，则曲线表示椭圆则曲线表示椭圆，直线直线 axby10在在 x，y 轴上的截距分别为轴上的截距分别为1a，1b，均为小于零的数均为小于零的数，故故 A，B 选选项都不满足；若项都不满足；若 a0 且且 b0，则曲线表示双曲线则曲线表示双曲线，直线直线 axby10 在在 x， y 轴上的截距分别为轴上的截距分别为1a， 1b， 所以在所以在 x 轴上的截距小于轴上的截距小于 0，在在 y 轴上的截距大于轴上的截距大于 0.答案：答案：C5双曲线双曲线 x2y231 的焦点到渐近

4、线的距离为的焦点到渐近线的距离为()A1B. 3C3D4解析解析：依题意得依题意得，c2a2b2134，所以双曲线的右焦点坐所以双曲线的右焦点坐标是标是(2，0)，一条渐近线方程是一条渐近线方程是 y 3x，即即3xy0，因此焦点到因此焦点到渐近线的距离为渐近线的距离为2 3（ 3）21 3，故选故选 B.答案：答案：B6 已知抛物线已知抛物线 C： y2x 的焦点为的焦点为 F， A(x0， y0)是是 C 上一点上一点， |AF|54x0，则则 x0等于等于()A4B2C1D8解析：解析：如图所示如图所示，易知易知 F14，0，过过 A 作作 AA准线准线 l，则则|AF|AA|，所以所以

5、54x0 x0p2x014，所以所以 x01.答案：答案：C7若一个椭圆长轴的长度、若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等比数列，则短轴的长度和焦距成等比数列，则该椭圆的离心率是该椭圆的离心率是()A.1 52B.512C.1 52D.512解析：解析：依题意有依题意有(2b)22a2c，即即 4b24ac，所以所以 b2ac.又又 b2a2c2，所以所以 a2c2ac.两边同除以两边同除以 a2，得得 1ca2ca0.即有即有 e2e10，解得解得 e512或或 e 512(舍去舍去)答案：答案：B8已知圆已知圆 M：x2y22mx30(m0)的半径为的半径为 2，椭圆椭圆 C：x2a2

6、y231 的左焦点为的左焦点为 F(c，0)，若垂直于若垂直于 x 轴且经过轴且经过 F 点的直线点的直线 l与圆与圆 M 相切相切，则则 a 的值为的值为()A.34B1C2D4解析：解析：圆圆 M 的方程可化为的方程可化为(xm)2y23m2，则由题意得则由题意得 m234，即即 m21(m0)，所以所以 m1，则圆心则圆心 M 的坐标为的坐标为(1，0)由题意知直线由题意知直线 l 的方程为的方程为 xc，又因为直线又因为直线 l 与圆与圆 M 相切相切，所以所以 c1，所以所以 a231，所以，所以 a2.答案：答案：C9抛物线抛物线 yx2上的点到直线上的点到直线 4x3y80 的距

7、离的最小值的距离的最小值是是()A.43B.75C.85D3解析解析： 设与直线设与直线 4x3y80 平行的直线方程为平行的直线方程为 4x3yc0，与抛物线联立方程组得与抛物线联立方程组得4x3yc0，yx2，消去消去 y 得得 3x24xc0，(4)243(c)0，解得解得 c43，则抛物线与直线则抛物线与直线 4x3y80 平行的切线是平行的切线是 4x3y430，问题转化为平行线间的距离问题转化为平行线间的距离，利用两平行线间的距离公利用两平行线间的距离公式得式得 d|438|423243.答案：答案：A10已知点已知点 M(3，0)，N(3，0)，B(1，0)，动圆动圆 C 与直线

