第二章 推理与证明章末测试题一

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1、学习方法报 全新课标理念，优质课程资源推理与证明章末测试题 （时间：120分钟 满分：150分） 学号：_ 班级：_ 姓名：_ 得分：_ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1用三段论推理命题：“任何实数的平方大于0，因为是实数，所以0”，你认为这个推理（ ） A大前题错误 B小前题错误 C推理形式错误 D是正确的 2若a，b，c是不全相等的实数，求证：a2+b2+c2ab+bc+ ca证明过程如下： 因为a，b，cR，所以a2+b22ab， b2+c22bc，c2+a22ca，又因为a，b，c不全相等，所以以上三式至少有

2、一个“”不成立,所以将以上三式相加得2（a2+b2+c2）2（ab+bc+ ca），所以a2+b2+c2ab+bc+ ca此证法是（） 分析法 综合法分析法与综合法并用反证法3已知x10，x11且xn1（n1,2，），试证：“数列xn对任意的正整数n，都满足xnxn1，”当此题用反证法否定结论时应为（） A.对任意的正整数n，有xnxn1 B. 存在正整数n，使xnxn1，且xnxn1 C. 存在正整数n，使xnxn1 D.存在正整数n，使（xnxn1）（xnxn1）04. 因为a,bR+,a+b2, 大前提 , 小前提 所以x+2. 结论 以上推理过程中的错误为（ ） A大前提 B小前提 C

3、结论 D无错误 5某同学证明不等式1的过程如下：要证1，只需证1，即证7251121，即证，即证3511.因为3511成立，所以原不等式成立这位同学使用的证明方法是（） A综合法 B分析法 C综合法，分析法结合使用 D其他证法6类比下列平面内的结论，在空间中仍能成立的是（）平行于同一直线的两条直线平行；垂直于同一直线的两条直线平行；如果一条直线与两条平行线中的一条垂直，则必与另一条垂直；如果一条直线与两条平行线中的一条相交，则必与另一条相交A BC D 7. 用反证法证明“如果ab，那么”假设的内容应是（ ） A. = B. C. =且 D. =或 8如图1所示是一患黑白相间排列的珠子，按这种

4、规律往下排列，那么第36颗珠子的颜色是（）图 1 A白色B黑色 C白色可能性大 D黑色可能性大 9用数学归纳法证明等式1+2+3+（n+3）=（nN*）时，第一步验证n=1时，左边应取的项是（）A1BCD 10已知f（x）=x3+x，a，b，cR，且a+b0，a+c0，b+c0，则f（a）+ f（b）+ f（c）的值一定（ ） A.大于零 B.等于零 C.小于零 D.正负都有可能 11已知,把数列an的各项排列成如下的三角形状,a1a2 a3 a4a5 a6 a7 a8 a9 记A（m，n）表示第m行的第n个数,则A（10,12）=（）A.（）93B.（）92C.（）94D.（）112 12利

5、用数学归纳法证明：不等式1+n（n2，nN+）的过程中，由n=k变到n=k+1时，左边增加了（ ） A. 1项 B. 项 C. 项 D. 项 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.） 13在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4，类似地，在空间，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为 14将下面用分析法证明ab的步骤补充完整：要证ab，只需证a2b22ab，也就是证_，即证_，由于_显然成立，因此原不等式成立 15用数学归纳法证明不等式1+成立，起始值至少应取 . 16观察下列等式：13=12，13+23=32，13+2

6、3+33=62， 13+23+33+43=102，所以根据上述规律，第n个等式为 . 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.（10分）已知a0，求证： 18（12分）求证n3+（n+1）3+（n+2）3能被9整除. 19（12分）已知椭圆具有如下性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上的任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为kPM、kPN时，则kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值试写出双曲线1（a0，b0）具有的类似的性质，并加以证明.AA1B1BC1CMNP 20（12分）如图，点为斜三棱柱的侧棱上一点，交于点，

7、交于点. （1）求证：； （2）在任意中有余弦定理： . 拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明. 21（12分）已知A，B是椭圆C：2x2+3y2=9上两点，点M的坐标为（1 ，0）. 当A，B两点关于x轴对称，且MAB为等边三角形时，求AB的长； 当A，B两点不关于x轴对称时，证明：MAB不可能为等边三角形. 22.（12分） 在数列an中，an（1）n1n2，观察下列规律：11；143（12）；1496123；1491610（1234）；试写出数列an的前n项和公式，并用数学归纳法证明 （拟题 高英军） 推理与证明章

