数学新同步湘教版选修23讲义精练：第7章 7.1 两个计数原理 Word版含解析

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1、71两个计数原理两个计数原理第一课时第一课时分类加法计数原理与分步乘法计数原理分类加法计数原理与分步乘法计数原理读教材读教材填要点填要点1分类加法计数原理分类加法计数原理如果完成一件事有如果完成一件事有 n 类办法类办法，在第一类办法中有在第一类办法中有 m1种不同的方法种不同的方法，在第二类办法中在第二类办法中有有m2种不同的方法，种不同的方法，在第，在第 n 类办法中有类办法中有 mn种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法，那么完成这件事共有 Nm1m2mn种不同的方法种不同的方法2分步乘法计数原理分步乘法计数原理如果完成一件事需要分成如果完成一件事需要分成 n 个步骤，第一个步骤有

2、个步骤，第一个步骤有 m1种不同的方法，第二个步骤种不同的方法，第二个步骤有有m2种不同的方法，种不同的方法，第，第 n 个步骤有个步骤有 mn种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法，那么完成这件事共有 Nm1m2m3mn种不同的方法种不同的方法小问题小问题大思维大思维何时使用分类加法计数原理？何时使用分步乘法计数原理？何时使用分类加法计数原理？何时使用分步乘法计数原理？提示：提示：完成一件事时，若每一类方法中的任一种方法均能将这件事从头到尾完成，则完成一件事时，若每一类方法中的任一种方法均能将这件事从头到尾完成，则计算完成这件事的方法总数用分类加法计数原理；完成一件事，若每一步的任一种

3、方法只计算完成这件事的方法总数用分类加法计数原理；完成一件事，若每一步的任一种方法只能完成这件事的一部分，而且必须依次完成所有各步后才能完成这件事，则计算完成这件能完成这件事的一部分，而且必须依次完成所有各步后才能完成这件事，则计算完成这件事的方法总数用分步乘法计数原理事的方法总数用分步乘法计数原理分类加法计数原理的应用分类加法计数原理的应用例例 1甲班有学生甲班有学生 56 人人，其中男生其中男生 36 人人；乙班有学生乙班有学生 58 人人，其中女生其中女生 36 人人；丙班丙班有学生有学生 56 人，其中男生人，其中男生 35 人人(1)从这三个班中选一名学生担任学生会主席，有多少种不同

4、的选法？从这三个班中选一名学生担任学生会主席，有多少种不同的选法？(2)从这三个班的男生中选一人担任学生会体育部部长，有多少种不同的选法？从这三个班的男生中选一人担任学生会体育部部长，有多少种不同的选法？解解(1)分分 3 类类： 从甲班选一名从甲班选一名， 有有 56 种不同选法种不同选法； 从乙班选一名从乙班选一名， 有有 58 种不同选法种不同选法；从丙班选一名从丙班选一名， 有有 56 种不同选法种不同选法 每一种方法都能独立完成每一种方法都能独立完成“选一名学生担任学生会主席选一名学生担任学生会主席”这件事，根据分类加法计数原理，共有这件事，根据分类加法计数原理，共有 5658561

5、70 种不同的选法种不同的选法(2)分分 3 类：类：从甲班选一名男生，有从甲班选一名男生，有 36 种不同选法；种不同选法；从乙班选一名男生，有从乙班选一名男生，有 583622 种不同选法；种不同选法；从丙班选一名男生，有从丙班选一名男生，有 35 种不同选法种不同选法根据分类加法计数原理，共有根据分类加法计数原理，共有 36223593 种不同的选法种不同的选法用分类加法计数原理解题应注意以下问题：用分类加法计数原理解题应注意以下问题：(1)明确题目中所指的明确题目中所指的“完成一件事完成一件事”是什么事，完成这件事可以有哪些办法，怎样才是什么事，完成这件事可以有哪些办法，怎样才算完成这

6、件事算完成这件事(2)分类计数原理中的分类计数原理中的“分类分类”要全面、不能遗漏，但也不能重复、交叉要全面、不能遗漏，但也不能重复、交叉(3)“类类”与与“类类”之间是并列的、互斥的、独立的，也就是说，完成一件事情，每次之间是并列的、互斥的、独立的，也就是说，完成一件事情，每次只能选择其中的一类办法中的某一种方法只能选择其中的一类办法中的某一种方法(4)若完成某件事情有若完成某件事情有 n 类办法，则它们两两的交集为空集，类办法，则它们两两的交集为空集，n 类的并集为全集类的并集为全集1在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共

7、有多少个？解：解：法一法一：按十位上的数字分别是按十位上的数字分别是 1,2,3,4,5,6,7,8 的情况分成的情况分成 8 类，在每一类中满足题类，在每一类中满足题目条件的两位数分别有目条件的两位数分别有 8 个，个，7 个，个，6 个，个，5 个，个，4 个，个，3 个，个，2 个，个，1 个由分类加法计数个由分类加法计数原理知，符合题意的两位数共有原理知，符合题意的两位数共有 8765432136(个个)法二：法二：按个位上的数字是按个位上的数字是 2,3,4,5,6,7,8,9 分成分成 8 类，在每一类中满足条件的两位数分别类，在每一类中满足条件的两位数分别有有 1 个，个，2 个

8、，个，3 个，个，4 个，个，5 个，个，6 个，个，7 个，个，8 个，所以按分类加法计数原理，满足条件个，所以按分类加法计数原理，满足条件的两位数共有的两位数共有 1234567836(个个)分步乘法计数原理的应用分步乘法计数原理的应用例例 2从从 1,2,3,4 中选三个数字中选三个数字，组成无重复数字的整数组成无重复数字的整数，则分别满足下列条件的数有则分别满足下列条件的数有多少个？多少个？(1)三位数；三位数；(2)三位数的偶数三位数的偶数解解(1)三位数有三个数位，三位数有三个数位，百位百位 十位十位 个位个位故可分三个步骤完成：故可分三个步骤完成：第一步，排个位，从第一步，排个位

