第21讲自主招生数学试题中的初等数论

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1、 第二十一讲:初等数论 1 第二十一讲:自主招生数学试题中的初等数论杨老师专论（电话号码：2078159；手机号码：13965261699） 初等数论由于其形式简单,所用的知识不多且富有灵巧性,因而受到大学自主招生考试的青睐.自主招生考试中的数论内容和方法涵盖了数论的主要内容和主体方法. .知识拓展 1.高斯函数: .定义:x表示不超过实数x的最大整数.则y=x称为高斯函数,也叫取整函数.由任一实数都能写成整数部分与非负纯小数之和,即x=x+(01),这里,x称为x的整数部分,而,即x-x称为x的小数部分,记x=x-x. .性质:n+x=n+x,x+n=x,其中xR,nZ;-x=;若nN+,x

2、R,则=x,特别地,=,=(证明:由x-1xxxnxnxn(x+1)xx+1=x). 2.质数合数: .定义:如果一个大于1的正整数,只能被1和它本身整除,那么这个正整数叫做质数(质数也称素数);一个正整数除了能被1和本身整除外,还能被其他的正整数整除,这样的正整数叫做合数; .性质:质数中只有一个偶数;如果两个质数的和或差是奇数,那么其中必有一个是2,如果两个质数的积是偶数,那么其中也必有一个是2;质数有无穷多个;任何合数都可以分解为几个质数的积;合数n的最小质因数不大于; 3.整数分解: .唯一分解定理:任何一个大于1的自然数n都可以唯一分解成几个质数乘积的形式,并且分解的形式是唯一的;其

3、中,n=(pi为质数,i为正整数,i=1,2,m)称为n的标准分解式; .约数个数定理:如果正整数n的标准分解式:n=(pi为质数,i为正整数,i=1,2,m),则n的所有约数(包括1和n)的个数d(n)=; .约数和定理:如果正整数n的标准分解式:n=(pi为质数,i为正整数,i=1,2,m),则n的所有约数包括1和n)的和(n)=; .阶乘分解定理:在n！的标准分解式中,质数p的幂指数=+. 4.整除性质: .整除定义:设a、b为整数,如果存在整数k,使得b=ka,则称a整除b,记为a|b,否则记为ab;特别地,如果an|b,且an+1b(nN+),记作anb. .整除性质:若a|b,b0

4、,则|a|b|;若a|b,kZ,则a|kb;若a|b,nN+,则an|bn;若a|b,b|c,则a|c;若a|c,b|c,(a,b)=1,则ab|c;若a|b,a|c,m、kZ,则a|(mb+kc);若a|b,a|(b+c),则a|c;若a|bc,(a,b)=1,则a|c;若p为质数,p|ab,则p|a,或p|b;若p为质数,p|an,nN+,则p|a. .整除结论:任意n个连续整数的积能被n整除;任意n个连续整数的积能n！被整除;若a、b、m、nN+,且(a,b) 2 第二十一讲:初等数论 =1,则(am+bm)|(an+bn)的充要条件是m|n;若a、b、m、nN+,且(a,b)=1,则(

5、am-bm)|(an-bn)的充要条件是m|n; .整除特征:一个整数能被2整除的充要条件是这个数的个位数字是偶数;一个整数能5被整除的充要条件是这个数的个位数字是0,或5;一个整数能被4整除的充要条件是这个数的未两位数能被4整除;一个整数能被3整除的充要条件是这个数的各位数字之和能被3整除;一个整数能被9整除的充要条件是这个数的各位数字之和能被9整除;一个整数能被11整除的充要条件是这个数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除;一个整数a=10x+y能被10n-1(nN+)整除的充要条件是(10n-1)|(x+ny);一个整数a=10x+y能被10n+1(nN+)整除的充要条件是(10

6、n+1)|(x-ny). 5.同余理论: .同余定义:对正整数m,若整数a与b被除m的余数相等,则称a与b对模m同余,记作ab(modm); .同余性质:若ab(modm),bc(modm),则ac(modm);若ab(modm),cd(modm),则(ac)(bd)(modm),acbd(modm),anbn(modm);若acbc(modm),(c,n)=d,则ab(mod),特别地,若acbc(modm),(c,n)=1,则ab(modm);若n|m,ab(modm),则ab(modn);若ab(modmi),则ab(modm1m2mk),则若(a,b,m)=d,ab(modm),则(m

