导数及微积分教案

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1、姓名李鸿铭学生姓名吴天嘉填写时间2012.11.18学科 数学年级高三教材版本人教A版阶段观察期：第（4）周 维护期本人课时统计第（7、8）课时共（ ）课时课题名称导数及其应用（一轮复习）课时计划2上课时间2012.11.18教学目标同步教学知识内容导数及其应用。个性化学习问题解决能熟练掌握函数的导数的求法，并利用导数解决实际问题。教学重点 函数的导数的求法、单调区间、最值、函数在某一点的切线的方程。教学难点含有参数的函数的单调区间的求法（涉及分类讨论）教学过程教师活动一、命题走向导数是高中数学中重要的内容，是解决实际问题的强有力的数学工具，运用导数的有关知识，研究函数的性质：单调性、极值和最

2、值是高考的热点问题。在高考中考察形式多种多样，以选择题、填空题等主观题目的形式考察基本概念、运算及导数的应用，也经常以解答题形式和其它数学知识结合起来，综合考察利用导数研究函数的单调性、极值、最值，估计2013年高考继续以上面的几种形式考察不会有大的变化：（1）考查形式为：选择题、填空题、解答题各种题型都会考察，选择题、填空题一般难度不大，属于高考题中的中低档题，解答题有一定难度，一般与函数及解析几何结合，属于高考的中低档题；（2）13年高考可能涉及导数综合题，以导数为数学工具考察：导数的物理意义及几何意义，复合函数、数列、不等式等知识。定积分是新课标教材新增的内容，主要包括定积分的概念、微积

3、分基本定理、定积分的简单应用，由于定积分在实际问题中非常广泛，定积分的应用主要是计算面积，诸如计算曲边梯形的面积、变速直线运动等实际问题要很好的转化为数学模型。2、 要点精讲1导数的概念函数y=f(x),如果自变量x在x处有增量，那么函数y相应地有增量=f（x+）f（x），比值叫做函数y=f（x）在x到x+之间的平均变化率，即=。 如果当时，有极限，我们就说函数y=f(x)在点x处可导，并把这个极限叫做f（x）在点x处的导数，记作f（x）或y|。即f（x）=。1 / 33说明：（1）函数f（x）在点x处可导，是指时，有极限。如果不存在极限，就说函数在点x处不可导，或说无导数。（2）是自变量x在

4、x处的改变量，时，而是函数值的改变量，可以是零。 由导数的定义可知，求函数y=f（x）在点x处的导数的步骤（可由学生来归纳）：（1）求函数的增量=f（x+）f（x）；（2）求平均变化率=；（3）取极限，得导数f(x)=。2导数的几何意义 函数y=f（x）在点x处的导数的几何意义是曲线y=f（x）在点p（x，f（x）处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f（x）在点p（x，f（x）处的切线的斜率是f（x）。相应地，切线方程为yy=f/（x）（xx）。3常见函数的导出公式（）（C为常数）（）（）（） （5） （6）4两个函数的和、差、积的求导法则法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数

5、的和(或差)，即： (法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即：若C为常数,则.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数： 法则3两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方：=（v0）。形如y=f的函数称为复合函数。复合函数求导步骤：分解求导回代。法则：y|= y| u|5导数的应用（1）一般地，设函数在某个区间可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数；如果在某区间内恒有，则为常数；（2）曲线在极值点处切线的斜率为0，极值点处的导数为0；曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲

6、线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正；（3）一般地，在区间a，b上连续的函数f在a，b上必有最大值与最小值。求函数在(a，b)内的极值； 求函数在区间端点的值(a)、(b)； 将函数 的各极值与(a)、(b)比较，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值。6定积分（1）概念设函数f(x)在区间a，b上连续，用分点ax0x1xi1xixnb把区间a，b等分成n个小区间，在每个小区间xi1，xi上取任一点i（i1，2，n）作和式In(i)x（其中x为小区间长度），把n即x0时，和式In的极限叫做函数f(x)在区间a，b上的定积分，记作：，即(i)x。这里，a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间a

7、，b叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式。基本的积分公式：C；C（mQ， m1）；dxlnC；C；C；sinxC；cosxC（表中C均为常数）。（2）定积分的性质（k为常数）；（其中acb。（3）定积分求曲边梯形面积由三条直线xa，xb（ab），x轴及一条曲线yf（x）(f(x)0)围成的曲边梯的面积。如果图形由曲线y1f1(x)，y2f2(x)（不妨设f1(x)f2(x)0），及直线xa，xb（ab）围成，那么所求图形的面积SS曲边梯形AMNBS曲边梯形DMNC。3、 典例解析题型1：导数的基本运算例1（1）求的导数；（2）求的导数；（3）求的导数；