9、，从 1,2,3,4 中选中选 1 个数字，有个数字，有 4 种方法；种方法；第二步，排十位，从剩下的第二步，排十位，从剩下的 3 个数字中选个数字中选 1 个，有个，有 3 种方法；种方法；第三步第三步，排百位排百位，从剩下的从剩下的 2 个数字中选个数字中选 1 个个，有有 2 种方法种方法依据分步乘法计数原理依据分步乘法计数原理，共有共有 43224 个满足要求的三位数个满足要求的三位数(2)分三个步骤完成：分三个步骤完成：第一步，排个位，从第一步，排个位，从 2,4 中选中选 1 个，有个，有 2 种方法；种方法；第二步，排十位，从余下的第二步，排十位，从余下的 3 个数字中选个数字中

10、选 1 个，有个，有 3 种方法；种方法；第三步，排百位，只能从余下的第三步，排百位，只能从余下的 2 个数字中选个数字中选 1 个，有个，有 2 种方法种方法故共有故共有 23212 个三位数的偶数个三位数的偶数利用分步乘法计数原理应注意：利用分步乘法计数原理应注意：(1)要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的(2)“步步”与与“步步”之间是连续的、不间断的或缺一不可的，但也不能重复、交叉之间是连续的、不间断的或缺一不可的，但也不能重复、交叉(3)若完成某件事情需若完成某件事情需 n 步步，则必须且只需依次完成这则必须且只需依次完成这

11、 n 个步骤后个步骤后，这件事情才算完成这件事情才算完成2乒乓球队的乒乓球队的 10 名队员中有名队员中有 3 名主力队员名主力队员，派派 5 名参加比赛名参加比赛，3 名主力队员要安排在名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余第一、三、五位置，其余 7 名队员选名队员选 2 名安排在第二、四位置，求不同的出场安排共有多名安排在第二、四位置，求不同的出场安排共有多少种？少种？解：解：法一法一：按出场次序，第一位置队员的安排有按出场次序，第一位置队员的安排有 3 种方法，第二位置队员的安排有种方法，第二位置队员的安排有 7种方法，第三位置队员的安排有种方法，第三位置队员的安排有 2 种方法，第四

12、位置队员的安排有种方法，第四位置队员的安排有 6 种方法，第五位置队种方法，第五位置队员的安排只有员的安排只有 1 种方法种方法由分步乘法计数原理，得不同的出场安排种数为由分步乘法计数原理，得不同的出场安排种数为 37261252.法二：法二：按主力与非主力，分两步安排按主力与非主力，分两步安排第一步，安排第一步，安排 3 名主力队员在第一、三、五位置上，有名主力队员在第一、三、五位置上，有 6 种方法，种方法，第二步，安排第二步，安排 7 名非主力队员中的名非主力队员中的 2 名在第二、四位置上，有名在第二、四位置上，有 76 种方法种方法由分步乘法计数原理，得不同的出场安排种数为由分步乘法

13、计数原理，得不同的出场安排种数为 676252.两个计数原理的综合问题两个计数原理的综合问题例例 3若直线方程若直线方程 AxBy0 中的中的 A， B 可以从可以从 0,1,2,3,5 这五个数字中任取两个不同这五个数字中任取两个不同的数字，则方程所表示的不同直线共有多少条？的数字，则方程所表示的不同直线共有多少条？解解分两类完成分两类完成第第 1 类，当类，当 A 或或 B 中有一个为中有一个为 0 时，时，表示的直线为表示的直线为 x0 或或 y0，共，共 2 条条第第 2 类，当类，当 A，B 不为不为 0 时，时，直线直线 AxBy0 被确定需分两步完成被确定需分两步完成第第 1 步

14、，确定步，确定 A 的值，的值，有有 4 种不同的方法；种不同的方法；第第 2 步，确定步，确定 B 的值，的值，有有 3 种不同的方法种不同的方法由分步乘法计数原理知，由分步乘法计数原理知，共可确定共可确定 4312 条直线条直线由分类加法计数原理知，由分类加法计数原理知，方程所表示的不同直线共有方程所表示的不同直线共有21214 条条利用两个计数原理解题时的三个注意点利用两个计数原理解题时的三个注意点(1)当题目无从下手时，可考虑要完成的这件事是什么，即怎样做才算完成这件事，然当题目无从下手时，可考虑要完成的这件事是什么，即怎样做才算完成这件事，然后给出完成这件事的一种或几种方法，从这几种

15、方法中归纳出解题方法后给出完成这件事的一种或几种方法，从这几种方法中归纳出解题方法(2)分类时标准要明确，做到不重不漏，有时要恰当画出示意图或树形图，使问题的分分类时标准要明确，做到不重不漏，有时要恰当画出示意图或树形图，使问题的分析更直观、清楚，便于探索规律析更直观、清楚，便于探索规律(3)综合问题一般是先分类再分步综合问题一般是先分类再分步3某电视台的主持人在某综艺节目中拿出两个信箱某电视台的主持人在某综艺节目中拿出两个信箱，其中放着竞猜中成绩优秀的观众其中放着竞猜中成绩优秀的观众来信，甲箱中有来信，甲箱中有 30 封，乙箱中有封，乙箱中有 20 封，现由主持人抽奖确定幸运观众，若先从中确

16、定一封，现由主持人抽奖确定幸运观众，若先从中确定一名幸运之星，再从两箱中各确定一名幸运观众，则有多少种不同结果？名幸运之星，再从两箱中各确定一名幸运观众，则有多少种不同结果？解：解：若幸运之星在甲箱中抽取，若幸运之星在甲箱中抽取，则有则有 30292017 400 种不同的结果；种不同的结果；若幸运之星在乙箱中抽取，若幸运之星在乙箱中抽取，则有则有 20193011 400 种不同的结果种不同的结果故共有故共有 17 40011 40028 800 种不同结果种不同结果解题高手解题高手易错题易错题某外语组有某外语组有 9 人人，每人至少会英语和日语中的一门每人至少会英语和日语中的一门，其中其中

17、 7 人会英语人会英语，3 人会日语人会日语，从从中选出会英语和日语的各一人，有多少种不同的选法？中选出会英语和日语的各一人，有多少种不同的选法？尝试尝试错解错解第一步，从会英语的第一步，从会英语的 7 人中选一人，有人中选一人，有 7 种选法；种选法；第二步，从会日语的第二步，从会日语的 3 人中选一人，有人中选一人，有 3 种选法，种选法，故共有故共有 7321(种种)不同的选法不同的选法错因错因由题目条件可知由题目条件可知，外语组共有外语组共有 9 人人，显然错解误认为会英语的显然错解误认为会英语的 7 人人，会日语会日语的的3 人人， 共共 10 人人 而忽视了其中有一人既会英语又会日

