高等数学：第9章多元函数法及其应用第七节：方向导数与梯度

《高等数学：第9章多元函数法及其应用第七节：方向导数与梯度》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高等数学：第9章多元函数法及其应用第七节：方向导数与梯度（50页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、一、问题的提出一、问题的提出考虑二元函数考虑二元函数 z = f ( x , y ) 的偏导数的偏导数仅反映函数在水平方向仅反映函数在水平方向（横轴方向）上的变化率。（横轴方向）上的变化率。同理，偏导数同理，偏导数仅反映函数在垂直平方向仅反映函数在垂直平方向上的变化率。上的变化率。在实际问题中，还需要考虑函数在斜方向上的变化在实际问题中，还需要考虑函数在斜方向上的变化率问题，如冷热空气的流动，温度场的变化等。率问题，如冷热空气的流动，温度场的变化等。xyxfyxxfyxfxx ),(),(lim),(0000000 ),(00yxfy),(00yxxM ),(000yxM0 xy实例实例：一块

2、长方形的金属板，四个顶点的坐标是：一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)在坐标原点处有一个在坐标原点处有一个火焰，它使金属板受热假定板上任意一点处的火焰，它使金属板受热假定板上任意一点处的温度与该点到原点的距离成反比在温度与该点到原点的距离成反比在(3,2)处有一处有一个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？到达较凉快的地点？答案答案：应沿由热变冷变化最剧烈的方向爬行：应沿由热变冷变化最剧烈的方向爬行问题：如何确定上述变化最剧烈的方向？问题：如何确定上述变化最剧烈的方向？问题的实质：要研究

3、温度在各个方向上的变化率。问题的实质：要研究温度在各个方向上的变化率。),(),(lim0yxfyyxxflf二、方向导数的定义二、方向导数的定义oyxl 函数在某一方向上的变化率，称为函数在该方向函数在某一方向上的变化率，称为函数在该方向上的方向导数。上的方向导数。与与 l 同方向的单位向量为同方向的单位向量为则射线则射线 l 的参数方程为的参数方程为),cos,cos( le,|0tPP 设设),(yxP t),(000yxP coscos00tyytxx动点从动点从沿方向沿方向 l 运动到点运动到点 P 时，函数产生的增量时，函数产生的增量0P),(),(00yxfyxfz ),()co

4、s,cos(0000yxftytxf 称之为函数在称之为函数在 l 方向上的增量。方向上的增量。 tz 称之为函数在称之为函数在 l 方向上的平均变化率。方向上的平均变化率。如果极限如果极限存在存在l 的参数方程为的参数方程为 coscos00tyytxx),(),(00yxfyxfz tyxftytxft),()cos,cos(lim00000 则称它为则称它为 f ( x , y ) 在点在点 处沿方向处沿方向 l 的方向导数。的方向导数。0P),()cos,cos(0000yxftytxf oyxl),(yxP t),(000yxP 0PPt它与比值0000(cos ,cos)(,)f

5、xtytf xyt0PP令0t即),(00yxlf 问题问题1：方向导数与偏导数的关系？方向导数与偏导数的关系？问题问题2：函数沿任意方向的方向导数均存在的条件是函数沿任意方向的方向导数均存在的条件是什么？如何计算方向导数？什么？如何计算方向导数？tyxftytxft),()cos,cos(lim00000 方向导数就是函数在点方向导数就是函数在点 处沿方向处沿方向 l 的变化率。的变化率。0Poyxl),(yxP t),(000yxP 记为记为如果极限如果极限存在，存在， 则称它为则称它为 f ( x , y ) 在点在点处沿方向处沿方向 l 的方向导数。的方向导数。0Ptyxftytxft

6、),()cos,cos(lim00000 （1）在）在 x 轴的正方向上，轴的正方向上，),(00yxlf 假设假设 z = f ( x , y ) 在点在点 偏导数存在偏导数存在),(000yxP),(00yxlf 问题问题1：方向导数与偏导数的关系？方向导数与偏导数的关系？tyxftytxft),()cos,cos(lim00000 xyxfyxxfyxfxx ),(),(lim),(0000000 )cos,(cos le)0, 1( ),(000yxP xt ),(00yxxP )0, 1( leyx0,|0 xPPt xyxfyxxfx ),(),(lim00000 ),(00yxf

