23.看出平面的法向量.快解立体几何试题

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1、中国高考数学母题一千题(第0001号)愿与您共建真实的中国高考数学母题(杨培明:13965261699)看出平面的法向量.快解立体几何试题看出特殊平面法向量的方法和枝巧 在使用向量法的条件下,正确、快速的求出平面的法向量无疑是取胜高考立体几何试题的关键;“看出”特殊平面法向量,是解决高考立体几何试题的本领;掌握“看出”的方法和枝巧,等于你拥有了解决问题的利器.母题结构:特殊平面的法向量:若平面平面xOy,则平面的法向量为m=(0,0,1);若平面过z轴和点D(a,b,0),则平面的法向量为m=(b,-a,0);若z轴平面,且平面与x,y轴分别交于点A(a,0,0),B(0,b,0),则平面的法

2、向量为m=(,0);若平面与坐标轴分别交于点A(a,0,0),B(0,b,0),C(0,0,c),则平面的法向量为m=(,).母题解析:是显然的;由平面的过z轴平面法向量在平面xOy內,且与=(a,b,0)垂直平面的法向量为m=(b,-a,0);由z轴平面平面法向量在平面xOy內,且与=(-a,b,0)垂直平面的法向量为m=(,0);由m=0,m=0平面的法向量为m=(,). 1.特殊平面法向量 子题类型:(2007年湖北高考试题)如图,在三棱锥V-ABC中,VC底面ABC,ACBC,D是AB的中点,且AC=BC=a,VDC=(0).()求证:平面VAB平面VCD;()当角变化时,求直线BC与

3、平面VAB所成的角的取值范围.解析:分别以直线CA、CB、CV为x、y、z轴,建立空间直角坐标系,如图,则A(a,0,0),B(0,a,0)D(,0);设V(0,0,h);()由=(-a,a,0),=(,0),=(0,0,h)=0,=0ABOD,ABCVAB平面VCD平面VAB平面VCD;()由=(-a,0,h),=(0,a,0),设平面VAB的法向量m=(x,y,z),由m=0,m=0m=(h,h,a)cos=0cos(,)直线BC与平面VAB所成角的取值范围是(0,).点评:若平面在x、y、z轴上的截距分别为a、b、c(abc0),则平面的法向量为m=(,);利用此结果可巧求斜平面的法向量

4、,剩下的问题是按程序,书写求解过程,并取m与平行的法向量(化去分母). 2.延展平面求截距 子题类型:(2009年重庆高考试题)如图,在四棱锥S-ABCD中,ADBC且ADCD,平面CSD平面ABCD,CSDS,CS=2AD=2,E为BS的中点,CE=,AS=.求:()点A到平面BCS的距离;()二面角E-CD-A的大小.解析:在长方体中作出四棱锥S-ABCD,如图:()ADBCAD平面BCS点A到平面BCS的距离=点D到平面BCS的距离;由ADCD,平面CSD平面ABCDAD平面CSD,又ADBCBC平面CSDBCSD,又CSDSDS平面BCS点D到平面BCS的距离=DS;由AD=1,AS=

5、DS=点A到平面BCS的距离=;()以S为坐标原点,射线SD、SC分别为x、y轴正方向,建立空间直角坐标系,则A(,1,0),B(0,2,2),C(0,2,0),D(,0,0)E(0,1,1);设平面ECD的法向量m=(x,y,z),由m=0,m=0m=(,1,1);同理可得平面ACD的法向量n=(,1,0)cos=二面角E-CD-A的大小为.点评:通过延长线段或延展平面,寻找平面与坐标轴的交点,是利用斜平面的法向量公式,“看出”平面法向量的有力手段;在本题中,CE的延长线与z轴交于点(0,0,2)平面ECD在x,y,z轴上的截距分别为,2,2m=(,1,1). 3.平移直角坐标系 子题类型:

6、(2010年江西高考试题)如图,BCD与MCD都是边长为2的正三角形,平面MCD平面BCD,AB平面BCD,AB=2.()求点A到平面MBC的距离;()求平面ACM与平面BCD所成二面角的正弦值.解析:在长方体中作出几何体,并以B为坐标原点,直线BA、CD的中垂线分别为y、z轴,建立空间直角坐标系,如图,则A(0,0,2),C(1,0),D(-1,0),M(0,);()设平面MBC的法向量m=(x,y,z),由m=0,m=0x+y=0,y+z=0,令y=-1得m=(,-1,1);又=(0,0,2)点A到平面MBC的距离d=;()设平面ACM的法向量n=(x,y,z),由n=0,n=0y-z=0

7、,x-z=0,令y=1得n=(,1,1),又平面NCD的法向量k=(0,0,1)cos=平面ACM与平面BCD所成二面角的正弦值=.点评:平移空间直角坐标系,不改变平面法向量的方向;如设CD与x轴交于点H,在以H为原点的空间直角坐标系中,平面MBC在x,y,z轴上的截距分别为1,-,平面MBC的法向量m=(,-1,1). 4.子题系列:1.(2006年江西高考试题)如图,已知三棱锥O-ABC的侧棱OA、OB、OC两两垂直,且OA=1,OB=OC=2,E是OC的中点.()求O点到面ABC的距离;()求异面直线BE与AC所成角的余弦值;()求二面角E-AB-C的余弦值.2.(2015年重庆高考试题