8、末测试题1、 选择题 1.A 2. B 3.C 4.B 5. B 6.B 7.D 8.A 9. D 10.A 11.A 12.D提示：1. 0的平方等于0. 3根据全称命题的否定，是特称命题，即“数列xn对任意的正整数n，都满足xnxn1”的否定为“存在正整数n，使xnxn1”，故选C.4. 根据基本不等式可知，大前提正确，而小前提，没有条件xR+，故小前提错误，故选B. 5选B.根据分析法的思维特点可判定出来.6对于，在空间垂直于同一直线的两条直线可能相交或异面，对于，在空间一条直线与两条平行线中的一条相交，则它与另一条可能异面，故选B. 7. 的反面为=或. 8由图可知，三白二黑周而复始相

9、继排列因为3657余1，所以第36颗珠子的颜色与第一颗珠子的颜色相同，即为白色 9由于当n=1时，等式右边结果为10.故选D. 10f（x）为奇函数，增函数，a-b，c-a ，b-c得f（a） f（-b）=-f（b），f（c） f（-a）=-f（a），f（b） f（-c）=-f（c），得f（a）+ f（b）+ f（c）大于零. 11由A（m，n）表示第m行的第n个数可知，A（10，12）表示第10行的第12个数，根据图形可知： 每一行的最后一个项的项数为行数的平方，所以第10行的最后一个项的项数为102=100，即为a100；每一行都有2n-1个项，所以第10行有210-1=19项，得到第10

10、行第一个项为100-19+1=82，所以第12项的项数为82+12-1=93；所以A（10，12）=a93=（）93，故选A 12. 用数学归纳法证明等式1+f（n）（n2，nN*）的过程中，假设n=k时不等式成立，左边=1+， 则当n=k+1时，左边=1+， 所以由n=k递推到n=k+1时不等式左边增加了：+， 共（2k+1-1）-2k+1=2k项，故选D2、 填空题 131：8 14a2b22ab0（ab）20（ab）20 158 1613+23+33+43+n3=2 提示： 15根据题设，得，解得n7，故起始值至少应取8.16由题知13=12；13+23=（）2；13+23+33=（）2

11、； 13+23+33+43=（）2； 所以13+23+33+43+n3=2.三、解答题17证明：由已知及a0，可知b0，要证，可证1即证1+a-b-ab1，只需证a-b-ab0，即1，即，这是已知条件，显然成立，所以原不等式得证. 18证明：当n=1时，13+（1+1）3+（1+2）3=36能被9整除，结论成立. 假设n=k（k1，且kN*）时成立， 即k3+（k+1）3+（k+2）3能被9整除； 当n=k+1时，（k+1）3+（k+2）3+（k+3）3=k3+（k+1）3+（k+2）3+9k2+27k+27 =k3+（k+1）3+（k+2）3+9（k2+3k+3）能被9整除 所以n=k+1时

12、结论也成立.由可知原命题成立.19解：双曲线的类似的性质为：若M，N是双曲线=1上关于原点对称的两个点，点P是双曲线上的任意一点，当直线PM，PN的斜率都存在，并记为kPM，kPN时，kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值下面给出证明： 设点M的坐标为（m，n），则点N的坐标为（-m，-n），且-1又设点P的坐标为（x，y），由kPM=，kPN=得kPMkPN=，将y2=x2-b2，n2=m2-b2代入式，得kPMkPN=（定值） 20.（1）证明：因为 所以； （2）解：在斜三棱柱中，有，其中为平面与平面所组成的二面角. 因为，所以上述的二面角为， 在中， 由于，所以有. 21解：设A（x

13、0，y0），B（x0，-y0）， 因为MAB为等边三角形，所以|y0|=|x0-1|，又点A（x0，y0）在椭圆上， 所以，消去y0，得3x-2x0-8=0，解得x0=2或x0=-， 当x0=2时，|AB|=；当x0=-时，|AB|=. 根据题意可知，直线AB斜率存在. 设直线AB：y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点为N（x0，y0），联立 ，消去y得（2+3k2）x2+6kmx+3m2-9=0， 由0得2m2-9k2-60， 所以x1+x2=-,y1+y2=k（x1+x2）+2m=, 所以N（-，），又M（1， 0）， 假设MAB为等边三角形，则有MNAB，所以kMNk=-1，即k=-1，化简得3k2+2+km=0， 由得m=-，代入得2-3（3k2+2）0， 化简得3k2+40，矛盾，所以原假设不成立， 故MAB不可能为等边三角形. 22解：因为S11，S2（12），S3123，S4（1234）， 所以猜想，+n）= 证明： 当n1时，而已知S1a1， （1）2121结论成立 假设nk时，则nk1时， Sk1Skak1（1）k2（k1）2 ，结论成立 由知成立