新编高考数学复习 文科 第六章 数列 第1节 等差数列与等比数列

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1、 第6章 数列第1节 等差数列与等比数列题型70 等差、等比数列的通项及基本量的求解1. (20xx安徽文7）设为等差数列的前项和，则（ ）.A. B. C. D. 1.分析 借助等差数列前项和公式及通项公式的性质，计算数列的公差，进而得到的值.解析 由等差数列性质及前项和公式，得，所以.又，所以公差，所以.故选A.2. （20xx辽宁文14）已知等比数列是递增数列，是的前项和.若是方 程的两个根，则 .2. 解析：因为，是方程的两个根，且数列是递增的等比数列，所 以，所以.3. （20xx四川文16）在等比数列中，且为和的等差中项，求数列的首项、公比及前项和.3分析 由已知列出两个含和的方程

2、并求解，再借助等比数列求和公式得解析 设该数列的公比为由已知，得所以解得（舍去）故首项，公比.所以数列的前项和.4. （20xx山东文20）设等差数列的前项和为，且，.（1）求数列的通项公式；（2）设数列满足，求数列的前项和4.分析 （1）由于已知是等差数列，因此可考虑用基本量表示已知等式，进而求出的通项公式.（2）先求出，进而求出的通项公式，再用错位相减法求的前项和.解析 （1）设等差数列的前项为，公差为.由，得解得因此.（2）由已知，当时，；当时，.所以.由（1）知，所以.所以.两式相减，得，所以.5.（20xx浙江19）在公差为的等差数列中，已知，且成等比数列. （1）求，；（2）若，求

3、 5.分析 （1）用把表示出来，利用成等比数列列方程即可解出， 进而根据等差数列的通项公式写出.（2）根据（1）及确定数列的通项公式，确定 的符号，以去掉绝对值符号，这需要对的取值范围进行分类讨论.解析（1）由题意得，由，为公差为的等差数列得，解得或.所以或.（2）设数列的前项和为.因为，由（1）得，所以当时，；当时，.综上所述，6.（20xx重庆文2）在等差数列中，则（ ）. 7.（20xx江苏7）在各项均为正数的等比数列中，则的值是 8.（20xx新课标文17）（本小题满分12分）已知是递增的等差数列，是方程的根.（1）求的通项公式；（2）求数列的前项和.9. （20xx山东文19）（本小

4、题满分12分）在等差数列中，已知公差，是与的等比中项.（1）求数列的通项公式；（2）设，记，求.10.（20xx福建文17）（本小题满分12分）在等比数列中，.（1）求；（2）设，求数列的前项和.11.（20xx浙江文19）已知等差数列的公差，设的前项和为，.（1）求及；（2）求的值，使得.12.（20xx北京文5）执行如果所示的程序框图，输出的值为（ ）.A.3 B. 4 C.5 D.612.解析 解法一:执行程序框图，输出.故选B.解法二：由算法图知是一个以3为首项，为公比的等比数列，即，解得.13.（20xx全国文7）已知是公差为1的等差数列，为的前项和，若，则（ ）.A. B. C.

5、D.13.解析 解法一：由，知，解得.所以.故选B.解法二：由，即，可得.又公差，所以，即，解得.则.故选B.14.（20xx全国1文13）在数列中，为的前n项和.若，则 .14.解析 由，得，即数列是公比为的等比数列.，得.15.（20xx全国文9）已知等比数列满足，则（ ）.A. B. C. D.15.解析 由等比数列的性质得，即，则 .所以有，所以.故 .故选C.16.（20xx陕西文13）中位数为的一组数构成等差数列，其末项为，则该数列的首项为_.16.解析 若这组数有个，则，又，所以；若这组数有个，则，又，所以.17.（20xx江苏8）已知是等差数列，是其前项和.若，则的值是 .17