18、语这一隐含条件而忽视了其中有一人既会英语又会日语这一隐含条件， 从而导致解题错误从而导致解题错误 由由于该题中既会英语又会日语的有于该题中既会英语又会日语的有 1 人人，而选不选该人对下一步都有影响而选不选该人对下一步都有影响，所以要进行分类所以要进行分类：第一类他不当选第一类他不当选；第二类按会英语当选第二类按会英语当选；第三类按会日语当选第三类按会日语当选在每一类中在每一类中，又要分两步又要分两步，因此是先分类后分步问题因此是先分类后分步问题正解正解“完成一件事完成一件事”指指“从从 9 人中选出会英语与日语的各人中选出会英语与日语的各 1 人人”，故需分三类故需分三类：既会英语又会日语的

19、不当选；既会英语又会日语的不当选；既会英语又会日语的按会英语当选；既会英语又会日语的按会英语当选；既会英语又会日语既会英语又会日语的按会日语当选的按会日语当选既会英语又会日语的有既会英语又会日语的有 7391(人人)，仅会英语的有仅会英语的有 6 人人，仅会日语的有仅会日语的有 2 人人先分先分类后分步类后分步，从仅会英从仅会英、日语的人中各选日语的人中各选 1 人有人有 62 种选法种选法；从仅会英语与英从仅会英语与英、日语都会的日语都会的人中各人中各选选 1 人人有有 61 种选法种选法； 从仅会日语与英从仅会日语与英、 日语都会的人中各日语都会的人中各选选 1 人人有有 21 种选法种选

20、法 根根据分类加法计数原理，共有据分类加法计数原理，共有 62612120(种种)不同选法不同选法1某同学从某同学从 4 本不同的科普杂志，本不同的科普杂志，3 本不同的文摘杂志，本不同的文摘杂志，2 本不同的娱乐新闻杂志中本不同的娱乐新闻杂志中任选一本阅读，则不同的选法共有任选一本阅读，则不同的选法共有()A24 种种B9 种种C3 种种D26 种种解析解析：选选 B不同的杂志本数为不同的杂志本数为 4329 种种，从其中任选一本阅读从其中任选一本阅读，共有共有 9 种选法种选法2(全国卷全国卷)如图如图，小明从街道的小明从街道的 E 处出发处出发，先到先到 F 处与小红会合处与小红会合，再

21、一起到位于再一起到位于 G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为()A24B18C12D9解析：解析：选选 B由题意可知由题意可知 EF 有有 6 种走法，种走法，FG 有有 3 种走法，由分步乘法计数原理种走法，由分步乘法计数原理知，共知，共 6318 种走法种走法3如果一条直线与一个平面平行如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个那么称此直线与平面构成一个“平行线面组平行线面组”在在一个长方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的一个长方体中，由两个顶点确定的直线与含

22、有四个顶点的平面构成的“平行线面组平行线面组”的个的个数是数是()A60B48C36D24解析解析：选选 B长方体的长方体的 6 个表面构成的个表面构成的“平行线面组平行线面组”有有 6636(个个)，另外含另外含 4 个顶个顶点的点的 6 个面个面(非表面非表面)构成的构成的“平行线面组平行线面组”有有 6212(个个)，所以共有，所以共有 361248(个个)4已知已知 x2,3,7，y3，4,8，则，则 xy 可表示不同的值的个数为可表示不同的值的个数为_解析解析：分两步分两步：第第 1 步步，在集合在集合2,3,7中任取一个值中任取一个值，有有 3 种不同取法种不同取法；第第 2 步步

23、，在集在集合合3，4,8中任取一个值，有中任取一个值，有 3 种不同取法故种不同取法故 xy 可表示可表示 339 个不同的值个不同的值答案：答案：95现有现有 4 件不同款式的上衣和件不同款式的上衣和 3 条不同颜色的长裤条不同颜色的长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种数为套，则不同的配法种数为_解析解析：完成配成一套衣服这件事分两步完成配成一套衣服这件事分两步：第一步选长裤第一步选长裤，有有 3 种选法种选法，第二步选上衣第二步选上衣，有有 4 种选法，共有种选法，共有 3412 种不同配法种不同配法答案：答案：126某座山某座山，若从东侧通往山

24、顶的道路有若从东侧通往山顶的道路有 3 条条，从西侧通往山顶的道路有从西侧通往山顶的道路有 2 条条，其余无其余无道路通向山顶道路通向山顶(1)某游人从一侧上山，另一侧下山，共有多少种不同的走法？某游人从一侧上山，另一侧下山，共有多少种不同的走法？(2)某游人任意选择上山与下山的道路，共有多少种不同的走法？某游人任意选择上山与下山的道路，共有多少种不同的走法？解解：(1)分两类分两类：从东侧上山从东侧上山，西侧下山西侧下山，走法有走法有 326(种种)；从西侧上山从西侧上山，东侧东侧下山，走法有下山，走法有 236(种种)，所以共有，所以共有 6612(种种)不同的走法不同的走法(2)法一：法

25、一：完成从上山到下山这件事可分为四类：完成从上山到下山这件事可分为四类：从东侧上山，且从东侧下山，走法有从东侧上山，且从东侧下山，走法有 33 种；种；从东侧上山，从西侧下山，走法有从东侧上山，从西侧下山，走法有 32 种；种；从西侧上山，从东侧下山，走法有从西侧上山，从东侧下山，走法有 23 种；种；从西侧上山，且从西侧下山，走法有从西侧上山，且从西侧下山，走法有 22 种种根据分类加法计数原理知，根据分类加法计数原理知，共有共有 3332232225(种种)不同的走法不同的走法法二：法二：上山共有上山共有 5 条道路，下山也有条道路，下山也有 5 条道路，由分步乘法计数原理得从上山到下山条