8、)如图,三棱锥P-ABC中,PC平面ABC,PC=3,ACB=,D,E分别为线段AB,BC上的点,且CD=DE=,CE=2EB=2.()证明:DE平面PCD;()求二面角A-PD-C的余弦值.3.(2011年辽宁高考试题)如图,四边形ABCD为正方形,PD平面ABCD,PDQA,QA=AB=PD.()证明:平面PQC平面DCQ;()求二面角Q-BP-C的余弦值.4.(2004年浙江高考理科试题)如图,已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,AB=,AF=1,M是线段EF的中点.()求证:AM平面BDE;()求二面角A-DF-B的大小;()试在线段AC上确定一点P,使得PF与BC所成

9、的角是600.5.(2001年全国高考试题)如图,在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD中,ABC=900,SA面ABCD,SA=AB=BC=1,AD=.()求四棱锥S-ABCD的体积;()求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值.6.(2014年浙江高考试题)如图,在四棱锥A-BCDE中,平面ABC平面BCDE,CDE=BED=900,AB=CD=2,DE=BE=1,AC=.()证明:DE平面ACD;()求二面角B-AD-E的大小. 5.子题详解:1.解:分别以直线OA、OB、OC为x、y、z轴,建立空间直角坐标系,如图,则A(0,0,1),B(2,0,0),C(0,2,0)E(0,1,0)(

10、)由平面ABC的法向量m=(1,1,2),=(0,0,1)O点到面ABC的距离d=;()由=(-2,1,0),=(0,2,-1)cos=异面直线BE与AC所成角的余弦值=;()由平面ABE的法向量n=(1,2,2)cos=二面角E-AB-C的余弦值=.2.解:分别以直线CA、CB、CP为x、y、z轴,建立空间直角坐标系,如图,则P(0,0,3);由CD=DE=,CE=2EB=2CDDE,E(0,2,0),B(0,3,0),D(1,1,0)A(,0,0);()由=(-1,1,0),=(1,1,0),=(0,0,3)=0,=0DECD,DECPDE平面PCD;()平面APD的法向量m=(2,1,1

11、),PCD的法向量=(-1,1,0)cos=-二面角A-PD-C的余弦值=.3.解:()在长方体中作出几何体,并分别以直线DA、DP、DC为x、y、z轴正方向,建立空间直角坐标系,如图,不妨设QA=1,则A(1,0,0),B(1,0,1),C(0,0,1),P(0,2,0),Q(1,1,0)=(1,-1,0),=(1,1,0),=(0,0,1)=0,=0PQDQ,PQDCPQ平面DCQ平面PQC平面DCQ;()设平面BPQ的法向量m=(x,y,z),由m=0,m=0x-y=0,y-z=0,令y=1得m=(1,1,1),同理可得平面BPC的法向量n=(0,1,2)cos=二面角Q-BP-C的余弦

12、值=-.4.解:()在长方体中作出几何体,并分别以直线CD、CB、CE为x、y、z轴正方向,建立空间直角坐标系,如图,则A(,0),B(0,0),D(,0,0),E(0,0,1),F(,1)M(,1)=(-,-,1),又CA的中点O(,0)=(-,-,1),又AM平面BDE,OE平面BDEAM平面BDE;()设平面BDF的法向量m=(x,y,z),由m=0,m=0y+z=0,x-y=0,令y=1得m=(1,1,-);同理可得平面ADF的法向量n=(1,0,0)cos=二面角A-DF-B的大小为;()设P(t,t,0)(0t),则=(-t,-t,1),又=(0,0)及PF与BC所成的角是600c

13、os=4(-t)2=2(-t)2+1t=点P是AC的中点.5.解:()由直角梯形ABCD的面积是SABCD=四棱锥S-ABCD的体积V=;()以B为坐标原点,直线BA、BC分别为x、y轴,建立空间直角坐标系,如图,则C(0,1,0),D(1,0),S(1,0,1)=(-1,0),=(0,-1);设平面SCD的法向量m=(x,y,z),由m=0,m=0 m=(1,2,1)(在以A为原点的空间直角坐标系中,平面SCD在x,y,z轴上的截距1,1平面SCD的法向量m=(1,2,1);又平面SAB的法向量n=(0,1,0)cos=面SCD与面SBA所成的二面角的正切值=.6.解:()在直角梯形BCDE中,由CDE=BED=900,CD=2,DE=BE=1BC=;在ABC中,AB=2,AC=BC=ACBC,又平面ABC平面BCDEAC平面BCDEACDE,又DEDCDE平面ACD;()以D为原点,分别以射线DE、DC为x、y轴的正半轴,建立空间直角坐标系,如图,则A(0,2,),E(1,0,0),B(1,1,0),设平面ABD的法向量m=(x,y,z),由m=0,m=0m=(1,-1,)(在以CD的中点为原点的空间直角坐标系中,平面ABD在x,y,z轴上的截距1,-1,平面SCD的法向量m=(1,2,1),同理可得平面ADE的法向量n=(0,-1,)cos=二面角B-AD-E的大小为.