8、（4）求y=的导数；（5）求y的导数。解析：（1）,（2）先化简,（3）先使用三角公式进行化简.（4）y=；（5）yxy*（x）x）*（）。点评：（1）求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；（2）有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但在求导前利用代数或三角恒等变形将函数先化简，然后进行求导有时可以避免使用商的求导法则，减少运算量。例2写出由下列函数复合而成的函数： （1）y=cosu,u=1+ （2）y=lnu, u=lnx 解析：（1）y=cos(1+)； （2）y=ln(lnx)。点评：通过对y=（3x-2展开求导及按

9、复合关系求导，直观的得到=.给出复合函数的求导法则，并指导学生阅读法则的证明。题型2：导数的几何意义例3（1）（06安徽卷）若曲线的一条切线与直线垂直，则的方程为（ ）A B C D（2）（06全国II）过点（1，0）作抛物线的切线，则其中一条切线为（ ）（A） （B） （C） （D） 解析：（1）与直线垂直的直线为，即在某一点的导数为4，而，所以在(1，1)处导数为4，此点的切线为，故选A；（2），设切点坐标为，则切线的斜率为2，且，于是切线方程为，因为点（1，0）在切线上，可解得0或4，代入可验正D正确，选D。 点评：导数值对应函数在该点处的切线斜率。例4（1）（06湖北卷）半径为r的圆的

10、面积S(r)r2,周长C(r)=2r，若将r看作(0，)上的变量，则(r2)2r ，式可以用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数。对于半径为R的球，若将R看作(0，)上的变量，请你写出类似于的式子： ；式可以用语言叙述为： 。（2）（06湖南卷）曲线和在它们交点处的两条切线与轴所围成的三角形面积是 。解析：（1）V球，又 故式可填，用语言叙述为“球的体积函数的导数等于球的表面积函数。”；（2）曲线和在它们的交点坐标是(1，1)，两条切线方程分别是y=x+2和y=2x1，它们与轴所围成的三角形的面积是。点评：导数的运算可以和几何图形的切线、面积联系在一起，对于较复杂问题有很好的效果。题

11、型3：借助导数处理单调性、极值和最值例5（1）（06江西卷）对于R上可导的任意函数f（x），若满足（x1）0，则必有（ ）Af（0）f（2）2f（1）（2）（06天津卷）函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点（ ）A1个 B2个 C3个 D 4个（3）（06全国卷I）已知函数。（）设，讨论的单调性；（）若对任意恒有，求的取值范围。解析：（1）依题意，当x1时，f（x）0，函数f（x）在（1，）上是增函数；当x1时，f（x）0，f（x）在（，1）上是减函数，故f（x）当x1时取得最小值，即有f（0）f（1），f（2）f（1），故选C；（2）函数的定义域为开区间

12、，导函数在内的图象如图所示，函数在开区间内有极小值的点即函数由减函数变为增函数的点，其导数值为由负到正的点，只有1个，选A。（3）：()f(x)的定义域为(,1)(1,+).对f(x)求导数得 f (x)= eax。()当a=2时, f (x)= e2x, f (x)在(,0), (0,1)和(1,+ )均大于0, 所以f(x)在(,1), (1,+).为增函数；()当0a0, f(x)在(,1), (1,+)为增函数.；()当a2时, 01, 令f (x)=0 ,解得x1= , x2= ；当x变化时, f (x)和f(x)的变化情况如下表: x(, )(,)(,1)(1,+)f (x)f(x

13、)f(x)在(, ), (,1), (1,+)为增函数, f(x)在(,)为减函数。()()当0f(0)=1；()当a2时, 取x0= (0,1),则由()知 f(x0)1且eax1，得：f(x)= eax 1. 综上当且仅当a(,2时,对任意x(0,1)恒有f(x)1。点评：注意求函数的单调性之前，一定要考虑函数的定义域。导函数的正负对应原函数增减。例6（1）（06浙江卷）在区间上的最大值是（ ）(A)2 (B)0 (C)2 (D)4（2）（06山东卷）设函数f(x)= （）求f(x)的单调区间；（）讨论f(x)的极值。解析：（1），令可得x0或2（2舍去），当1x0，当0x1时，0，所以当

14、x0时，f（x）取得最大值为2。选C；（2）由已知得，令，解得 。（）当时，在上单调递增； 当时，随的变化情况如下表：0+00极大值极小值从上表可知，函数在上单调递增；在上单调递减；在上单调递增。（）由（）知，当时，函数没有极值；当时，函数在处取得极大值，在处取得极小值。点评：本小题主要考查利用导数研究函数的最大值和最小值的基础知识，以及运用数学知识解决实际问题的能力。题型4：导数综合题例7（06广东卷）设函数分别在处取得极小值、极大值.平面上点的坐标分别为、，该平面上动点满足,点是点关于直线的对称点.求(I)求点的坐标；(II)求动点的轨迹方程.解析： ()令解得；当时,， 当时,，当时，。