26、道路，由分步乘法计数原理得从上山到下山共有共有 5525(种种)不同的走法不同的走法一、选择题一、选择题1从从 3 名女同学和名女同学和 2 名男同学中选出一人主持本班一次班会，则不同的选法种数为名男同学中选出一人主持本班一次班会，则不同的选法种数为()A6B5C3D2答案：答案：B2在在 2,3,5,7,11 这五个数字中，任取两个数字组成分数，其中假分数的个数为这五个数字中，任取两个数字组成分数，其中假分数的个数为()A20B10C5D24解析：解析：选选 B假分数的分子大于分母故以假分数的分子大于分母故以 2 2 为分母的有为分母的有 4 4 个；以个；以 3 3 为分母的有为分母的有

27、3 3 个个；以以 5 5 为分母的有为分母的有 2 2 个；以个；以 7 7 为分母的只有为分母的只有 1 1 个由分类加法计数原理知共有个由分类加法计数原理知共有 4 43 32 21 11010 个个3 从集合从集合0,1,2,3,4,5,6中任取两个互不相等的中任取两个互不相等的数数 a， b 组成复组成复数数 abi， 其中虚数有其中虚数有()A30 个个B42 个个C36 个个D35 个个解析：解析：选选 C要完成这件事可分两步，第一步确定要完成这件事可分两步，第一步确定 b(b0)有有 6 种方法，第二步确定种方法，第二步确定 a有有 6 种方法，故由分步乘法计数原理知共有种方法

28、，故由分步乘法计数原理知共有 6636 个虚数个虚数4已知两条异面直线已知两条异面直线 a，b 上分别有上分别有 5 个点和个点和 8 个点个点，则这则这 13 个点可以确定不同的平个点可以确定不同的平面个数为面个数为()A40B16C13D10解析：解析：选选 C分两类：第分两类：第 1 类，直线类，直线 a 与直线与直线 b 上上 8 个点可以确定个点可以确定 8 个不同的平面；个不同的平面；第第 2 类，直线类，直线 b 与直线与直线 a 上上 5 个点可以确定个点可以确定 5 个不同的平面个不同的平面故可以确定故可以确定 8513 个不同的平面个不同的平面二、填空题二、填空题5已知已知

29、 a2,4,6,8，b3,5,7,9，能组成，能组成 logab1 的对数值有的对数值有_个个解析：解析：分四类，当分四类，当 a2 时，时，b 取取 3,5,7,9 四种情况；四种情况；当当 a4 时，时，b 取取 5,7,9 三种情况；三种情况；当当 a6 时，时，b 取取 7,9 两种情况；两种情况；当当 a8 时，时，b 取取 9 一种情况，一种情况，所以总共有所以总共有 432110 种，又种，又 log23log49，所以对数值有所以对数值有 9 个个答案答案：96圆周上有圆周上有 2n 个等分点个等分点(n 大于大于 2)，任取，任取 3 个点可得一个三角形，恰为直角三角形的个点

30、可得一个三角形，恰为直角三角形的个数为个数为_解析解析：先在圆周上找一点先在圆周上找一点，因为有因为有 2n 个等分点个等分点，所以应有所以应有 n 条直径条直径，不过该点的直径不过该点的直径应有应有 n1 条条，这这 n1 条直径都可以与该点形成直角三角形条直径都可以与该点形成直角三角形，即一个点可形成即一个点可形成 n1 个直角个直角三角形，而这样的点有三角形，而这样的点有 2n 个，所以一共可形成个，所以一共可形成 2n(n1)个符合条件的直角三角形个符合条件的直角三角形答案：答案：2n(n1)7已知已知 A1,0,1,2,3，B0，13，2，4，5，且且 aA，bB，则不同的双曲线则不

31、同的双曲线x2a2y2b21(a0，b0)共有共有_条条解析：解析：a 可取可取 1,2,3；b 可取可取13，2,4,5，故不同的双曲线，故不同的双曲线x2a2y2b21(a0，b0)共有共有 3412(条条)答案：答案：1285 名乒乓球队员中，有名乒乓球队员中，有 2 名老队员和名老队员和 3 名新队员现从中选出名新队员现从中选出 3 名队员参加团体比名队员参加团体比赛，则入选的赛，则入选的 3 名队员中至少有一名老队员的选法有名队员中至少有一名老队员的选法有_种种(用数字作答用数字作答)解析：解析：分为两类完成，两名老队员、一名新队员时，有分为两类完成，两名老队员、一名新队员时，有 3

32、 种选法；两名新队员、一名种选法；两名新队员、一名老队员时，有老队员时，有 236 种选法，即共有种选法，即共有 9 种不同选法种不同选法答案：答案：9三、解答题三、解答题9已知集合已知集合 M3，2，1,0,1,2，P(a，b)表示平面上的点表示平面上的点(a，bM)，问：，问：(1)P 可表示平面上多少个不同的点？可表示平面上多少个不同的点？(2)P 可表示平面上多少个第二象限的点？可表示平面上多少个第二象限的点？(3)P 可表示多少个不在直线可表示多少个不在直线 yx 上的点？上的点？解解：(1)确定平面上的点确定平面上的点 P(a，b)可分两步完成可分两步完成：第一步确定第一步确定 a

33、 的值的值，共有共有 6 种方法种方法；第第二步确定二步确定 b 的值的值，也有也有 6 种方法种方法根据分步乘法计数原理根据分步乘法计数原理，得到得到 P(a，b)可表示平面上可表示平面上 6636(个个)不同的点不同的点(2)确定第二象限的点确定第二象限的点，可分两步完成可分两步完成：第一步确定第一步确定 a，因为因为 a0，所以有，所以有 2 种确定方法由分步乘法计数原理，得到种确定方法由分步乘法计数原理，得到 P(a，b)可表可表示平面上示平面上 326(个个)第二象限的点第二象限的点(3)点点 P(a，b)在直线在直线 yx 上的充要条件是上的充要条件是 ab.因此因此 a 和和 b

34、 必须在集合必须在集合 M 中取同一元中取同一元素素，共有共有 6 种取法种取法，即在直线即在直线 yx 上的点有上的点有 6 个个由由(1)得不在直线得不在直线 yx 上的点共有上的点共有 36630 个个10现有高一四个班的学生现有高一四个班的学生 34 人，其中一、二、三、四班分别有人，其中一、二、三、四班分别有 7 人、人、8 人、人、9 人、人、10 人，他们自愿组成数学课外小组人，他们自愿组成数学课外小组(1)选其中一人为负责人，有多少种不同的选法？选其中一人为负责人，有多少种不同的选法？(2)每班选一名组长，有多少种不同的选法？每班选一名组长，有多少种不同的选法？(3)推选两人做