7、od);若ab(modm),则(a,m)=(b,m); .费马定理:若p为质数,且(a,p)=1,则ap-11(modp);若p为质数,对任意整数a,apa(modp); 6.公约公倍: .(i)最大公约:设a,b,c是(有限个)不全为零的整数,则同时整除a,b,c的整数叫做它们的公约数;因非零整数的约数有有限个,故a,b,c的公约数有有限个,其中必有一个最大的,我们称它为a,b,c的最大公约数.记为(a,b,c);特别地,若(a,b,c)=1则称a,b,c互素;若a,b,c中任意两个都互素,则称a,b,c两两互素; (ii)最小公倍:同时是a,b,c倍数的整数称为它们的公倍数,最小正的公倍数

8、叫做最小公倍数,记为a,b,c. .基本性质:a和b的任一公约数都是它们最大公约数的约数;a和b的任一公倍数都是它们最小公倍数的倍数;若b|a,则(a,b)=b,a,b=a;若mN+,则(am,bm)=m(a,b),am,bm=ma,b;若n是a,b的公约数,则(,)=,=;设a1,a2,an是任意n个正整数,如果(a1,a2)=c2,(c2,a3)=c3,(cn-1,an)=cn,则(a1,a2,an)=cn;如果a1,a2=c2,c2,a3=c3,cn-1,an=cn,则a1,a2,an=cn;对任意的正整数a,b,(a,b)a,b=ab;(a,b)=1,则a,b=ab;若a|bc,且(a

9、,b)=1,则a|c;若a|c,b|c,且(a,b)=1,则ab|c;若(a,b)=1,则(ac,b)=(c,b);若a,b=m,则(,)=1;若(a,m)=1,且(b,m)=1,则(ab,m)=1;设a1,a2,an是任意n个正整数,则:(a1,a2,an)=(a1,a2,an-1),an),a1,a2,an=a1,a2,an-1,an; .裴蜀定理:设a、b、d是整数,则a,b的最大公约数为d的充要条件是存在整数x,y,使得d=xa+yb,且d|a,d|b;推论:(a,b)=1的充要条件是存在整数x,y,使得xa+yb=1;当(a,b)=1时,xa+yb可以表示任意整数;如果a、b是正整数

10、,则(a,b)=1的充要条件是存在正整数x,y,使得xa-yb=1;如果(a,b)=1,则任意整数m可表示为ua+vb的形式,其中,0ub,vZ. .归类分析 1.高斯函数:例1:(2009年南京大学数学基地班自主招生数学试题)找出所有满足tanA+tanB+tanCtanA+tanB+tanC的非直角三角形ABC.解析:设tanA=x,tanB=y,tanC=z,由xx,yy,zzx+y+zx+y+z,而由tanA+tanB+tanCtanA+tanB+tanCx+y+zx+y+z,所以,x+y+zx+y+zx+y+zx=x,y=y,z=z,即x,y,z均为整数,又 第二十一讲:初等数论 3

11、 由tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanCx+y+z=xyz,不妨设xyz,则x,y,z中至多有一个为负.若x0,z0y1,z1xyzx0,则x=tanA(A为最小角)tan600=x=11+y+z=yzy=2,z=3这样ABC的只有tanA=1,tanB=2,tanC=3.练习1:1.(2008年北京市中学生数学竞赛高一年级初试试题)以x表示不超过x的最大整数,试确定sin1+sin2+sin3+sin4+sin5的值. (2011年全国高中数学联赛贵州预赛试题)设x表示不超过x的最大整数,则sin1+cos2+tan3+sin4+cos5+tan6= . (2008年全国高

12、中数学联赛湖南预赛试题)某学校数学课外活动小组,在坐标纸上某沙漠设计植树方案如下:第k棵树种植在点Pk(xk,yk)处,其中x1=1,y1=1,当k2时,xk=xk-1+1-5+5,yk=yk-1+-.其中,a表示实数a的整数部分,例如206=2,0.6=0.按此方案,第2008棵树种植点的坐标为 . (2010年全国高中数学联赛贵州预赛试题)设x表示不超过x的最大整数,则lg1+lg2+lg3+lg2010= . (2009年北京市中学生数学竞赛高一年级初试试题)x表示不超过x的最大整数,若log36+log37+log38+log3(n-1)+log3n=2009,试确定正整数n的值.2.