7、x 假设假设 z = f ( x , y ) 在点在点 偏导数存在偏导数存在（2）在）在 x 轴的负方向上，轴的负方向上，),(00yxlf ),(000yxP),(00yxlf 问题问题1：方向导数与偏导数的关系？方向导数与偏导数的关系？tyxftytxft),()cos,cos(lim00000 tyxfyxxfyxfxx),(),(lim),(0000000 )cos,(cos le)0, 1( ),(000yxP xt ),(00yxxP )0, 1( leyx0,|0 xPPt xyxfyxxfx ),(),(lim00000),(00yxfx （3）同理，在）同理，在 y 轴的两个

8、方向上轴的两个方向上),(00yxlf 正方向：正方向：负方向：负方向：),(00yxlf 则函数在则函数在该点处沿水平和垂直方向的方向导数均存在，且该点处沿水平和垂直方向的方向导数均存在，且)cos,(cos le)1, 0( )cos,(cos le)1, 0( ),(00yxfy ),(00yxfy 偏导数偏导数均存在，均存在，),(),(0000yxfyxfyx和和结论结论1：如果函数如果函数 z = f ( x , y ) 在点在点的两个的两个),(000yxP),(00yxlf le)0, 1( ),(00yxfx （3）同理，在）同理，在 y 轴的两个方向上轴的两个方向上),(0

9、0yxlf 正方向：正方向：负方向：负方向：),(00yxlf 结论结论1：如果函数如果函数 z = f ( x , y ) 在点在点的两个的两个偏导数偏导数均存在，均存在， 则函数在则函数在该点处沿水平和垂直方向的方向导数均存在，且该点处沿水平和垂直方向的方向导数均存在，且)cos,(cos le)1, 0( )cos,(cos le)1, 0( ),(00yxfy ),(00yxfy ),(),(0000yxfyxfyx和和),(000yxP),(00yxlf le)0, 1( ),(00yxfx （3）同理，在）同理，在 y 轴的两个方向上轴的两个方向上),(00yxlf 正方向：正方向

10、：负方向：负方向：),(00yxlf 结论结论1：如果函数如果函数 z = f ( x , y ) 在点在点的两个的两个偏导数偏导数均存在，均存在， 则函数在则函数在该点处沿水平和垂直方向的方向导数均存在，且该点处沿水平和垂直方向的方向导数均存在，且)cos,(cos le)1, 0( )cos,(cos le)1, 0( ),(00yxfy ),(00yxfy ),(),(0000yxfyxfyx和和),(000yxP),(00yxlf :)1, 0( le),(00yxfy （3）同理，在）同理，在 y 轴的两个方向上轴的两个方向上),(00yxlf 正方向：正方向：负方向：负方向：),(

11、00yxlf 结论结论1：如果函数如果函数 z = f ( x , y ) 在点在点的两个的两个偏导数偏导数均存在，均存在， 则函数在则函数在该点处沿水平和垂直方向的方向导数均存在，且该点处沿水平和垂直方向的方向导数均存在，且)cos,(cos le)1, 0( )cos,(cos le)1, 0( ),(00yxfy ),(00yxfy ),(),(0000yxfyxfyx和和),(000yxP),(00yxlf :)1, 0( le),(00yxfy 结论结论2：偏导数存在并不能保证斜方向上的方向导数偏导数存在并不能保证斜方向上的方向导数存在。存在。思考：思考：若函数沿任意方向的方向导数均

12、存在，是否若函数沿任意方向的方向导数均存在，是否保证偏导数一定存在？保证偏导数一定存在？例例1：解：解：,22yxz ),0, 0(0P)cos,(cos le,coscos tytxoyxl ),(00yxlf tyxftytxft),()cos,cos(lim00000 222200cossinlimlim1ttttttt结论结论2：偏导数存在并不能保证斜方向上的方向导数偏导数存在并不能保证斜方向上的方向导数存在。存在。思考：思考：若函数沿任意方向的方向导数均存在，是否若函数沿任意方向的方向导数均存在，是否保证偏导数一定存在？保证偏导数一定存在？例例1：解：解：,22yxz ),0, 0(

