分解因式公式法教案

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1、15521 公式法（一） 教学目标 （一）教学知识点 运用平方差公式分解因式 （二）能力训练要求 1能说出平方差公式的特点 2能较熟练地应用平方差公式分解因式 3初步会用提公因式法与公式法分解因式并能说出提公因式在这类因式分解中的作用 4知道因式分解的要求：把多项式的每一个因式都分解到不能再分解 （三）情感与价值观要求 培养学生的观察、联想能力，进一步了解换元的思想方法 教学重点 应用平方差公式分解因式 教学难点 灵活应用公式和提公因式法分解因式，并理解因式分解的要求 教学方法 自主探索法 教具准备 投影片 教学过程 提出问题，创设情境 出示投影片，让学生思考下列问题 问题1：你能叙述多项式因

2、式分解的定义吗？ 问题2：运用提公因式法分解因式的步骤是什么？ 问题3：你能将a2-b2分解因式吗？你是如何思考的？ 生1多项式的因式分解其实是整式乘法的逆用，也就是把一个多项式化成了几个整式的积的形式 2提公因式法的第一步是观察多项式各项是否有公因式，如果没有公因式，就不能使用提公因式法对该多项式进行因式分解 3对不能使用提公因式法分解因式的多项式，不能说不能进行因式分解 生要将a2-b2进行因式分解，可以发现它没有公因式，不能用提公因式法分解因式，但我们还可以发现这个多项式是两个数的平方差形式，所以用平方差公式可以写成如下形式： a2-b2=（a+b）（a-b） 师多项式的乘法公式的逆向应

3、用，就是多项式的因式分解公式，如果被分解的多项式符合公式的条件，就可以直接写出因式分解的结果，这种分解因式的方法称为运用公式法今天我们就来学习利用平方差公式分解因式 导入新课 师观察平方差公式：a2-b2=（a+b）（a-b）的项、指数、符号有什么特点？ （让学生分析、讨论、总结，最后得出下列结论） （1）左边是二项式，每项都是平方的形式，两项的符号相反 （2）右边是两个多项式的积，一个因式是两数的和，另一个因式是这两数的差 （3）在乘法公式中，“平方差”是计算结果，而在分解因式，“平方差”是得分解因式的多项式2 / 10 由此可知如果多项式是两数差的形式，并且这两个数又都可以写成平方的形式，

4、那么这个多项式可以运用平方差公式分解因式 出示投影片 做下列填空题的作用在于训练学生迅速地把一个单项式写成平方的形式也可以对积的乘方、幂的乘方运算法则给予一定时间的复习，避免出现4a2=（4a）2这一类错误 填空： （1）4a2=（ ）2； （2）b2=（ ）2； （3）0.16a4=（ ）2； （4）1.21a2b2=（ ）2； （5）2x4=（ ）2； （6）5x4y2=（ ）2 例题解析： 出示投影片： 例1分解因式 （1）4x2-9 （2）（x+p）2-（x+q） 例2分解因式 （1）x4-y4 （2）a3b-ab 可放手让学生独立思考求解，然后师生共同讨论，纠正学生解题中可能发生的错

5、误，并对各种错误进行评析师生共析 例1（1） （教师可以通过多媒体课件演示（1）中的2x，（2）中的x+p相当于平方差公式中的a；（1）中的3，（2）中的x+q相当于平方差中的b，进而说明公式中的a与b可以表示一个数，也可以表示一个单项式，甚至是多项式，渗透换元的思想方法） 例2（1）x4-y4可以写成（x2）2-（y2）2的形式，这样就可以利用平方差公式进行因式分解了但分解到（x2+y2）（x2-y2）后，部分学生会不继续分解因式，针对这种情况，可以回顾因式分解定义后，让学生理解因式分解的要求是必须进行到多项式的每一个因式都不能再分解为止 （2）不能直接利用平方差公式分解因式，但通过观察可以

6、发现a3b-ab有公因式ab，应先提出公因式，再进一步分解 解：（1）x4-y4 =（x2+y2）（x2-y2） =（x2+y2）（x+y）（x-y） （2）a3b-ab=ab（a2-1）=ab（a+1）（a-1） 学生解题中可能发生如下错误： （1）系数变形时计算错误； （2）结果不化简； （3）化简时去括号发生符号错误 最后教师提出： （1）多项式分解因式的结果要化简： （2）在化简过程中要正确应用去括号法则，并注意合并同类项 练一练： （出示投影片） 把下列各式分解因式 （1）36（x+y）2-49（x-y）2 （2）（x-1）+b2（1-x） （3）（x2+x+1）2-1 （4）- 随