13、(2006年上海市TI杯高二年级数学竞赛试题)有一个根据某年某月某日计算“星期几”的有趣公式:d+2.6m-0.2+y+-2c除以7的余数,其中,c表示年的前两位数字(即世纪),y表示年的后两位数字,d表示日,m表示月对应的数字月份123456789101112对应的m值111212345678910(见表).x表示不于x的最大整数.则2008年6月18日是星期 . (2005年上海交通大学保送生考试试题)对于数列xn:1,3,3,3,5,5,5,5,5,即正奇数k有k个,是否存在整数r,s,t,使得对于任意正整数n都有an=r+t恒成立(x表示不超过x的最大整数)？ (2006年全国高中数学

14、联赛江西初赛试题)数列xn:1,3,3,3,5,5,5,5,5,由全体正奇数自小到大排列而成,并且每个奇数k连续出现k次,k=1,3,5,如果这个数列的通项公式为xn=a+d,则a+b+c+d= . (2010年全国高中数学联赛山西预赛试题)设an=+,则= . (2011年全国高中数学联赛福建预赛试题)对正整数n,设xn是关于x的方程nx3+2x-n=0的实数根,记an=(n+1)xn(n=2,3,)(x表示不超过x的最大整数).则(a2+a3+a2011)= . (2007年全国高中数学联赛四川预赛试题)x表示不超过实数x的最大整数,比如3.14=3,0=0,-3.14=-4.数列满足an

15、:an=3n-2,若bn=,则b1+b2+b2007= . 2.质数合数:例2:(2013年“华约”自主招生试题)最多能找多少个两两不等的正整数,使其中任意三个数之和为质数,并证明你的结论.解析:把正整数集合N+划分为三个子集A=x|x=3k,kN+,B=x|x=3k+1,kN,C=x|x=3k+2,kN;首先证明:所取的数,不能同时在集合A、B、C中;否则设a=3mA,b=3n+1B,c=3k+2C,则a+b+c=3(m+n+k+1)为合数,矛盾;其次证明: A、B、C中,每个集合中至多取两个;否则设a=3m+r,b=3n+r,c=3k+r(r=0,1,2)在同一个集合中,则a+b+c=3(

16、m+n+k+r)为合数,矛盾;综上最多只能取22=4个正整数;另一方面在集合B中取1,7;在集合C中取5,11,则四个正整数1,7,5,11满足条件.故最多可取4个正整数满足条件.练习2: 4 第二十一讲:初等数论 1.(2003年全国高中数学联赛天津预赛试题)在4到18之间选择两个不同的质数,然后用它们的乘积减去它们的和,得到的数可以是( ) (A)21 (B)60 (C)119 (D)231 (2009年全国高中数学联赛天津预赛试题)已知正整数n=abc10000,其中a,b,c均为素数,且2a+3b=c,4a+c+1=4b,则n的值为_. (2010年全国高中数学联赛陕西预赛试题)设a、

17、b、c是三个素数(质数),且满足abc=5(a+b+c),则这三个数从小到大依次是 . (2011年全国高中数学联赛陕西预赛试题)已知p、q都是质数,且7p+q和2q+11也都是质数.则pq+qp的值是 . (2006年全国高中数学联赛河南预赛试题)已知p、p+14、p+q都是质数,并且p有唯一的值和它对应.则q只能取( )(A)40 (B)44 (C)74 (D)862.(2008年全国高中数学联赛福建预赛试题)质数p,q,r满足p+q=r,且(r-p)(q-p)-27p是一个完全平方数.则满足条件的所有三元数组(p,q,r)= . (第48届斯洛文尼亚数学奥林匹克试题)求所有的素数p,使得

18、p+28与p+56也都是素数. (第20届爱尔兰数学奥林匹克试题)求出所有的素数p、q满足p|(q+6),且q|(p+7). (2002年澳大利亚数学奥林匹克试题)己知多项式P(n)=n3-n2-5n+2,求所有整数n,使得P2(n)是一个素数的平方. (2009年清华大学自主招生数学试题)写出三个数都是质数,且公差为8的等差数列,并证明之. 3.整数分解:例3:(2009年北京大学自主招生数学试题)正无穷正整数等差数列中,有13,25,41,求证:2009也在该数列中.解析:设首项为a,公差为d,a,dN+,不妨设am=a+(m-1)d=13,an=a+(n-1)d=25,ak=a+(k-1

19、)a=41,mnk,则(n-m)d=25-13=12=34,(k-n)d=41-25=16=44d=1,2,4;若d=1,则an=a+n-1;由am=13a+m-1=13a14a2009-a=a+(2009-a)=2009;若d=2,则an=a+2(n-1),由am=13a+2(m-1)=13as,使Mt-Ms=510300,则s+t的值是_. (1985年第3届美国数学邀请赛试题)设a、b、c、d是正整数,满足a5=b4,c3=d2,且c-a=19,求d-b. (2003年全国高中数学联赛试题)已知a,b,c,d均为正整数,且logab=,logcd=,若a-c=9,则b-d= . (201