8、与直线 MN切于点切于点 B，过过 M，N 与圆与圆 C 相切的两直线相交于相切的两直线相交于 P 点点，则点则点 P 的轨的轨迹方程为迹方程为()Ax2y281(x1)Bx2y281(x1)Cx2y281(x0)Dx2y2101(x1)解析：解析：设圆与直线设圆与直线 PM，PN 分别相切于分别相切于 E，F，则则|PE|PF|，|ME|MB|，|NB|NF|.所以所以 |PM|PN|(|PE|ME|)(|PF|NF|)|MB|NB|422.所以点所以点 P 的轨迹是以的轨迹是以 M(3， 0)， N(3， 0)为焦点的双曲线右支为焦点的双曲线右支(去去掉掉 B 点点)，且且 a1，所以所以

9、 c3，b28，所以双曲线方程是所以双曲线方程是 x2y281(x1)答案：答案：A11若点若点 O 和点和点 F 分别为椭圆分别为椭圆x24y231 的中心和左焦点的中心和左焦点，点点 P为椭圆上的任意一点为椭圆上的任意一点，则则OPFP的最大值为的最大值为()A2B3C6D8解析解析：由椭圆方程得由椭圆方程得 F(1，0)，设设 P(x0，y0)，则则OPFP(x0，y0)(x01，y0)x20 x0y20.因为因为 P 为椭圆上一点为椭圆上一点，所以所以x204y2031.所以所以 OPFPx20 x031x204 x204x0314( (x02)22.因为因为2x02，所以所以 OPF

10、P的最大值在的最大值在 x02 时取得时取得，且最大值等于且最大值等于 6.答案：答案：C12已知已知 F1，F2是椭圆的两个焦点是椭圆的两个焦点，满足满足MF1MF20 的点的点 M总在椭圆内部总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是则椭圆离心率的取值范围是()A(0，1)B.0，12C.0，22D.22，1解析解析：由由MF1MF20 可知点可知点 M 在以线段在以线段 F1F2为直径的圆上为直径的圆上，要使点要使点 M 总在椭圆内部总在椭圆内部，只需只需 cb，即即 c2b2，c2a2c2，2c2a2，即即 e2c2a212.因为因为 0e1，所以所以 0eb0)的右焦点的右焦点，直线直线

11、 yb2与椭圆交于与椭圆交于 B，C 两点两点，且且BFC90，则该则该椭圆的离心率是椭圆的离心率是_解析：解析：将将 yb2代入椭圆的标准方程代入椭圆的标准方程，得得x2a2b24b21，所以所以 x32a，故故 B32a，b2 ，C32a，b2 .又因为又因为 F(c，0)，所以所以BFc32a，b2 ，CFc32a，b2 .因为因为BFC90，所以所以BFCF0，所以所以c32a c32ab220，即即 c234a214b20，将将 b2a2c2代入并化简代入并化简，得得 a232c2，所以所以 e2c2a223，所以所以 e63(负值负值舍去舍去)答案：答案：6316抛物线抛物线 y2

12、x 上存在两点关于直线上存在两点关于直线 ym(x3)对称对称，则则 m的范围是的范围是_解析解析：设抛物线上两点设抛物线上两点 A(x1，y1)，B(x2，y2)关于直线关于直线 ym(x3)对称对称，A，B 中点中点 M(x，y)，则当则当 m0 时时，有直线，有直线 y0，显然存在显然存在点关于它对称点关于它对称当当 m0 时时，y21x1，y22x2，y1y2x1x21y1y212y1m，所以所以 ym2，所以所以 M 的坐标为的坐标为(52，m2)，因为因为 M 在抛物线内在抛物线内，则有则有52(m2)2，得得 10m 10且且 m0，综上所述综上所述，m( 10， 10)答案：答