7、堂练习 1课本P196练习1、2 课时小结 1如果多项式各项含有公因式，则第一步是提出这个公因式 2如果多项式各项没有公因式，则第一步考虑用公式分解因式 3第一步分解因式以后，所含的多项式还可以继续分解，则需要进一步分解因式直到每个多项式因式都不能分解为止15532 公式法（二） 教学目标 （一）教学知识点 用完全平方公式分解因式 （二）能力训练要求 1理解完全平方公式的特点 2能较熟悉地运用完全平方公式分解因式 3会用提公因式、完全平方公式分解因式，并能说出提公因式在这类因式分解中的作用 4能灵活应用提公因式法、公式法分解因式 （三）情感与价值观要求 通过综合运用提公因式法，完全平方公式分解

8、因式，进一步培养学生的观察和联想能力通过知识结构图培养学生归纳总结的能力 教学重点 用完全平方公式分解因式 教学难点 灵活应用公式分解因式 教学方法 探究与讲练相结合的方法 教具准备 投影片 教学过程 提出问题，创设情境 问题1：根据学习用平方差公式分解因式的经验和方法，分析和推测什么叫做运用完全平方公式分解因式？能够用完全平方公式分解因式的多项式具有什么特点？ 问题2：把下列各式分解因式 （1）a2+2ab+b2 （2）a2-2ab+b2 生将整式乘法的平方差公式反过来写即是分解因式的平方差公式同样道理，把整式乘法的完全平方公式反过来写即分解因式的完全平方公式 师能不能用语言叙述呢？ 生能两

9、个数的平方和，加上（或减去）这两数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方 问题2其实就是完全平方公式的符号表示即：a2+2ab+b2=（a+b）2，a2-2ab+b2（a-b）2 师今天我们就来研究用完全平方公式分解因式 导入新课 出示投影片 下列各式是不是完全平方式？ （1）a2-4a+4 （2）x2+4x+4y2 （3）4a2+2ab+b2 （4）a2-ab+b2 （5）x2-6x-9 （6）a2+a+0.25 （放手让学生讨论，达到熟悉公式结构特征的目的） 结果：（1）a2-4a+4=a2-22a+22=（a-2）2 （3）4a2+2ab+b2=（2a）2+22ab+（b）2=（2a

10、+b）2 （6）a2+a+0.25=a2+2a0.5+0.52=（a+0.5）2 （2）、（4）、（5）都不是 方法总结：分解因式的完全平方公式，左边是一个二次三项式，其中有两个数的平方和还有这两个数的积的2倍或这两个数的积的2倍的相反数，符合这些特征，就可以化成右边的两数和（或差）的平方从而达到因式分解的目的 例题解析 出示投影片 例1分解因式： （1）16x2+24x+9 （2）-x2+4xy-4y2 例2分解因式： （1）3ax2+6axy+3ay2 （2）（a+b）2-12（a+b）+36 学生有前一节学习公式法的经验，可以让学生尝试独立完成，然后与同伴交流、总结解题经验 例1（1）分

11、析：在（1）中，16x2=（4x）2，9=32，24x=24x3，所以16x2+14x+9是一个完全平方式，即 解：（1）16x2+24x+9 =（4x）2+24x3+32 =（4x+3）2 （2）分析：在（2）中两个平方项前有负号，所以应考虑添括号法则将负号提出，然后再考虑完全平方公式，因为4y2=（2y）2，4xy=2x2y 所以： 解：-x2+4xy-4y2=-（x2-4xy+4y2） =-x2-2x2y+（2y）2 =-（x-2y）2 练一练： 出示投影片 把下列多项式分解因式： （1）6a-a2-9； （2）-8ab-16a2-b2； （3）2a2-a3-a； （4）4x2+20（x

12、-x2）+25（1-x）2 随堂练习 课本P198练习1、2 课时小结 学习因式分解内容后，你有什么收获，能将前后知识联系，做个总结吗？ （引导学生回顾本大节内容，梳理知识，培养学生的总结归纳能力，最后出示投影片，给出分解因式的知识框架图，使学生对这部分知识有一个清晰的了解） 课后作业 课本P198练习1553、5、8、9、10题三级训练 板书设计 15.5.2 公式法知识要点 1把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法常用公式有： 两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积即a2-b2=（a+b）（a-b） 两个数的平方和加上（或减去）这两个数的