20、0年全国高中数学联赛陕西预赛试题)若关于x的方程x3+ax2+bx-4=0(a、bN+)有正整数解,则|a-b|= . (1999年全国高中数学联赛河北预赛试题)设M=a|a=2x3y5z,x,y,z均为非负整数的子集为N=b|bM,1b10,则N的子集中包含元素1和10的集合有( ) (A)10个 (B)64个 (C)128个 (D)256个2.(2007年上海市TI杯高二年级数学竞赛试题)使得是完全平方数的正整数n有 个. (2006年全国高中数学联赛福建预赛试题)方程+=2007的正整数解的组数是( )(A)1组 (B)2组 (C)4组 (D)8组 (2006年全国高中数学联赛四川预赛试

21、题)不定方程2(x+y)=xy+7的正整数解得个数是( )(A)1 (B)2 (C)3 (D)4 (2012年全国高中数学联赛河北预赛试题)设x,y,z为整数,且x+y+z=3,x3+y3+z3=3,则x2+y2+z2= . (2007年全国高中数学联赛陕西预赛试题)设x,y都是整数,且满足xy+2=2(x+y),则x2+y2的最大可能值为( )(A)32 (B)25 (C)18 (D)16 4.阶乘分解: 第二十一讲:初等数论 5 例4:(2012年复旦大学保送生考试试题)记2012！=1232012为从1到2012之间所有整数的连乘积,则2012！的值的尾部(从个位往前计数)连续0的个数是

22、 .解析:因n！尾部连续0的个数n！中所含10的指数n！中所含2与5的指数的最小值;又因在n！中,质数p的幂指数=+,且f(p)=+是不增函数n！中所含2的指数大于所含5的指数.故n！尾部连续0的个数=+.回到本题:因+=402+80+16+3=5012012！尾部连续0的个数=501.练习4:1.(2003年上海交通大学保送生考试试题)100！的未尾连续有 个零. (2006年上海交通大学保送生考试试题)2005！的未尾连续有 个零. (1951年匈牙利数学奥林匹克试题)对于怎样的正整数m,乘积123(m-1)能被m整除？ (1964年第4届全俄数学奥林匹克试题)求使(n-1)！不能被n2整

23、除的一切奇正整数n.2.(1983年第1届美国数学邀请赛试题)整数C200100的最大两位数的素因数是多少？ (2011年全国高中数学联赛试题)已知an=C200n()200-n()n(n=1,2,95),则数列an中整数项的个数为 . (2005年第46届国际数学奥林匹克预选题)设P(x)=anxn+an-1xn-1+a0,其中,a0,a1,an是整数,an0(n2).证明:存在正整数m,使得P(m！)是合数. (1992年第三届“希望杯”全国数学邀请赛试题)已知nN,有以下四个式子:6n+3n;n3+(n+1)3+(n+2)3;11n-2n;24n+2+52n+1.其中能被9整除的式子有(

24、 ) (A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个 (2008年全国高中数学联赛陕西预赛试题)设k、m、n均为整数,过圆x2+y2=(3k+1)2外一点P(m3-m,n3-n)向该圆引两条切线,切点分别为A、B.则直线AB上整点(横、纵坐标都是整数的点)有( )个.(A)2 (B)1 (C)0 (D)无数 5.整除性质:例5:(2013年“华约”自主招生试题)已知x,y,z为两两不相等且大于1的正整数,且xyz|(xy-1)(yz-1)(zx-1),求所有可能x,y,z的值.解析:因(xy-1)(yz-1)(zx-1)=(xy2z-xy-yz+1)(zx-1)=x2y2z2-xyz(x+y+

25、z)+xy+yz+zx-1=xyz-(x+y+z)+;而xyz|(xy-1)(yz-1)(zx-1)为整数为整数;不妨设xyz,则xy+yz+zx-1xy+xy+xy-1=3xy-13xyxyzxy+xy+xy-13xyz3z=1,2;当z=1时,= =1+xyx+y-12x-12xyz1y2,矛盾;当z=2时,=2xyxy+2x+2y-1xy2x+2y-14x-14xyz=2y3y=3=6x5x+5x5,又因xy=3x=4,5,但当x=4时,=不是整数,当x=5时,=1是整数.故x=5.综上,(x,y,z)=(2,3,5)及其排列.练习5:1.(1991年全国高中数学联赛试题)设a是正整数,