6、.20解析 设公差为，则由题意可得，解得，则.18.（20xx全国甲文17）等差数列中，.（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前项和，其中表示不超过的最大整数，如，.18.解析 （1），解得，所以（）.（2）.19.（20xx江苏9）等比数列的各项均为实数，其前项的和为，已知，则 19.解析 解法一：由题意等比数列公比不为，由，因此，得又，得，所以故填 解法二（由分段和关系）：由题意，所以，即下同解法一20.（20xx全国1文17）记为等比数列的前项和.已知，.（1）求的通项公式；（2）求，并判断，是否成等差数列.20.解析 （1）由题意设等比数列的首项为，公比为，则，从而，即，整理得，因此

7、，所以，数列的通项公式为（2）由（1）知，因此所以，成等差数列21.（20xx全国2文17）已知等差数列的前项和为，等比数列的前项和为，.（1）若，求的通项公式；（2）若，求.21.解析 (1)设的公差为，的公比为.由等差数列、等比数列的通项公式可得，解得，故的通项公式为.(2)由(1)及已知得，解得或.所以或. 22.（20xx北京文15）已知等差数列和等比数列满足，（1）求的通项公式；（2）求和：22解析 （1）设的公差为， ，所以，所以.（2） 设的公比为，=，所以，所以是以为首项，为公比的等比数列，所以.题型71 等差、等比数列的求和问题的拓展1.（20xx广东文11） 设数列是首项为

8、，公比为的等比数列，则 1.分析 由首项和公比写出等比数列的前项，然后代入代数式求值.也可以构造新数列，利用其前项和公式求解.解析 方法一：.方法二：因为，数列是首项为，公比为的等比数列，故所求代数式的值为.2.（20xx安徽理13） 已知在数列中，则数列的前9项和等于 .2.解析 由题意可得，又，所以是以为首项，为公差的等差数列，所以.又满足上式，所以，所以.所以.题型72 等差、等比数列的性质及其应用1. （20xx辽宁文4 ）下面是关于公差的等差数列的四个命题：数列是递增数列； 数列是递增数列；数列是递增数列；数列是递增数列；其中的真命题为A. B. C. D. 1.分析 根据等差数列的

9、性质判定.解析 因为，所以，所以是真命题因为，但是的符号不知道，所以是假命题.同理是假命题由，所以是真命题故选D.2. （20xx江西文12）某住宅小区计划植树不少于棵，若第一天植棵，以后每天植树 的棵树是前一天的倍，则需要的最少天数（）等于 .2.解析 每天植树的棵数构成以为首项，为公比的等比数列，其前项和.由，得.由于，则，即.3. （20xx江苏14） 在正项等比数列中，则满足 的最大正整数的值为 .3. 分析 首先由已知条件求出的公比与首项，然后根据求和公式和通项公式将不等式的 两边求出，用表示，得到关于的不等式，然后对不等式进行转化，求得的取值范围并 进行估算和验证，从而得到的最大值

10、.解析 设的公比为，则由已知可得解得于是，.由可得，整理得.由可得，即，解得，即，可以验证当时满足，时不满足，故的最大值为12.4.(20xx重庆文12） 若成等差数列，则 .4.分析 利用等差数列的有关知识先求出公差再运算求解.解析 由题意得该等差数列的公差，所以.5. (20xx陕西文17）设表示数列的前项和.（1）若是等差数列，推导的计算公式；（2）若，且对所有正整数，有.判断是否为等比数列，并证明你的结论.5.分析 利用等差数列的性质倒序相加求和；等比数列的证明通过定义进行.解析 （1）方法一：设的公差为，则.又，所以，所以方法二：设的公差为，则又,所以，所以.（2）是等比数列.证明如

11、下：因为，所以因为，所以当时，有.因此，是首项为且公比为的等比数列6.（20xx辽宁文9）设等差数列的公差为，若数列为递减数列，则（ ）A B C D 7.（20xx陕西文8）原命题为“若，则为递减数列”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是（ ）.A.真，假，真 B.假，假，真 C.真，真，假 D.假，假，假8. （20xx广东文13）等比数列的各项均为正数，且，则 _.9.（20xx江西文13）在等差数列中，公差为，前项和为，当且仅当时取得最大值，则的取值范围是 .10.（20xx陕西文16）（本小题满分12分）的内角所对的边分别为.（1）若成等差数列，求证：；（2