13、0P)cos,(cos leoyxl xfxffxx )0 , 0()0,(lim)0 , 0(0 xxx 00)(lim20 xxx |lim0 不存在。不存在。结论结论3：即使函数沿任意方向的方向导数均存在，也即使函数沿任意方向的方向导数均存在，也不能保证偏导数一定存在。不能保证偏导数一定存在。结论结论4:方向导数存在与偏导数存在没有依赖关系方向导数存在与偏导数存在没有依赖关系问题问题2：函数沿任意方向的方向导数均存在的条件是函数沿任意方向的方向导数均存在的条件是什么？如何计算方向导数？什么？如何计算方向导数？函数沿任意方向函数沿任意方向 l 的方向导数存在，且的方向导数存在，且),(00

14、yxlf 其中，其中，是是 l 的方向余弦。的方向余弦。证明：证明：其中其中定理：如果定理：如果 z = f (x , y ) 在点在点 可微，则可微，则),(000yxP cos),(cos),(0000yxfyxfyx ,00 yyyxxx oyxl0P),(yxP x y t,coscos tytx22yxt cos,cos考虑函数在方向考虑函数在方向 l 上的增量上的增量tz 令令),(00yxlf 证明：设证明：设其中其中,00 yyyxxx oyxl0P),(yxP x y t,coscos tytx22yxt ),(),(00yxfyxfz ),(),(0000yxfyyxxf

15、cos),(cos),(0000tyxftyxfyx cos),(cos),(0000yxfyxfyx tto )( ,0 t cos),(cos),(0000yxfyxfyx 220000(,)(,)()xyfxyxfxyyxy ( ) t计算可微函数方向导数的步骤计算可微函数方向导数的步骤),(00yxlf （1）确定给定方向）确定给定方向 l 的方向余弦：的方向余弦：即与即与 l 同方向的单位向量。同方向的单位向量。（2）计算偏导数）计算偏导数（3）利用公式计算）利用公式计算),(00yxlf 或或)cos,(cos le),(),(0000yxfyxfyx cos),(cos),(00

16、00yxfyxfyx sin),(cos),(0000yxfyxfyx 解：解：, 22)0, 1(2)0, 1( yxeyz )0,1(lz.22 方向方向 l 即为即为l 的方向余弦即为与的方向余弦即为与 l 同方向的单位向量同方向的单位向量)01, 12( PQ)1, 1( | PQPQel )1, 1()1(1122 )21,21( ; 1)0 , 1(2)0 , 1( yexz又又)21(2211 P111，1解解 sin)1 , 1(cos)1 , 1()1 , 1(yxfflf 由方向导数的计算公式知由方向导数的计算公式知 sincos),4sin(2 故故（1）当）当4 时，时

17、，方方向向导导数数达达到到最最大大值值2;22),(yxyxyxf 引例引例: 求函数求函数在点（在点（1，1）沿与）沿与 x 轴方向夹角为轴方向夹角为 的方向射线的方向射线 l 的方向导数的方向导数, 并问在怎样的方向上此方向导并问在怎样的方向上此方向导 数有数有 （1）最大值；）最大值； （2）最小值；）最小值； （3）等于零？）等于零？ cos)2()1 , 1(yx ,sin)2()1 , 1( xy 解解 sin)1 , 1(cos)1 , 1()1 , 1(yxfflf 由方向导数的计算公式知由方向导数的计算公式知 sincos),4sin(2 22),(yxyxyxf 例例求函数

18、求函数在点（在点（1，1）沿与）沿与 x 轴方向夹角为轴方向夹角为 的方向射线的方向射线l的方向导数的方向导数, 并问在怎样的方向上此方向导并问在怎样的方向上此方向导 数有数有 （1）最大值；）最大值； （2）最小值；）最小值； （3）等于零？）等于零？ cos)2()1 , 1(yx ,sin)2()1 , 1( xy 故故（2）当当45 时时，方方向向导导数数达达到到最最小小值值2 ;解解 sin)1 , 1(cos)1 , 1()1 , 1(yxfflf 由方向导数的计算公式知由方向导数的计算公式知 sincos),4sin(2 22),(yxyxyxf 例例 求函数求函数在点（在点（1