26、a100,并且a3+23能被24整除,那么,这样的a的个数为( )(A)4 (B)5 (C)9 (D)10 (2012年全国高中数学联赛江西预赛试题)三个互异正整数a、b、c构成等比数列,其和为111,则a,b,c= . (2011年全国高中数学联赛吉林预赛试题)能同时表示成连续9个整数之和、连续l0个整数之和及连续11个整数之 6 第二十一讲:初等数论 和的最小正整数为 . (2009年上海市TI杯高二年级数学竞赛试题)两个三位数写在一起形成了一个六位数.若这个六位数恰等于原来两个三位数乘积的整数倍,求这个六位数. (2009年北京市中学生数学竞赛高一年级初试试题)已知6027位数(2009

27、个)是91的倍数.求三位数的最小值与最大值的和.2.(1992年上海市高中数学竞赛试题)不定方程6(5a2+b2)=5c2的满足c20的自然数解(a,b,c)共有_组. (2011年全国高中数学联赛福建预赛试题)己知正整数x,y,z满足条件xyz=(14-x)(14-y)(14-z),且x+y+z24,则x2+y2+z2的最大值为 . (2013年全国高中数学联赛四川预赛试题)设n是小于100的正整数,且满足(n2-1)+n为整数,则符合条件的所有正整数n的和为 . (1992年“友谊杯”国际数学奥林匹克试题)求最大正整数m,使得对任意正整数n,m能整除7n+12n-1. (1958年匈牙利数

28、学奥林匹克试题)证明:如果u和v是整数,u2+uv+v2能被9整除,那么u和v都能被3整除. 6.整除特征:例6:(2004年上海交通大学保送生考试试题)已知6=7,则= .解析:设=m,=n,则6=76(m103+n)=7(n103+m)m(6103-7)=n(7103-6);注意到:(6103-7,7103-6)=(6103-7,103+1)=(-13,103+1)=13,且5001)等于an-1的各位数字之和.a5等于多少？ (1986年国家集训队选拔考试试题)正整数A的十进制表示为,令f(A)=2na0+2n-1a1+2an-1+an,记A1=f(A),Ai+1=f(Ai)(i=1,2

29、,n).证明:()必有正整数k,使得Ak+1=Ak;()若A=1986,问上述的Ak等于多少？并说明理由. (1984年第16届加拿大数学奥林匹克试题)如果一个整数满足:它的各位数字都不为0;它可以被它的各位数字和整除.就称该整数可被其数字和整除.证明:有无限多个可被其数字和整除的整数. 7.同余理论:例7:(2001年上海交通大学保送生考试试题)若6090125(modN),则81( )(modN).(A)3 (B)4 (C)5 (D)6解析:由6090125(modN)6090(modN),90125(modN)300(modN),350(modN)N|30,N|35N|(30,35)=5

30、N=1,5(N=1不合题意)N=5816(modN).故选(D).练习7:1.(2001年复旦大学保送生考试试题)813除以9所得的余数是( ) 第二十一讲:初等数论 7 (A)6 (B)-1 (C)8 (D)1 (2001年上海交通大学保送生考试试题)若今天是星期二,则31998天之后是( )(A)星期四 (B)星期三 (C)星期二 (D)星期一 (2004年上海交通大学保送生考试试题)(72004+36)818的个位数是 . (2007年全国高中数学联赛安徽预赛试题)设A=100101102103499500是一个1203位的正整数,由从100到500的全体三位数按顺序排列而成.那么,A除

31、以126的余数是( ) (A)78 (B)36 (C)6 (D)0 (1991年全国高中数学联赛试题)19912000除以106余数是_. 2.(2007年全国高中数学联赛浙江预赛试题)(2007重)的末二位数字是( )(A)01 (B)07 (C)43 (D)49 (2003年加拿大数学奥林匹克)求数的末三位数字. (1978年第20届国际数学奥林匹克(IMO)试题)数1978n与1978m的最后三位数相等,试求出正整数m和n,使得m+n取最小值(这里nm1). (2007年全国高中数学联赛广西预赛试题)设a1=6,an+1=an+(nN+),其中x表示不超过x的最大整数.则a1+a2+a2

32、007的个位数字为( ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 (1988年全国高中数学联赛试题)已知a1=1,a2=2,an+2=.证明:对一切正整数n,an0. 8.同余应用:例8:(2008年南开大学保送生考试试题)求除以31的余数.解析:=-=-=250250-C10050=299-C10050.299=24(25)19=24(31+1)1924(mod31)16(mod31);C10050=,由勒让德(Legendre)定理:n！中含质数p的指数k=+知100！含质数31的指数=3,50！含质数31的指数=1C100500(mod31)余数=16.练习8:1.(2009年复旦大学保