35、中心发言，这两人需来自不同的班级，有多少种不同的选法？推选两人做中心发言，这两人需来自不同的班级，有多少种不同的选法？解：解：(1)分四类：第一类，从一班学生中选分四类：第一类，从一班学生中选 1 人，有人，有 7 种选法；第二类，从二班学生中种选法；第二类，从二班学生中选选 1 人，有人，有 8 种选法；第三类，从三班学生中选种选法；第三类，从三班学生中选 1 人，有人，有 9 种选法；第四类，从四班学生种选法；第四类，从四班学生中选中选 1 人，有人，有 10 种选法种选法所以共有不同的选法所以共有不同的选法 N7891034(种种)(2)分四步：第一、二、三、四步分别从一、二、三、四班学

36、生中选一人任组长分四步：第一、二、三、四步分别从一、二、三、四班学生中选一人任组长所以共有不同的选法所以共有不同的选法 N789105 040(种种)(3)分六类分六类，每类又分两步每类又分两步：从一从一、二班学生中各选二班学生中各选 1 人人，有有 78 种不同的选法种不同的选法；从一从一、三班学生中各选三班学生中各选 1 人人，有有 79 种不同的选法种不同的选法；从一从一、四班学生中各选四班学生中各选 1 人人，有有 710 种不种不同的选法；从二、三班学生中各选同的选法；从二、三班学生中各选 1 人，有人，有 89 种不同的选法；从二、四班学生中各选种不同的选法；从二、四班学生中各选

37、1人，有人，有 810 种不同的选法；从三、四班学生中各选种不同的选法；从三、四班学生中各选 1 人，有人，有 910 种不同的选法种不同的选法所以，共有不同的选法所以，共有不同的选法 N787971089810910431(种种)第二课时第二课时分类加法计数原理与分步乘法计数原理的应用分类加法计数原理与分步乘法计数原理的应用选选(抽抽)与分配问题与分配问题例例 1有四位同学参加三项不同的竞赛有四位同学参加三项不同的竞赛(1)每位学生必须参加且只能参加一项竞赛，有多少种不同结果？每位学生必须参加且只能参加一项竞赛，有多少种不同结果？(2)每项竞赛只许一位学生参加，有多少种不同结果？每项竞赛只许

38、一位学生参加，有多少种不同结果？解解(1)学生可以选择竞赛项目学生可以选择竞赛项目， 而竞赛项目对于学生无条件限制而竞赛项目对于学生无条件限制， 所以每位学生均所以每位学生均有有3 个不同的机会个不同的机会要完成这件事必须是每位学生参加的竞赛全部确定下来才行要完成这件事必须是每位学生参加的竞赛全部确定下来才行，因此需分四因此需分四步而每位学生均有步而每位学生均有 3 个不同机会，所以用分步乘法计数原理可得个不同机会，所以用分步乘法计数原理可得 33333481 种种不同结果不同结果(2)竞赛项目可挑选学生，而学生无选择项目的机会，每一个项目可挑选竞赛项目可挑选学生，而学生无选择项目的机会，每一

39、个项目可挑选 4 位不同学生位不同学生中的一位中的一位要完成这件事必须是每项竞赛所参加的学生全部确定下来才行要完成这件事必须是每项竞赛所参加的学生全部确定下来才行，因此需分三步因此需分三步，用分步乘法计数原理可得用分步乘法计数原理可得 4444364 种不同结果种不同结果保持例题条件不变，若每位学生只能参加一项竞赛，且每项竞赛只许一位学生参加，保持例题条件不变，若每位学生只能参加一项竞赛，且每项竞赛只许一位学生参加，则共有多少种不同结果？则共有多少种不同结果？解：解：第一个项目可挑选第一个项目可挑选 4 个学生中的一位，有个学生中的一位，有 4 种不同的选法；第二个项目可从剩余种不同的选法；第

40、二个项目可从剩余的的 3 个学生中选一位个学生中选一位，有有 3 种不同的选法种不同的选法；第三个项目可从剩余的第三个项目可从剩余的 2 位学生中选一位位学生中选一位，有有 2种不同的选法，故共有种不同的选法，故共有 43224 种不同结果种不同结果选选(抽抽)取与分配问题的常见类型及其解法取与分配问题的常见类型及其解法(1)当涉及对象数目不大时，一般选用枚举法、树形图法、框图法或者图表法当涉及对象数目不大时，一般选用枚举法、树形图法、框图法或者图表法(2)当涉及对象数目很大时，一般有两种方法：当涉及对象数目很大时，一般有两种方法：直接使用分类加法计数原理或分步乘法计数原理一般地，若抽取是有顺

41、序的就按直接使用分类加法计数原理或分步乘法计数原理一般地，若抽取是有顺序的就按分步进行；若按对象特征抽取的，则按分类进行分步进行；若按对象特征抽取的，则按分类进行间接法：去掉限制条件计算所有的抽取方法数，然后减去所有不符合条件的抽取方间接法：去掉限制条件计算所有的抽取方法数，然后减去所有不符合条件的抽取方法数即可法数即可1有有 4 位老师在同一年级的位老师在同一年级的 4 个班级中各教一个班的数学个班级中各教一个班的数学，在数学考试时在数学考试时，要求每位要求每位老师均不在本班监考，则安排监考的方法种数是老师均不在本班监考，则安排监考的方法种数是()A11B10C9D8解析解析：选选 C法一法

42、一：设四个班级分别是设四个班级分别是 A，B，C，D，它们的老师分别是它们的老师分别是 a，b，c，d，并设并设 a 监考的是监考的是 B，则剩下的三个老师分别监考剩下的三个班级，共有，则剩下的三个老师分别监考剩下的三个班级，共有 3 种不同的方法；种不同的方法；同理当同理当 a 监考监考 C， D 时时， 剩下的三个老师分别监考剩下的三个班级也各有剩下的三个老师分别监考剩下的三个班级也各有 3 种不同的方法种不同的方法 这这样，由分类加法计数原理知共有样，由分类加法计数原理知共有 3339 种不同的安排方法种不同的安排方法法二法二：让让 a 先选先选，可从可从 B，C，D 中选一个中选一个，