13、案：( 10， 10)三、解答题三、解答题(本大题共本大题共 6 小题小题，共共 70 分解答应写出文字说明分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤)17(本小题满分本小题满分 10 分分)已知抛物线已知抛物线 C：x24y 的焦点为的焦点为 F，椭椭圆圆E 的中心在原点的中心在原点，焦点在焦点在 x 轴上轴上，点点 F 是它的一个顶点是它的一个顶点，且其离心且其离心率率 e32.求椭圆求椭圆 E 的方程的方程解：解：因为椭圆焦点在因为椭圆焦点在 x 轴上轴上，所以设椭圆所以设椭圆 E 的方程为的方程为x2a2y2b21，半焦距为半焦距为 c(a0，b0，c0)由题意知由题意

14、知 F(0，1)为椭圆的短轴的上顶点为椭圆的短轴的上顶点，所以所以 b1，又由又由ca32，a2b2c2，得得 a2，c 3.所以椭圆所以椭圆 E 的方程为的方程为x24y21.18(本小题满分本小题满分 12 分分)如图如图，直线直线 l：yxb 与抛物线与抛物线 C：x24y 相切于点相切于点 A.(1)求实数求实数 b 的值；的值；(2)求以点求以点 A 为圆心为圆心，且与抛物线且与抛物线 C 的准线相切的圆的方程的准线相切的圆的方程解：解：(1)由由yxb，x24y得得 x24x4b0，(*)因为直线因为直线 l 与抛物线与抛物线 C 相切相切，所以所以(4)24(4b)0，解得解得

15、b1.(2)由由(1)可知可知 b1，故方程故方程(*)即为即为 x24x40，解得解得 x2，代入代入 x24y，得得 y1.故点故点 A(2，1)，因为圆因为圆 A 与抛物线与抛物线 C 的准线相切的准线相切，所以圆所以圆 A 的半径的半径 r 等于圆心等于圆心 A 与抛物线的准线与抛物线的准线 y1 的距离的距离，即即 r|1(1)|2，所以圆所以圆 A 的方程为的方程为(x2)2(y1)24.19(本小题满分本小题满分 12 分分)已知双曲线方程为已知双曲线方程为 x2y221，问：是否问：是否存在过点存在过点 M(1，1)的直线的直线 l，使得直线与双曲线交于使得直线与双曲线交于 P

16、，Q 两点，两点，且且M 是线段是线段 PQ 的中点？如果存在的中点？如果存在，求出直线的方程求出直线的方程，如果不存在如果不存在，请请说明理由说明理由解：解：显然显然 x1 不满足条件不满足条件，设设 l：y1k(x1)联立联立 y1k(x1)和和 x2y221，消去消去 y 得得(2k2)x2(2k22k)xk22k30，设设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由由0，得得 k32，x1x22（kk2）2k2，由由 M(1，1)为为 PQ 的中点的中点，得得x1x22kk22k21，解得解得 k2，这与这与 k32矛盾矛盾，所以不存在满足条件的直线所以不存在满足条件的直线 l.20(本小

17、题满分本小题满分 12 分分)已知椭圆已知椭圆 C1：x24y21，椭圆椭圆 C2以椭以椭圆圆C1的长轴为短轴的长轴为短轴，且与且与 C1有相同的离心率有相同的离心率(1)求椭圆求椭圆 C2的方程；的方程；(2)设设 O 为坐标原点为坐标原点， 点点 A， B 分别在椭圆分别在椭圆 C1和椭圆和椭圆 C2上上， OB2OA，求直线求直线 AB 的方程的方程解：解：(1)由已知可设由已知可设椭圆椭圆 C2的方程为的方程为y2a2x241(a2)，其离心率为其离心率为32，故故a24a32，则则 a4，故椭圆故椭圆 C2的方程为的方程为y216x241.(2)设设 A，B 两点的坐标分别为两点的坐

18、标分别为(xA，yA)，(xB，yB)，由由OB2 OA及及(1)知知，O，A，B 三点共线且点三点共线且点 A，B 不在不在 y 轴上轴上，因此可设直线因此可设直线 AB 的方程为的方程为 ykx.将将 ykx 代入代入x24y21 中中，得得(14k2)x24，所以所以 x2A414k2，将将 ykx 代入代入y216x241 中中，得得(4k2)x216，所以所以 x2B164k2，由由OB2 OA得得 x2B4x2A，即即164k21614k2，解得解得 k1，故直线故直线 AB 的方程为的方程为 yx 或或 yx.21 (本小题满分本小题满分 12 分分)点点 A， B 分别是椭圆分