33、送生考试试题)设X=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,定义在X上的运算如下:对任意m、nX,mn等于m+n除以10的余数.给定初始值n0X,记n1=n0n0,nk=nk-1n0,k=1,2,3,则使得数列nk取遍X中所有元素的初始值n0的集合是( ) (A)空集 (B)X (C)1,3,9 (D)1,3,7,9 (2009年全国高中数学联赛天津预赛试题)甲在黑板上写下正整数1,2,2009,然后背对黑板,让乙将黑板上的这些数擦去若干个后再添加擦去数之和被7除的余数.当经过若干次操作以后使黑板上只剩下两个数.其中的一个数是一位数.甲问乙:“剩下的两个数中较大的数是几？”乙答:“100”.则

34、剩下的两个数中的那个一位数为_. (1980年第14届全苏数学奥林匹克试题)接连写出19至80的两位数,问:所得到的数192021224980能被1980整除吗？ (1970年第4届全苏数学奥林匹克试题)在每张卡片上各写着从11111到99999的五位数,然后把这些卡片按任意顺序排成一排.证明:所得到的444445位数不可能是2的幂. (2012年山东高中数学夏令营试题)求最小的正整数m,n(n2),使得n个边长为m的正方形,恰好可以割并成n个边长分别为1,2,n的正方形.2.(1966年第8届国际数学奥林匹克(IMO)试题)确定方程=1599的全部非负整数解(a1,x2,x14),不记排列次

35、序. (2004年韩国数学奥林匹克试题)证明:方程3y2=x4+x没有正整数解. 8 第二十一讲:初等数论 (2003年越南数学奥林匹克试题)求最大的正整数n,使得方程组(x+1)2+y12=(x+2)2+y22=(x+k)2+yk2=(x+n)2+yn2有整数解(x,y1,y2,yn). (2002年第43届国际数学奥林匹克预选题)求最小的正整数n,使得x13+x23+xn3=20022002有整数解. (2008年全国高中数学联赛湖北预赛试题)如果正整数n可以写成ab(其中a,bN,a2,b2)的形式,则称n为“好数”.在与2的正整数次幂相邻的正整数中,试找出所有的“好数”. 9.公约公倍

36、:例9:(2010年复旦大学保送生考试试题)设k,m,n是整数,不定方程mx+ny=k有整数解的必要条件是( )(A)m、n都整除k (B)m、n的最大公因子整除k (C)m、n、k两两互素 (D)m、n、k除外没有其他公因子解析:设(m,n)=d,m=ad,n=bd,则由mx+ny=k(ax+by)d=kd|k.故选(B).注:实质上,不定方程mx+ny=k有整数解的充要条件是d=(m,n)|k.证明充分性:由d=(m,n)|k,设k=cd,则由(ax+by)d=k(ax+by)d=cdax+by=c,由裴蜀定理知该不定方程有整数解不定方程mx+ny=k有整数解.练习9:1.(2010年全国

37、高中数学联赛山西预赛试题)十二个互不相同的正整数之和为2010,则这些正整数的最大公约数的最大值是 . (1985年第3届美国数学邀请赛试题)数列101,104,116,的通项是an=100+n2,其中n=1,2,3,.对每一个n,用dn表示an与an+1的最大公约数.求dn的最大值. (第30届俄罗斯数学奥林匹克试题)3个正整数中的任何两个数之积可以被该两数之和整除.证明:这3个正整数具有大于1的公约数. (1988年第29届国际数学奥林匹克预选题)斐波那契数定义为a0=0,a1=a2=1,an+1=an+an-1(n1).求笫1960项与1988项的最大公约数. (1985年第26届国际数

38、学奥林匹克预选题)设Sn=,求Sn与S3n的最大公约数.2.(1987年第5届美国数学邀请赛试题)设r,s表示正整数r和s的最小公倍数.求有序三元正整数(a,b,c)的个数,其中a,b=1000,b,c=2000,c,a=2000. (1992年加拿大数学奥林匹克试题)若n,a1,a2,ak是整数,na1a2ak0,且对于所有的i与j,ai和aj的最小公倍数不超过n.证明:对于1ik,iain. (1994年第20届全俄数学奥林匹克试题)求证:对于正整数k,m和n,有k,mm,nn,kk,m,n2. (1994年上海市高中数学竞赛试题)已知n个正整数ai(1in)满足a1a2an(表示的整数部