15、所以,函数在处取得极小值,在取得极大值,故,。所以, 点A、B的坐标为。（） 设，所以。又PQ的中点在上，所以，消去得。点评：该题是导数与平面向量结合的综合题。题型5：导数实际应用题例8（06江苏卷）请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥（如右图所示）。试问当帐篷的顶点O到底面中心的距离为多少时，帐篷的体积最大？本小题主要考查利用导数研究函数的最大值和最小值的基础知识，以及运用数学知识解决实际问题的能力。解析：设OO1为x m,则由题设可得正六棱锥底面边长为（单位：m）。于是底面正六边形的面积为（单位：m2）：。帐篷的体积为（单位：m3）：求导数

16、，得；令解得x=-2(不合题意，舍去),x=2。当1x2时，,V(x)为增函数；当2x0。当x=0时，t=0；当x=a时，又ds=vdt，故阻力所作的功为：（2）依题设可知抛物线为凸形，它与x轴的交点的横坐标分别为x1=0，x2=b/a，所以(1)又直线xy=4与抛物线y=ax2bx相切，即它们有唯一的公共点，由方程组得ax2(b1)x4=0，其判别式必须为0，即(b1)216a=0于是代入（1）式得：，；令S(b)=0；在b0时得唯一驻点b=3，且当0b3时，S(b)0；当b3时，S(b)0故在b=3时，S(b)取得极大值，也是最大值，即a=1，b=3时，S取得最大值，且。点评：应用好定积分

17、处理平面区域内的面积。五思维总结1本讲内容在高考中以填空题和解答题为主主要考查：（1）函数的极限；（2）导数在研究函数的性质及在解决实际问题中的应用；（3）计算曲边图形的面积和旋转体的体积。2我们应立足基础知识和基本方法的复习，以课本题目为主，以熟练技能，巩固概念为目标。课后作业函数与导数（高考真题）一 选择题：1.（全国一1）函数的定义域为（ ）ABCD2.（全国一2）汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程看作时间的函数，其图像可能是（ ）stOAstOstOstOBCD3.（全国一6）若函数的图像与函数的图像关于直线对称，则（ ）ABCD4.（全国

18、一7）设曲线在点处的切线与直线垂直，则（ ）A2BCD5.（全国一9）设奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为（ ）ABCD6.（全国二3）函数的图像关于（ ）A轴对称 B 直线对称 C 坐标原点对称 D 直线对称8.（全国二4）若，则（ ）ABC D 0时是单调函数，则满足的所有x之和为（ ）ABCD二 填空题：1.（上海卷4）若函数f(x)的反函数为f 1(x)x2（x0），则f(4) 2.（上海卷8）设函数f(x)是定义在R上的奇函数，若当x(0,+)时，f(x)lg x，则满足f(x)0的x的取值范围是 3.（上海卷11）方程x2+x10的解可视为函数yx+的图像与函数y的图像交点的

19、横坐标，若x4+ax40的各个实根x1，x2，xk (k4)所对应的点(xi ,)（i1,2,k）均在直线yx的同侧，则实数a的取值范围是 4.（全国二14）设曲线在点处的切线与直线垂直，则 2BCAyx1O345612345.（北京卷12）如图，函数的图象是折线段，其中的坐标分别为，则 ； （用数字作答）6.（北京卷13）已知函数，对于上的任意，有如下条件：；其中能使恒成立的条件序号是 7.（北京卷14）某校数学课外小组在坐标纸上，为学校的一块空地设计植树方案如下：第棵树种植在点处，其中，当时，表示非负实数的整数部分，例如，按此方案，第6棵树种植点的坐标应为 ；第2008棵树种植点的坐标应为

20、 8.（安徽卷13）函数的定义域为 9.（江苏卷8）直线是曲线的一条切线，则实数b ln2110.（江苏卷14）对于总有0 成立，则= 411.（湖南卷13）设函数存在反函数,且函数的图象过点(1,2),则函数的图象一定过点 . (-1,2)12.（湖南卷14）已知函数（1）若a0,则的定义域是 ; (2) 若在区间上是减函数，则实数a的取值范围是 . 13.（重庆卷13)已知(a0) ，则 .314.（浙江卷15）已知t为常数，函数在区间0，3上的最大值为2，则t=_。115.（辽宁卷13）函数的反函数是_25.（湖北卷13）已知函数,其中,为常数，则方程的解集为 .三、解答题1、（广东卷19）（本小题满分14分）设，函数，试讨论函数的单调性课后记本节课教学计划完成情况：照常完成 提前完成 延后完成 _学生的接受程度：完全能接受 部分能接受 不能接受 _学生的课堂表现：很积极 比较积极 一般 不积极 _学生上次作业完成情况：数量_% 完成质量_分 存在问题 _配合需求：家长_ 学管师_备 注提交时间教研组长审批家长签名