新编备战高考黄金100题解读与扩展系列之不等式：专题三 不等式恒成立问题 Word版含解析

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1、 I题源探究黄金母题【例1】当取何值时，一元二次不等式对一切实数都成立？【解析】由已知结合二次函数的图像可得解得所以当时，一元二次不等式对一切实数都成立精彩解读【试题来源】人教版A版必5第4页例3【母题评析】本题考查一元二次不等式恒成立参数取值范围问题不等式恒成立问题，是历年来高考的一个常考点【思路方法】合理运用二次函数的图像及其性质解题II考场精彩真题回放【例2】【20xx高考浙江理数】已知实数（ ）A若，则B若，则C若，则D若，则【答案】D【解析】采用反例排除法：令，排除此选项A；令，排除此选项B；令，排除此选项C，故选D【命题意图】本题考查绝对值不等式的性质，属于创新题，有一定的难度它考

2、查学生的阅读理解能力，接受新思维的能力，考查学生分析问题与解决问题的能力【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，难度较大，往往是高中数学主要知识的交汇题【难点中心】对于判断不等式恒成立问题，一般采用举反例排除法解答本题时能够对四个选项逐个利用赋值的方式进行排除，确认成立的不等式【例3】【20xx湖北15】如图所示，函数的图象由两条射线和三条线段组成若，则正实数的取值范围是 【解析】【解析】由已知得解得，即正实数的取值范围是【命题意图】本题综合考查函数的图像、函数奇偶性、分段函数、恒成立问题中的参数取值范围问题，考查学生分析问题与解决问题的能力【考试方向】这类试题在考查

3、题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，难度较大，往往是高中数学主要知识的交汇题【难点中心】解决此类问题的关键是运用函数图像及其性质（数形结合）解题III理论基础解题原理（1）对一切恒成立（2）对一切恒成立IV题型攻略深度挖掘【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，一般难度中等或偏大【技能方法】若不等式在区间上恒成立，则等价于在区间上；若不等式在区间上恒成立，则等价于在区间上如果函数在区间上不存在最值，那么也可以根据函数值域的端点值得出类似的等价关系【易错指导】在一元二次不等式的恒成立问题中要特别注意二次项的系数，当这个系数是不确定的字母时，要分其大于零、等于零和小于

4、零的情况进行讨论V举一反三触类旁通考向1 不等式的恒成立问题【例4】【福建厦门一中高三质量检测】函数，若对恒成立，则实数的取值范围是 （ ）A B C D【答案】C【名师点睛】若不等式在区间上恒成立，则等价于在区间上；若不等式在区间上恒成立，则等价于在区间上【跟踪训练1】【20xx全国大联考1课标I卷】 已知函数，在上的最大值为，当时，恒成立，求的取值范围A B C D【答案】B【解析】，所以在上是增函数，上是减函数在上恒成立， 由知，所以恒成立等价于在时恒成立，令，有，所以在上是增函数，有，所以【跟踪训练2】【吉林省长春外国语学校高三上学期期末数学理试题】若两个正实数x，y满足+=1，且x+

5、2ym2+2m恒成立，则实数m的取值范围是（）A（，2）4，+）B（，4）2，+）C（2，4）D（4，2）【答案】D【解析】正实数x，y满足+=1，x+2y=（x+2y）（+）=4+4+2=8，当且仅当=即x=4且y=2时x+2y取最小值8，x+2ym2+2m恒成立，8m2+2m，解关于m的不等式可得4m2，故选：D【点评】本题考查基本不等式求最值，涉及恒成立问题和不等式的解法，属中档题考向2 恒成立与其他知识的交汇【例5】【20xx押题卷1课标1卷】已知是数列的前项和，若不等式对一切恒成立，则的取值范围是_【答案】【名师点睛】不等式恒成立问题可以与其它知识产生交汇，如数列、函数与导数、解析几何、常用逻辑用语等【跟踪训练】【2106押题卷3课标1卷】设函数在上存在导数，对有，且在 上，若，则实数的取值范围为 【答案】【解析】令，所以，所以，所以函数是奇函数，当时，即在是增函数，所以在是增函数由，因为，所以，所以，所以，即，解得故实数的取值范围为