39、分). (1991年澳大利亚数学奥林匹克试题)Mn为1,2,n的最小公倍数(如M1=1,M2=2,M3=6,M4=12,M5=60,M6=60).对什么样的正整数n,Mn-1=Mn成立？证明你的结论. 10.不定方程:例10:(2011年复旦大学保送生考试试题)设正整数n可以等于4个不同的正整数的倒数之和,则这样的n的个数是( ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4解析:设n=+,a、b、c、dN+;不妨设abcd,则n=+=n=1,2;又因当a3时,则b4,c5,d6+=1,矛盾,故a3a=1,2;若n=1,则+=1a=2+=;若b5,则c6,d7+=,矛盾,故b5b=3,4;当b=3时

40、,+=c=6+(注意到cd)d=42,c=7;当b=4时,+=c=4+(注意到cd)d=12,c=6;若n=2,则+ 第二十一讲:初等数论 9 +=2,同理可得:a=1,b=2,c=3,d=6.故选(B).练习10:1.(2012年上海市高中数学竞赛试题)方程2m3n-3n+1+2m=13的非负整数解(m,n)= . (第35届美国数学邀请赛试题)满足联立方程的正整数(a,b,c)的组数是( )(A)0 (B)1 (C)2 (D)3 (2007年全国高中数学联赛广西预赛试题)已知三个正整数x,y,z的最小公倍数是300,并且,则方程组的解(x,y,z)= . (2008年全国高中数学联赛试题)

41、方程组的有理数解(x,y,z)的个数为( )(A)1 (B)2 (C)3 (D)4 (2007年全国高中数学联赛福建预赛试题)方程100x+3y=1003的正整数解(x,y)有 组.2.(2003年上海交通大学保送生考试试题)3个自然数的倒数和为1,求所有解. (2012年清华大学保送生考试试题)求方程+=1的所有正整数解(x,y,z)为 . (2011年“北约”自主招生数学试题)是否存在四个正实数,它们两两乘积分别是2,3,5,6,10,16？ (2006年清华大学保送生考试试题)求由正整数组成的集合S(至少两个元素),使中S的元素之和等于元素之积. (第14届美国数学邀请赛试题)不存在整数

42、x,y使方程x2+3xy-2y2=122. (2009年巴西数学奥林匹克试题)证明:不存在正整数x、y满足x3+y3=22009. 11.有理无理:例11:(2009年清华大学保送生考试试题)求证:当p、q都为奇数时,y=x2-2px+2q与x轴交点的横坐标为无理数.解析:反证:假设y=x2-2px+2q与x轴交点的横坐标为有理数=(-2p)2-8q=4(p2-2q)是完全平方数p2-2q是完全平方数,设p2-2q=m2;又由p、q都为奇数m为奇数;又由p2-2q=m2(p-m)(p+m)=2q4|(p-m)(p+m)=2q2|q,矛盾.故y=x2-2px+2q与x轴交点的横坐标为无理数.练习

43、11:1.(2008年复旦大学自主招生数学试题)请证明是一个无理数. (2007年第57届白俄罗斯数学奥林匹克试题)证明:对于任意正整数n,(n位小数)是无理数. (2009年北京大学自主招生数学试题)是否存在实数x,使tanx+,cotx+均为有理数？ (2004年芬兰数学奥林匹克试题)已知a、b、c为正整数,且是有理数.证明:是整数. (2009年希腊数学奥林匹克试题)求使得A=为有理数的正整数n的值.2.(2008年清华大学自主招生数学试题)设a,b,c都为有理数,+也为有理数,证明:,均为有理数. (2005年保加利亚数学奥林匹克试题)求所有的三元正整数组(x,y,z),使得:A=+为

44、一整数. (2010年沙特阿拉伯数学奥林匹克试题)设a0是一个正整数,且序列an满足an+1=(n=0,1,).()证明对任意的a0,序列an包含了无穷多个整数和无穷多个无理数;()是否存在a0,使得a2010是一个整数. 10 第二十一讲:初等数论 (2011年第14届中国香港数学奥林匹克试题)数列an满足:x1为一正实数;xn+1=xn+2(n=1,2,).证明:在x1,x2,x2011中,至少可以找到670个无理数. (2007年保加利亚数学奥林匹克试题)求最小的正整数n,使得cos不能表示为p+的形式,其中,p、q、r是有理数. 12.综合问题:例12:(2009年中科大保送生考试数学

45、试题)集合A=n！+n|nN+,集合B是集合A对N+的补集.()证明:不存在无限项的等差数列,使得各项都在集合B中;()是否存在满足条件的等比数列,说明理由.解析:()本题等价于对任意的正整数等差数列,都至少有一项属于A;设等差数列的公差为d(dN+),an=a0+nd(a0N+),由da0+dd|(a0+d)！,令n=+1an=a0+1d=a0+(a0+d)！+d=(a0+d)！+(a0+d)A;()令存在满足条件的等比数列,令an=2n+2,则anA;反证:假设存在m,使得amA,即2m+2=n！+n;由2m+18n！+n8n3n-122|(n-1)！(n-1)！为不小于2的偶数(n-1)