43、即有即有 3 种选法种选法若选的是若选的是 B，则则 b 从剩下从剩下的的 3 个班级中任选一个，也有个班级中任选一个，也有 3 种选法，剩下的两个老师都只有一种选法，根据分步乘法种选法，剩下的两个老师都只有一种选法，根据分步乘法计数原理知，共有计数原理知，共有 33119 种不同安排方法种不同安排方法2从从 6 名志愿者中选名志愿者中选 4 人分别从事翻译人分别从事翻译、导游导游、导购导购、保洁四项不同的工作保洁四项不同的工作，若其中若其中甲、乙两名志愿者不能从事翻译工作，则选派方案共有甲、乙两名志愿者不能从事翻译工作，则选派方案共有()A280 种种B240 种种C180 种种D96 种种

44、解析解析：选选 B由于甲由于甲、乙不能从事翻译工作乙不能从事翻译工作，因此翻译工作从余下的因此翻译工作从余下的 4 名志愿者中选名志愿者中选 1人，有人，有 4 种选法后面三项工作的选法有种选法后面三项工作的选法有 543 种，因此共有种，因此共有 4543240 种选派种选派方案方案组数问题组数问题例例 2用用 0,1,2,3,4 这五个数字可以组成多少个无重复的数字：这五个数字可以组成多少个无重复的数字：(1)银行存折的四位密码？银行存折的四位密码？(2)四位整数？四位整数？(3)四位奇数？四位奇数？解解(1)完成完成“组成无重复数字的四位密码组成无重复数字的四位密码”这件事，可以分四个步

45、骤：这件事，可以分四个步骤：第一步：选取左边第一个位置上的数字，有第一步：选取左边第一个位置上的数字，有 5 种选取方法；种选取方法；第二步：选取左边第二个位置上的数字，有第二步：选取左边第二个位置上的数字，有 4 种选取方法；种选取方法；第三步：选取左边第三个位置上的数字，有第三步：选取左边第三个位置上的数字，有 3 种选取方法；种选取方法；第四步：选取左边第四个位置上的数字，有第四步：选取左边第四个位置上的数字，有 2 种选取方法种选取方法由分步乘法计数原理知，可组成不同的四位密码共有由分步乘法计数原理知，可组成不同的四位密码共有N5432120(个个)(2)完成完成“组成无重复数字的四位

46、整数组成无重复数字的四位整数”这件事，可以分四个步骤：这件事，可以分四个步骤：第一步：从第一步：从 1,2,3,4 中选取一个数字作千位数字，有中选取一个数字作千位数字，有 4 种不同的选取方法；种不同的选取方法；第二步：从第二步：从 1,2,3,4 中剩余的三个数字和中剩余的三个数字和 0 共四个数字中选取一个数字作百位数字，共四个数字中选取一个数字作百位数字，有有4 种不同的选取方法；种不同的选取方法；第三步：从剩余的三个数字中选取一个数字作十位数字，有第三步：从剩余的三个数字中选取一个数字作十位数字，有 3 种不同的选取方法；种不同的选取方法；第四步：从剩余的两个数字中选取一个数字作个位

47、数字，有第四步：从剩余的两个数字中选取一个数字作个位数字，有 2 种不同的选取方法种不同的选取方法由分步乘法计数原理知，可组成不同的四位数共有由分步乘法计数原理知，可组成不同的四位数共有 N443296(个个)(3)完成完成“组成无重复数字的四位奇数组成无重复数字的四位奇数”这件事，有两类办法：这件事，有两类办法：第一类办法，四位奇数的个位数字为第一类办法，四位奇数的个位数字为 1，这件事分三个步骤完成，这件事分三个步骤完成第一步：从第一步：从 2,3,4 中选取一个数字作千位数字，有中选取一个数字作千位数字，有 3 种不同的选取方法；种不同的选取方法；第二步第二步：从从 2,3,4 中剩余的

48、两个数字与中剩余的两个数字与 0 共三个数字中选取一个数字作百位数字有共三个数字中选取一个数字作百位数字有 3 种种不同的选取方法；不同的选取方法；第三步：从剩余的两个数字中，选取一个数字作十位数字，有第三步：从剩余的两个数字中，选取一个数字作十位数字，有 2 种不同的选取方法种不同的选取方法由分步乘法计数原理知，第一类中的四位奇数共有由分步乘法计数原理知，第一类中的四位奇数共有N133218(个个)第二类办法，四位奇数的个位数字为第二类办法，四位奇数的个位数字为 3，这件事分三个步骤完成，这件事分三个步骤完成第一步：从第一步：从 1,2,4 中选取一个数字作千位数字，有中选取一个数字作千位数

49、字，有 3 种不同的选取方法；种不同的选取方法；第二步：从第二步：从 1,2,4 中剩余的两个数字和中剩余的两个数字和 0 共三个数字中选取一个数字作百位数字，有共三个数字中选取一个数字作百位数字，有 3种不同的选取方法；种不同的选取方法；第三步：从剩余的两个数字中，选取一个数字作十位数字，有第三步：从剩余的两个数字中，选取一个数字作十位数字，有 2 种不同的选取方法种不同的选取方法由分步乘法计数原理知，第二类中的四位奇数共有由分步乘法计数原理知，第二类中的四位奇数共有N233218(个个)最后，由分类加法计数原理知，符合条件的四位奇数共有最后，由分类加法计数原理知，符合条件的四位奇数共有 N

50、N1N236(个个)保持例题条件不变，有多少个比保持例题条件不变，有多少个比 2 000 大的整数？大的整数？解：解：按千位按千位百位百位十位十位个位的顺序接排，分别有个位的顺序接排，分别有 3,4,3,2 种不同的方法，由分步乘种不同的方法，由分步乘法计数原理知，共有法计数原理知，共有 343272 个比个比 2 000 大的整数大的整数对于组数问题的计数对于组数问题的计数，一般按特殊位置一般按特殊位置(末位或首位末位或首位)由谁占领分类由谁占领分类，每类中再按特殊位每类中再按特殊位置置(或元素或元素)优先的方法分步来计数当分类较多时，可用间接法处理优先的方法分步来计数当分类较多时，可用间接