19、，1）沿与）沿与 x 轴方向夹角为轴方向夹角为 的方向射线的方向射线l的方向导数的方向导数, 并问在怎样的方向上此方向导并问在怎样的方向上此方向导 数有数有 （1）最大值；）最大值； （2）最小值；）最小值； （3）等于零？）等于零？ cos)2()1 , 1(yx ,sin)2()1 , 1( xy 故故（3）当）当43 和和47 时，时，方向导数等于方向导数等于 0.对于三元函数对于三元函数 u = f ( x , y , z ) ,它在点它在点处沿方向处沿方向的方向导数定义为的方向导数定义为),(0000zyxP)cos,cos,(cos le ),(000zyxlftyxftztytx

20、ft),()cos,cos,cos(lim000000 如果如果 u = f ( x , y , z ) 在点在点处可微，则处可微，则),(0000zyxP),(000zyxlf cos),(cos),(000000zyxfzyxfyx cos),(000zyxfz 例例2. 求函数求函数 在点在点 P(1, 1, 1) 沿向量沿向量zyxu2(2 , 1,3)l 的方向导数的方向导数 .,142cosPlu) 1, 1, 1 (614,141cos143cos1422zyx1412zx1432yx解解: 向量向量 l 的方向余弦为的方向余弦为),(000zyxlf cos),(cos),(0

21、00000zyxfzyxfyx cos),(000zyxfz 解：解：对于封闭的曲面，上述两个法向量中，一个指向对于封闭的曲面，上述两个法向量中，一个指向曲面的外侧，另一个则指向曲面的内侧。曲面的外侧，另一个则指向曲面的内侧。令令, 632),(222 zyxzyxF则曲面上任意一点则曲面上任意一点 P ( x , y , z ) 处的法向量可取为处的法向量可取为 对于封闭的二次曲面，对于封闭的二次曲面，指向外侧，指向外侧，则指向内侧，则指向内侧，2122)86(1yxzu n632222 zyx)1 , 1 , 1(P例例3 设设是曲面是曲面 在点在点处的指向外侧的法向量，求函数处的指向外侧

22、的法向量，求函数n在此处沿方向在此处沿方向的方向导数的方向导数.),(zyxFFFn ),(1zyxFFFn ),(2zyxFFFn 令令, 632),(222 zyxzyxF, 44 PPxxF, 66 PPyyF, 22 PPzzF故故又又;146 2122)86(1yxzu n632222 zyx)1 , 1 , 1(P例例3 设设是曲面是曲面 在点在点处的指向外侧的法向量，求函数处的指向外侧的法向量，求函数n在此处沿方向在此处沿方向的方向导数的方向导数.解：解：)1, 1, 1(| ),(zyxFFFn )2, 6, 4( )1, 3, 2(2 的方向余弦，即与的方向余弦，即与 同方向

23、的单位向量为同方向的单位向量为nn)1, 3, 2(141 le)cos,cos,cos( )1 , 1 , 1(|xu)1 , 1 , 1(22866yxzx ;148 PPzyxzu22286 .14 故故.711 )1, 3, 2(141 le又又;146 PPyxzxxu22866 ),1, 3, 2(2 n)cos,cos,cos( 2122)86(1yxzu n632222 zyx)1 , 1 , 1(P例例3 设设是曲面是曲面 在点在点处的指向外侧的法向量，求函数处的指向外侧的法向量，求函数n在此处沿方向在此处沿方向的方向导数的方向导数.PPyxzyyu22868 PPzuyux

24、unu)coscoscos( 解：解：课堂练习课堂练习: P111; 1, 4, 作业作业: P111; 2，5, 6, 三、梯度的概念三、梯度的概念?:最最快快沿沿哪哪一一方方向向增增加加的的速速度度函函数数在在点点问问题题P00000000(,)(,)(,)(,)xyf xygradf xyfxy ifxyj其中其中xyij 称为向量微分算子或称为向量微分算子或 Nabla算子算子.leyxgradf ),(00,cos| ),(| leyxgradf 00（1）梯度与方向导数的关系）梯度与方向导数的关系)cos,(cos le设设是是 l 的方向余弦，的方向余弦，),(00yxlf ,c

25、os| ),(| 00yxgradf,cos1 当当,时时即即0 ),(00yxlf 为最大值。为最大值。| ),(|00yxgradf cos),(cos),(0000yxfyxfyx 结论结论函数在梯度方向上的方向导数最大，函数在梯度方向上的方向导数最大，或者说函数在梯度或者说函数在梯度 22| ),(| yfxfyxgradf lf max方向上的增加速度（变化率）最快（最大）。方向上的增加速度（变化率）最快（最大）。0000(,),|(,)|xyfgradf xyl 即时00(,),02xyfl即时0000(,)|(,)| cos ,xyfgradf xyl与梯度方向相反时，函数减少最