46、！+1为不小于3的奇数;由2m+2=n！+nn(n-1)！+1=2m+2不小于3的奇数(n-1)！+1|2m+2.矛盾. 本题解法为作者给出.练习12:1.(2005年全国高中数学联赛天津预赛试题)设集合M=a|a=,2x+2y=2t,其中x、y、t、a均为整数.则集合M中所有元素的和等于( ). (A)1 (B)4 (C)7 (D)8 (2007年第十八届“希望杯”全国数学邀请赛试题)已知aN+,使函数y=3x+的最大值MN+,求M的最大值及对应的a值和x值. (2008年全国高中数学联赛福建预赛试题)正整数n500,具有性质:从集合1,2,50中任取一个元素m,使得m|n的概率是,则n的最

47、大值是 . (1977年第19届国际数学奥林匹克预选题)在三维欧氏空间中,任意给定37个整点,其中任意三点不共线.证明:可以从中找到这样的三个点,使得以它们为顶点的三角形的重心也是整点. (2000年上海市高中数学竞赛试题)设P1,P2,Pn是n个不同质数,用这些质数作为项(允许重复),任意组成一个数列,使这个数列不存在某些相邻项的积是完全平方.证明:这种数列的项数有最大值(记为L(n),并求L(n)的表达式.2.(2008年全国高中数学联赛江西预赛试题)从前2008个正整数构成的集M=1,2,2008中取出一个k元子集A,使得A中任两数之和不能被这两数之差整除,则k的最大值为 . (1993

48、年第四届“希望杯”全国数学邀请赛试题)用数学归纳法证明:对任意的nN,n2,都存在n个互不相等的自然数组成的集合M,使得对任意的aM和bM,|a-b|都可以整除a+b. (2011年全国高中数学联赛吉林预赛试题)是否存在20l1个不同的正整数,使得任取其中的两个数a、b,均有|a-b|=(a,b)成立? (2011年全国高中数学联赛甘肃预赛试题)设n11是一正整数,由不大于n的连续10个正整数的和组成集合A,由不大于n的连续11个正整数的和组成集合B.若AB的元素个数是181,求n的最大值和最小值. (2009年清华大学保送生考试试题)设a1,a2,a2n+1为整数,性质P为:对a1,a2,a

49、2n+1中任意2n个数,存在一种分法可将其分为两组,每组n个数,使得两组所有元素的和相等.求证:a1,a2,a2n+1全部相等当且仅当a1,a2,a2n+1具有性质P. 第二十一讲:初等数论 1 第二十一讲:初等数论杨老师专论（电话号码：2078159；手机号码：13965261699） 初等数论由于其形式简单,所用的知识不多且富有灵巧性,因而受到大学自主招生考试的青睐.自主招生考试中的数论内容和方法涵盖了数论的主要内容和主体方法. .知识拓展 1.高斯函数: .定义:x表示不超过实数x的最大整数.则y=x称为高斯函数,也叫取整函数.由任一实数都能写成整数部分与非负纯小数之和,即x=x+(01

50、),这里,x称为x的整数部分,而,即x-x称为x的小数部分,记x=x-x. .性质:n+x=n+x,x+n=x,其中xR,nZ;-x=;若nN+,xR,则=x,特别地,=,=(证明:由x-1xxxnxnxx+1=x). 2.质数合数: .定义:如果一个大于1的正整数,只能被1和它本身整除,那么这个正整数叫做质数(质数也称素数);一个正整数除了能被1和本身整除外,还能被其他的正整数整除,这样的正整数叫做合数; .性质:质数中只有一个偶数;如果两个质数的和或差是奇数,那么其中必有一个是2,如果两个质数的积是偶数,那么其中也必有一个是2;质数有无穷多个;任何合数都可以分解为几个质数的积;合数n的最小质因数不大于; 3.整数分解: .唯一分解定理:任何一个大于1的自然数n都可以唯一分解成几个质数乘积的形式,并且分解的形式是唯一的;其中,n=(pi为质数,i为正整数,i=1,2,m)称为n的标准分解式; .约数个数定理:如果正整数n的标准分解式:n=(pi为质数,i为正整数,i=1,2,m),则n的所有约数(包括1和n)的个数d(n)=; .约数和定理:如果正整数n的标准分解式:n=(pi为质数,i为正整数,i=1,2,m),则n的所有约数包括1和n)的和(n)=; .阶乘分解定理:在n！的标准分解