51、法处理3由数字由数字 0,1,2,3,4,5 可组成多少个没有重复数字且不能被可组成多少个没有重复数字且不能被 5 整除的四位数字？整除的四位数字？解：解：组成四位数可分四步，第一步排千位有组成四位数可分四步，第一步排千位有 5 种，第二步排百位有种，第二步排百位有 5 种，第三步排十种，第三步排十位有位有 4 种种， 第四步排个位有第四步排个位有 3 种种 由分步乘法计数原理得共有四位数由分步乘法计数原理得共有四位数 5543300(个个)同理，个位数为同理，个位数为 0 的四位数有的四位数有 60 个，个位数为个，个位数为 5 的四位数有的四位数有 48 个个不能被不能被 5 整除的四位数

52、共有整除的四位数共有 3004860192(个个)种植与涂色问题种植与涂色问题例例 3用用 6 种不同颜色为如图所示的广告牌着色种不同颜色为如图所示的广告牌着色，要求在要求在 A，B，C，D 四个区域中相四个区域中相邻邻(有公共边的有公共边的)区域不用同一种颜色，求共有多少种不同的着色方法？区域不用同一种颜色，求共有多少种不同的着色方法？解解法一：法一：分类：分类：第一类，第一类，A，D 涂同色，涂同色，有有 654120 种涂法，种涂法，第二类，第二类，A，D 涂异色，涂异色，有有 6543360 种涂法，种涂法，共有共有 120360480 种涂法种涂法法二：法二：分步：先涂分步：先涂 B

53、 区，有区，有 6 种涂法，种涂法，再涂再涂 C 区，有区，有 5 种涂法，最后涂种涂法，最后涂 A，D 区域，各有区域，各有 4 种涂法，种涂法，所以共有所以共有 6544480 种涂法种涂法解答区域涂色解答区域涂色(种植种植)问题时，为便于分析问题，先给区域问题时，为便于分析问题，先给区域(种植的品种种植的品种)标上相应序号，标上相应序号，然后按涂色然后按涂色(种植种植)的顺序分步或颜色的顺序分步或颜色(种植的品种种植的品种)当选情况分类，最后利用两个计数原理求当选情况分类，最后利用两个计数原理求解解4.有有 4 种不同的作物可供选择种植在如图所示的种不同的作物可供选择种植在如图所示的 4

54、 块试验田中块试验田中，每块种植一种作物每块种植一种作物，相相邻的试验田邻的试验田(有公共边有公共边)不能种植同一种作物，共有多少种不同的种植方法？不能种植同一种作物，共有多少种不同的种植方法？ABCD解：解：法一：法一：第一步：种植第一步：种植 A 试验田有试验田有 4 种方法；种方法；第二步：种植第二步：种植 B 试验田有试验田有 3 种方法：种方法：第三步第三步： 若若 C 试验田种植的作物与试验田种植的作物与 B 试验田相同试验田相同， 则则 D 试验田有试验田有 3 种方法种方法， 此时有此时有 133 种种植方法种种植方法若若 C 试验田种植的作物与试验田种植的作物与 B 试验田不

55、同试验田不同，则则 C 试验田有试验田有 2 种种植方法种种植方法，D 也有也有 2 种种种种植方法，共有植方法，共有 224 种种植方法种种植方法由分类加法计数原理知，有由分类加法计数原理知，有 347 种方法种方法第四步：由分步乘法计数原理有第四步：由分步乘法计数原理有 N43784 种不同的种植方法种不同的种植方法法二法二：(1)若若 A、D 种植同种作物种植同种作物，则则 A、D 有有 4 种不同的种法种不同的种法，B 有有 3 种种植方法种种植方法，C也有也有 3 种种植方法，由分步乘法计数原理，共有种种植方法，由分步乘法计数原理，共有 43336 种种植方法种种植方法(2)若若 A

56、、D 种植不同作物，则种植不同作物，则 A 有有 4 种种植方法，种种植方法，D 有有 3 种种植方法，种种植方法，B 有有 2 种种植种种植方法，方法，C 有有 2 种种植方法，由分步乘法计数原理，共有种种植方法，由分步乘法计数原理，共有 432248 种种植方法种种植方法.综上所述，由分类加法计数原理，共有综上所述，由分类加法计数原理，共有 N364884 种种植方法种种植方法解题高手解题高手妙解题妙解题甲、乙、丙、丁甲、乙、丙、丁 4 个人各写个人各写 1 张贺卡，放在一起，再各取张贺卡，放在一起，再各取 1 张不是自己所写的贺卡，张不是自己所写的贺卡，共有多少种不同取法？共有多少种不同

57、取法？尝试尝试巧思巧思解决本题的关键是取贺卡顺序的确定解决本题的关键是取贺卡顺序的确定如果甲先取如果甲先取，则有则有 3 种不同的取法种不同的取法，假假设甲取到的贺卡是乙写的设甲取到的贺卡是乙写的，则让乙再取卡则让乙再取卡(即甲取到谁写的卡即甲取到谁写的卡，就让准先取就让准先取)，也有也有 3 种不同种不同的取法，则剩余两人的拿法就很显然了的取法，则剩余两人的拿法就很显然了妙解妙解第一步，甲取第一步，甲取 1 张不是自己所写的贺卡，有张不是自己所写的贺卡，有 3 种取法；种取法；第二步，由甲取出的那张贺卡的供卡人取，也有第二步，由甲取出的那张贺卡的供卡人取，也有 3 种取法；种取法；第三步，由

58、剩余两人中任一人取，此时只有第三步，由剩余两人中任一人取，此时只有 1 种取法；种取法；第四步，最后第四步，最后 1 个人取，只有个人取，只有 1 种取法种取法由分步乘法计数原理可知，共有由分步乘法计数原理可知，共有 33119 种取法种取法1由数字由数字 1,2,3,4,5,6 可以组成没有重复数字的两位数的个数是可以组成没有重复数字的两位数的个数是()A11B12C30D36解析：解析：选选 C个位数字有个位数字有 6 种选法，十位数字有种选法，十位数字有 5 种选法，由分步乘法计数原理知，种选法，由分步乘法计数原理知，可组成可组成 6530 个无重复数字的两位数个无重复数字的两位数2.如