26、快，方向导数达到最小值与梯度方向相反时，函数减少最快，方向导数达到最小值与梯度方向正交，函数与梯度方向正交，函数变化率为零变化率为零)cos,(cos le设设（2）等值线与梯度）等值线与梯度xyz,),(: czyxfzL),(:*yxfcL *L称称为为 z = f ( x , y ) 的一条等值线的一条等值线),(yxP 当平面当平面 z = c 上下移动时，得到一簇互不相交的等值线上下移动时，得到一簇互不相交的等值线oyx2),(cyxf1),(cyxfPcyxf ),(等高线图举例等高线图举例-2-1012-2-101200.511.52-2-1012-2-1012-2-101222

27、122)2(yxeyxz-2-1012-2-1012这是利用数学软件这是利用数学软件Mathematica Mathematica 绘制的曲面及其等高线图绘制的曲面及其等高线图, , 带带阴影的等高线图中阴影的等高线图中, , 亮度越大亮度越大对应曲面上点的位置越高对应曲面上点的位置越高等高线图等高线图带阴影的等高线图带阴影的等高线图（2）等值线与梯度）等值线与梯度Poyx2),(cyxf1),(cyxfcyxf ),(等值线在点等值线在点 P ( x , y ) 处的一处的一个切向量是个切向量是n),(),(yxfyxfnyx ),(yxfgrad 法向量可取为法向量可取为xydyfdxf

28、(1,)dyTdx(,)yxff(1,)xyfTf(,)yxT ffnT法向量(,) (,)0yxxyT nffff梯度与等值线的关系：梯度与等值线的关系：),(),(yxPyxfz在在点点函函数数 ，指指向向数数值值较较高高的的等等值值线线且且从从数数值值较较低低的的等等值值线线数数这这个个法法线线方方向向的的方方向向导导而而梯梯度度的的模模等等于于函函数数在在Poyx2),(cyxf1),(cyxfcyxf ),(n的的等等值值线线的的梯梯度度的的方方向向与与点点 P向向相相同同，在在这这点点的的法法线线的的一一个个方方cyxf ),(.),(kzfjyfixfzyxgradf 类似于二元

29、函数，此梯度也是一个向量，类似于二元函数，此梯度也是一个向量，其方向与取得最大方向导数的方向一致，其模其方向与取得最大方向导数的方向一致，其模为方向导数的最大值为方向导数的最大值.梯度的概念可以推广到三元函数梯度的概念可以推广到三元函数GzyxP ),(),(zyxfu 三元函数三元函数在空间区域在空间区域G内具有一阶连续偏导数，则对于每一点内具有一阶连续偏导数，则对于每一点，都可定义一个向量，都可定义一个向量(梯度梯度)解解 由梯度计算公式得由梯度计算公式得kzujyuixuzyxgradu ),(,6)24()32(kzjyix 故故.1225)2 , 1 , 1(kjigradu 在在)

30、0 ,21,23(0 P处梯度为处梯度为 0.解解,2294yxT 故故.)(j yixTgrad1881 例例5：设在：设在 xo y 平面上，各点的温度与点的位置关系为平面上，各点的温度与点的位置关系为),(490P,|)(01PTgrad求求.210)2(00的的方方向向上上温温度度的的变变化化率率处处沿沿极极角角为为在在求求P处的温度变化率取得处的温度变化率取得在什么方向上点在什么方向上点0)3(PjiTgradP72720 |).(ji 72)sin,(cos)(002102102 le),(2123 .最最大大值值和和最最小小值值解解jiTgradP72720 |).(ji 72)

31、sin,(cos)(002102102 le),(2123 lPPeTgradlT 00|)(212372 )(3136 ,2294yxT 例例5：设在：设在 xo y 平面上，各点的温度与点的位置关系为平面上，各点的温度与点的位置关系为),(490P,|)(01PTgrad求求.)(的的变变化化率率的的方方向向上上温温度度处处沿沿极极角角为为在在求求002102P.)(最最大大值值和和最最小小值值处处的的温温度度变变化化率率取取得得在在什什么么方方向向上上点点03P（3）沿梯度方向温度变化率最大，最大值为）沿梯度方向温度变化率最大，最大值为|max0PTgradlT 272 沿负梯度方向最小