13、积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方即a22ab+b2=（ab）2 2分解因式时首先观察有无公因式可提，再考虑能否运用公式法典型例题 例一个正方形的面积是（x+1）（x+2）（x+3）（x+4）+1，你知道这个正方形的边长是多少吗？（x0） 分析：本题的实质是把多项式（x+1）（x+2）（x+3）（x+4）+1化成完全平方式的形式，可以运用分解因式的方法 解：（x+1）（x+2）（x+3）（x+4）+1=（x+1）（x+4）（x+2）（x+3）+1 =（x2+5x+4）（x2+5x+6）+1 =（x2+5x）2+10（x2+5x）+24+1 =（x2+5x+5）2 这个正方形的边形是x2+

14、5x+5第一课时一、选择题：1下列代数式中能用平方差公式分解因式的是（ ） Aa2+b2 B-a2-b2 Ca2-c2-2ac D-4a2+b22-4+0.09x2分解因式的结果是（ ） A（0.3x+2）（0.3x-2） B（2+0.3x）（2-0.3x） C（0.03x+2）（0.03x-2） D（2+0.03x）（2-0.03x）3已知多项式x+81b4可以分解为（4a2+9b2）（2a+3b）（3b-2a），则x的值是（ ） A16a4 B-16a4 C4a2 D-4a24分解因式2x2-32的结果是（ ） A2（x2-16） B2（x+8）（x-8） C2（x+4）（x-4） D（2

15、x+8（x-8）二、填空题：5已知一个长方形的面积是a2-b2（ab），其中长边为a+b，则短边长是_6代数式-9m2+4n2分解因式的结果是_725a2-_=（-5a+3b）（-5a-3b）8已知a+b=8，且a2-b2=48，则式子a-3b的值是_三、解答题9把下列各式分解因式：a2-144b2 R2-r2 -x4+x2y210把下列各式分解因式：3（a+b）2-27c2 16（x+y）2-25（x-y）2 a2（a-b）+b2（b-a） （5m2+3n2）2-（3m2+5n2）2四、探究题11你能想办法把下列式子分解因式吗？ 3a2-b2 （a2-b2）+（3a-3b）答案:1D 2A

16、3B 4C 5a-b 6（2n+3m）（2n-3m） 79b2 84 9（a+12b）（a-12b）；（R+r）（R-r）；-x2（x+y）（x-y） 103（a+b+3c）（a+b-3c）；（9x-y）（9y-x）；（a+b）（a-b）2；16（m2+n2）（m+n）（m+n） 11（3a+b）（3a-b）；（a-b）（a+b+3）第二课时一、选择题1已知y2+my+16是完全平方式，则m的值是（ ） A8 B4 C8 D42下列多项式能用完全平方公式分解因式的是（ ） Ax2-6x-9 Ba2-16a+32 Cx2-2xy+4y2 D4a2-4a+13下列各式属于正确分解因式的是（ ） A

17、1+4x2=（1+2x）2 B6a-9-a2=-（a-3）2 C1+4m-4m2=（1-2m）2 Dx2+xy+y2=（x+y）24把x4-2x2y2+y4分解因式，结果是（ ） A（x-y）4 B（x2-y2）4 C（x+y）（x-y）2 D（x+y）2（x-y）2二、填空题5已知9x2-6xy+k是完全平方式，则k的值是_69a2+（_）+25b2=（3a-5b）27-4x2+4xy+（_）=-（_）8已知a2+14a+49=25，则a的值是_三、解答题9把下列各式分解因式：a2+10a+25 m2-12mn+36n2 xy3-2x2y2+x3y （x2+4y2）2-16x2y210已知x

18、=-19，y=12，求代数式4x2+12xy+9y2的值11已知x-y+1与x2+8x+16互为相反数，求x2+2xy+y2的值四、探究题12你知道数学中的整体思想吗？解题中，若把注意力和着眼点放在问题的整体上，多方位思考、联想、探究，进行整体思考、整体变形，从不同的方面确定解题策略，能使问题迅速获解 你能用整体的思想方法把下列式子分解因式吗？ （x+2y）2-2（x+2y）+1 （a+b）2-4（a+b-1）答案:1C 2D 3B 4D 5y2 6-30ab 7-y2；2x-y 8-2或-12 9（a+5）2；（m-6n）2；xy（x-y）2；（x+2y）2（x-2y）2 104 1149 12（x+2y-1）2；（a+b-2）2