19、别是椭圆x236y2201 长轴的左长轴的左、右端点右端点，点点 F 是椭圆的右焦点是椭圆的右焦点，点点 P 在椭圆上在椭圆上，且位于且位于 x 轴上方轴上方，PAPF.(1)求点求点 P 的坐标；的坐标；(2)设设 M 是椭圆长轴是椭圆长轴 AB 上的点上的点，M 到直线到直线 AP 的距离等于的距离等于 MB的长的长，求椭圆上的点到点求椭圆上的点到点 M 的距离的距离 d 的最小值的最小值解：解：(1)由已知可得点由已知可得点 A(6，0)，B(6，0)，F(4，0)设点设点 P 的坐标为的坐标为(x，y)，因为因为 PAPF，所以所以 kAPkPF1.故有方程组故有方程组x236y220

20、1，yx6yx41，则则 2x29x180，解得解得 x32或或 x6(舍去舍去)，所以所以 x32，由于由于 y0，故故 y5 32.所以所以 点点 P 的坐标是的坐标是32，5 32.(2)易知直线易知直线 AP 的方程是的方程是 x 3y60.设点设点 M 的坐标为的坐标为(m，0)，则则 M 到直线到直线 AP 的距离是的距离是|m6|2.于是于是|m6|2|m6|，又又6m6，故故 m2.所以所以 M 的坐标为的坐标为(2，0)椭圆上的点椭圆上的点(x，y)到点到点 M 的距离的距离 d 的平方为：的平方为：d2(x2)2y2x24x42059x249x92215.由于由于6x6，所

21、以当所以当 x92时时，d 取得最小值取得最小值，最小值为最小值为 15.22(本小题满分本小题满分 12 分分)已知平面内一动点已知平面内一动点 P 到点到点 F(1，0)的距离的距离与点与点 P 到到 y 轴的距离的差等于轴的距离的差等于 1.(1)求动点求动点 P 的轨迹的轨迹 C 的方程；的方程；(2)过点过点 F 作两条斜率存在且互相垂直的直线作两条斜率存在且互相垂直的直线 l1，l2，设设 l1与轨与轨迹迹C 相交于点相交于点 A，B，l2与轨迹与轨迹 C 相交于点相交于点 D，E，求求ADEB的最小值的最小值解：解：(1)设动点设动点 P 的坐标为的坐标为(x，y)，由题意有由题

22、意有 （x1）2y2|x|1.化简得化简得 y22x2|x|.当当 x0 时时，y24x；当当 x0 时时，y0.所以所以，动点动点 P 的轨迹的轨迹 C 的方程为的方程为 y24x(x0)和和 y0(x0)(2)由题意知由题意知，直线直线 l1的斜率存在且不为的斜率存在且不为 0，设为设为 k，则则 l1的方程的方程为为 yk(x1)由由yk（x1） ，y24x得得 k2x2(2k24)xk20.设设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则则 x1，x2是上述方程的两个实根是上述方程的两个实根，于是于是 x1x224k2，x1x21.因为因为 l1l2，所以所以 l2的斜率为的斜率为1k.设设 D(x3，y3)，E(x4，y4)，则同理可得则同理可得 x3x424k2，x3x41.故故ADEB(AFFD)(EFFB)AFEFAFFBFDEFFDFB|AF|FB|FD|EF|(x11)(x21)(x31)(x41)x1x2(x1x2)1x3x4(x3x4)1124k211(24k2)184k21k2842k21k216.当且仅当当且仅当 k21k2，即即 k1 时时， ADEB取得最小值取得最小值 16.