59、图所示，一环形花坛分成如图所示，一环形花坛分成 A，B，C，D 四块，现有四种不同的花供选种，要求在四块，现有四种不同的花供选种，要求在每块里种一种花，且相邻的两块种不同的花，则不同的种法种数为每块里种一种花，且相邻的两块种不同的花，则不同的种法种数为()A96B84C60D48解析：解析：选选 B依次种依次种 A，B，C，D4 块，当块，当 C 与与 A 种同一种花时，有种同一种花时，有 431336种种法；当种种法；当 C 与与 A 所种的花不同时，有所种的花不同时，有 432248 种种法由分类加法计数原理知种种法由分类加法计数原理知，不同的种法种数为不同的种法种数为 364884.3甲

60、、乙、丙三个电台，分别有甲、乙、丙三个电台，分别有 3,4,4 人，新年中彼此祝贺，每两个电台的人都彼此人，新年中彼此祝贺，每两个电台的人都彼此一一通话，那么他们一共要通话一一通话，那么他们一共要通话()A40 次次B48 次次C36 次次D24 次次解析：解析：选选 A利用两个原理，利用两个原理，34344440.4现有现有 6 名同学去听同时进行的名同学去听同时进行的 5 个课外知识讲座个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是讲座，不同选法的种数是_解析：解析：依题意知，每位同学都各有依题意知，每位同学都各有 5 种不同的选择，由分步乘

61、法计数原理得知，满足种不同的选择，由分步乘法计数原理得知，满足题意的选法总数为题意的选法总数为 56种种答案：答案：565用数字用数字 2,3 组成四位数，且数字组成四位数，且数字 2,3 至少都出现一次，这样的四位数共有至少都出现一次，这样的四位数共有_个个(用数字作答用数字作答)解析：解析：数字数字 2,3 至少出现一次，可分至少出现一次，可分 2 出现出现 1 次，次，2 次，次，3 次共次共 3 类类第一类：第一类：2 出现一次，即出现一次，即 2,3,3,3，此时，此时 2 可分别位于可分别位于 14 位，共有位，共有 4 种种第二类第二类：2 出现两次出现两次，即即 2,2,3,3

62、，先排先排 2，则则 3 随之确定随之确定，当当 2 先出现在第一位时先出现在第一位时，有有3 种；当种；当 2 先出现第二位时，有先出现第二位时，有 2 种；当种；当 2 先出现第三位时，有先出现第三位时，有 1 种，共有种，共有 1236 种种第三类：第三类：2 出现出现 3 次，即次，即 2,2,2,3，此时可先排，此时可先排 3,2 随之确定，共有随之确定，共有 4 种种共有共有 46414 种不同的排法种不同的排法答案：答案：146将如图所示的四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端点异色将如图所示的四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端点异色，如果只有如果

63、只有 5 种颜色可供使用，求不同的染色方法总数种颜色可供使用，求不同的染色方法总数解：解：按照按照 SABCD 的顺序分类染色，的顺序分类染色，第一类：第一类：A、C 染相同颜色有染相同颜色有 54313180 种；种；第二类：第二类：A、C 染不同颜色有染不同颜色有 54322240 种；种；故共有故共有 180240420 种不同的染色方法种不同的染色方法一、选择题一、选择题1已知函数已知函数 yax2bxc，其中其中 a，b，c0,1,2,3,4，则不同的二次函数的个数共有则不同的二次函数的个数共有()A125B15C100D10解析：解析：选选 C由二次函数的定义知由二次函数的定义知

64、a0.选选 a 的方法有的方法有 4 种选种选 b 与选与选 c 的方法都的方法都有有5 种只有种只有 a、b、c 都确定后，二次函数才确定故由分步乘法计数原理知共有二次函都确定后，二次函数才确定故由分步乘法计数原理知共有二次函数数455100 个个2.用用 4 种不同的颜色涂入图中的矩形种不同的颜色涂入图中的矩形 A，B，C，D 中，要求相邻的矩形涂色不同，则中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂色方法共有不同的涂色方法共有()ABCDA12 种种B24 种种C48 种种D72 种种解析：解析：选选 D先涂先涂 C，有，有 4 种涂法，涂种涂法，涂 D 有有 3 种涂法，涂种涂法，涂 A 有

65、有 3 种涂法，涂种涂法，涂 B 有有 2 种种涂法由分步乘法计数原理，共有涂法由分步乘法计数原理，共有 433272 种涂法种涂法3用用 0 到到 9 这这 10 个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为()A324B328C360D648解析：解析：选选 B分两类第一类：个位是分两类第一类：个位是 0，依次确定百位、十位上的数字，各有，依次确定百位、十位上的数字，各有 9,8 种种方法方法，所以可以组成所以可以组成 9872(个个)三位偶数三位偶数第二类第二类：个位不为个位不为 0，第一步从第一步从 2,4,6,8 四个数四个数字中任选一

66、个作为个位上的数字，有字中任选一个作为个位上的数字，有 4 种方法；第二步确定百位上的数字，有种方法；第二步确定百位上的数字，有 8 种方法；种方法；第三步确定十位上的数字第三步确定十位上的数字，有有 8 种方法种方法，所以可以组成所以可以组成 488256(个个)三位偶数三位偶数根据分根据分类加法计数原理共能组成类加法计数原理共能组成 72256328(个个)三位偶数三位偶数4甲甲、乙两人从乙两人从 4 门课程中各选修门课程中各选修 2 门门，则甲则甲、乙所选的课程中恰有乙所选的课程中恰有 1 门相同的选法门相同的选法有有()A6 种种B12 种种C24 种种D30 种种解析：解析：选选 C可分步完成此事：可分步完成此事：第一步第一步：甲乙选相同的甲乙选相同的 1 门共有门共有 4 种方法种方法；第二步第二步：甲再选甲再选 1 门有门有 3 种方法种方法；第三步第三步：乙再选一门有乙再选一门有 2 种选法，由分步乘法计数原理知：甲、乙所选的课程中恰有种选法，由分步乘法计数原理知：甲、乙所选的课程中恰有 1 门相同的选门相同的选法有法有 43224(种种)二、填空题二、填空题55 只不