32、，最小值为沿负梯度方向最小，最小值为272 lTmin解解jiTgradP72720 |).(ji 72,2294yxT 例例5：设在：设在 xo y 平面上，各点的温度与点的位置关系为平面上，各点的温度与点的位置关系为),(490P,|)(01PTgrad求求.)(的的变变化化率率的的方方向向上上温温度度处处沿沿极极角角为为在在求求002102P.)(最最大大值值和和最最小小值值处处的的温温度度变变化化率率取取得得在在什什么么方方向向上上点点03P三、物理意义三、物理意义函数函数(物理量的分布物理量的分布)数量场数量场 (数性函数数性函数)场场向量场向量场(矢性函数矢性函数)可微函数可微函数

33、)(Pf梯度场梯度场( 势势 )如如: 温度场温度场, 电势场等电势场等如如: 力场力场,速度场等速度场等(向量场向量场)(势场势场)注意注意: 任意一个向量场不一定是梯度场任意一个向量场不一定是梯度场.( ).gradf P例例7. 试求数量试求数量场场 所产所产生的梯度生的梯度场，其中常数场，其中常数mr2220,mrxyz为原点为原点O与点与点M(x,y,z)距离距离23()mmrm xxrrxr 解解:3()mm yyrr 3()mm zzrr 2()()mmxyzg r a dijkrrrrr reO M 如 果 用表 示 与同 方 向 的 单 位 向 量 , 则()rxyzeijk

34、rrr2rmmg r a derr 因 此2rmmgraderr 上式右端几何解释：位于原点上式右端几何解释：位于原点O而质量为而质量为m的质点的质点,对位于点对位于点M而质量为而质量为1的质点的引力的质点的引力.mrmgradr数量场数量场 的势场即梯度场的势场即梯度场 称为引力场，称为引力场，函数函数 称为引力势。称为引力势。mr第九章作业第九章作业第七节：第七节：方向导数方向导数课练：习题课练：习题9 7: 1, 4, 6,习题习题9 7: 1,2,4,5,10内容小结内容小结1. 方向导数方向导数 三元函数三元函数 ),(zyxf在点在点),(zyxP沿方向沿方向 l (方向角方向角)

35、,为的方向导数为的方向导数为coscoscoszfyfxflf 二元函数二元函数 ),(yxf在点在点),(yxP),的方向导数为的方向导数为coscosyfxflf沿方向沿方向 l (方向角为方向角为yfxfcossin2. 梯度梯度 三元函数三元函数 ),(zyxf在点在点),(zyxP处的梯度为处的梯度为zfyfxfff,gradgrad 二元函数二元函数 ),(yxf在点在点),(yxP处的梯度为处的梯度为),(, ),(yxfyxfffyxgradgrad3. 关系关系方向导数存在方向导数存在偏导数存在偏导数存在 可微可微leflfgradgrad梯度在方向梯度在方向 l 上的投影上

36、的投影. 方向方向: f 变化率最大的方向变化率最大的方向模模: f 的最大变化率之值的最大变化率之值 梯度的特点梯度的特点练习练习42042042020020020022222220czbyaxczzbyyaxxnuM4204204202czbyax P130 题题 16提示提示:第八节第八节 第八节第八节 第八节第八节 备用题备用题 1. 函数函数)ln(222zyxu在点在点)2,2, 1 (M处的梯度处的梯度Mugradgrad)2, 2 , 1 (,zuyuxuuMgradgrad解解:,222zyxr令则则xu21rx2注意注意 x , y , z 具有轮换对称性具有轮换对称性)2, 2, 1 (2222,2,2rzryrx)2,2, 1 (92)2,2, 1 (92(1992 考研考研)指向指向 B( 3, 2 , 2) 方向的方向导数是方向的方向导数是 .在点在点A( 1 , 0 , 1) 处沿点处沿点Axd d2. 函数函数)ln(22zyxu提示提示:31,32,32其单位向量为其单位向量为)cos,cos,(cosAxu) 1ln( x1x,21yd dAyu) 11ln(2y0y,0(1996考研考研), ) 1 ,2,2(AB2121Azucoscoscoszuyuxulu21ABABl 课测课测