12、）若成等比数列，且，求的值. 11.（20xx广东文13）若三个正数，成等比数列，其中，则 11.解析 因为三个正数，成等比数列，所以.因为，所以.12.（20xx全国文5） 设是等差数列的前项和，若，则（ ）. A. B. C. D.12.解析 由已知，则，.又因为 .故选A.13.（20xx江苏19）对于给定的正整数，若数列满足对任意正整数总成立，则称数列是“数列”（1）证明：等差数列是“数列”；（2）若数列既是“数列”，又是“数列”，证明：是等差数列13.解析 （1）因为是等差数列，设其公差为，则，从而当时，所以，因此等差数列是“数列”（2）由数列既是“数列”，又是“数列”，因此，当时，

13、 当时， 由知， 将代入，得，其中，所以是等差数列，设其公差为在中，取，则，所以，在中，取，则，所以，从而数列是等差数列评注 这是数列新定义的问题，其实类似的问题此前我们也研究过，给出仅供参考（20xx南通基地密卷7第20题）设数列的各项均为正数，若对任意的，存在，使得成立，则称数列为“型”数列（1）若数列是“型”数列，且，求；（2）若数列既是“型”数列，又是“型”数列，证明数列是等比数列解析 （1）由题意得，成等比数列，且公比，所以（2）由是“型”数列得成等比数列，设公比为， 由是“型”数列得成等比数列，设公比为；成等比数列，设公比为；成等比数列，设公比为； 则，所以，不妨令，则 所以，所以

14、，综上，从而是等比数列题型73 判断或证明数列是等差、等比数列1.（20xx江苏20）设数列的前项和为若对任意正整数，总存在正整数，使得，则称是“数列”（1）若数列的前项和 ，求证：是“数列”；（2）设是等差数列，其首项，公差若 是“数列”，求的值；（3）求证：对任意的等差数列，总存在两个“数列”和，使得成立2.（20xx广东文19）设数列的前项和为，已知，且当时，（1）求的值；（2）求证：为等比数列；（3）求数列的通项公式2.解析 （1）当时，即，解得.（2）因为（），所以（），即（），亦即，则.当时，满足上式.故数列是以为首项，公比为的等比数列.（3）由（2）可得，即，所以数列是以为首项，

15、为公差的等差数列，所以，即，所以数列的通项公式是.3.（20xx湖南文19）设数列的前项和为，已知，且.（1）证明：；（2）求.3.解析（1）由条件，对任意，有，因而对任意，有，两式相减，得，即，又，所以，故对一切，.（2）由（I）知，所以，于是数列是首项，公比为的等比数列，数列是首项，公比为的等比数列，所以，于是，从而，综上所述，.4.（20xx湖南文21）函数，记为的从小到大的第个极值点.（1）证明：数列是等比数列；（2）若对一切恒成立，求的取值范围.4.解析（1），令，由，得，即，若，即，则；若，即，则.因此，在区间与上，的符号总相反，于是当时，取得极值，所以，此时，易知，而是常数，故数

16、列是首项为，公比为的等比数列.（2）对一切恒成立，即恒成立，亦即恒成立（因为）.设，则，令得，当时，所以在区间上单调递减；当时，所以在区间上单调递增；因为，且当时，所以，因此恒成立，当且仅当，解得，故实数的取值范围是.5.（20xx浙江文8）如图所示，点列分别在某锐角的两边上，且， (表示点与不重合) .若，为的面积，则（ ）.A .是等差数列 B.是等差数列 C.是等差数列 D.是等差数列5.A解析 设点到对面直线的距离为，则.由题目中条件可知的长度为定值，则.那么我们需要知道的关系式，过点作垂直得到初始距离，那么和两个垂足构成了直角梯形，那，其中为两条线的夹角，那么，由题目中条件知，则.所，其中为定值，所以为等差数列.故选A.6.（20xx全国1文17）记为等比数列的前项和.已知，.（1）求的通项公式；（2）求，并判断，是否成等差数列.6.解析 （1）由题意设等比数列的首项为，公比为，则，从而，即，整理得，因此，所以，数列的通项公式为（2）由（1）知，因此所以，成等差数列欢迎访问“高中试卷网”http:/sj.fjjy.org