(完整word版)(第一章全等三角形的辅助线)知识点与练习含解析解析.doc(良心出品必属精品)

《(完整word版)(第一章全等三角形的辅助线)知识点与练习含解析解析.doc(良心出品必属精品)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《(完整word版)(第一章全等三角形的辅助线)知识点与练习含解析解析.doc(良心出品必属精品)（26页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、1（第一章全等三角形的辅助线）知识点与练习含解析解析知识精讲一、中点类辅助线作法见到中线（中点），我们可以联想的内容无非是倍长中线或者是与中点有关的一条线段， 尤其是在涉 及线段的等量关系时，倍长中线的应用更是较为常见，常见添加方法如下图AD是厶ABC底边的 中线）、二、角平分线类辅助线作法有以下三种作辅助线的方式：1、由角平分线上的一点向角的两边作垂线；2、过角平分线上的一点作角平分线的垂线，从而形成等腰三角形;3、OA-OB，这种对称的图形应用得也较为普遍、- O一PB三、截长补短类辅助线作法截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法， 也是把几何题化难为易的一种思想、 所 谓“截

2、长”，就是将三者中最长的那条线段一分为二，使其中的一条线段等于的两条较短线段中的 一条，然后证明其中的另一段与的另一条线段相等；所谓“补短”，就是将一个的较短的线段延长至与另一个的较短的长度相等，然后求出延长后的线段与最长的线段的关系、 有的是采取截长补短 后，使之构成某种特定的三角形进行求解、三点剖析一、考点：全等三角形辅助线的作法二、重难点：中点类、角平分线类、截长补短类辅助线作法三、易错点：1、辅助线只是一个指导方法，出现相关条件或结论时不一定要作辅助线或者是按照模型作辅助线，关键是如何分析题目；2、辅助线不是随便都可以作的，比如“作一条线段等于另外一条线段且与某条线段夹角是多少度” 这

3、种辅助线就不一定能作出来、pO-CE图1N2j卡题模精讲题模一：中点类例 1.1.1 : ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，AB=8,AC =6，试求 AD 的取值范围、【答案】1：AD：,7【解析】该题考查了三角形三边关系和三角形的全等、延长 AD 至 E,使得DE二AD，连结 CE在厶 ABDm ECD 中BD =CD1.!ZADB ZEDCAD =EDABDA ECD SAS AB =CE AE 的取值范围为CE -AC : AE :：: CE AC2 : AE 141：:AD：:7例 1.1.2 如下图，在ABC中，AB =AC ,延长AB到D，使BD二AB，E为AB的中点，连接

4、CE、CD， 求证：CD =2EC、f*E3【解析】解法一：如下图，延长CE到F，使EF =CE，连接 BF、 容易证明EBF也 EAC，从而BF = AC，而AC = AB = BD，故BF = BD、C4注意至U . CBD =. BAC宀/ACB二.BAC宀/ABC,.CBF =. ABC . FBA =. ABC . CAB,故.CBF =. CBD，而BC公用，故：CBF:CBD,因此CD =CF =2CE、【答案】见解析【解【解析】AB D=BC;BE_ CE、证明如下： 在线段BC上取点F，使FB =AB，连结EF、 在ABE和 ：FBE中解法二：如下图，取CD的中点G,连接BG

5、、因为G是CD的中点，B是AD的中点，故BG是.DAC的中位线，从而BG =1AC =1AB =BE，2 2由BG/AC可得.GBC =/ACB =/ABC =/EBC，故BCE也BCG， 从而EC=GC，CD =2CE、题模二：角平分线类例 1.2.1 如图，.A . D =180，BE平分.ABC，CE平分.BCD，1探讨线段AB、CD和BC之间的等量关系、2探讨线段BE与CE之间的位置关系、点E在AD上、5AB =FBI#ABE =/FBEBE =BE/.ABE也FBE . AEB =/FEB , BAE =/BFEI. A . D =180而.BFE . CFE =180. CDE =

6、. CFE在.CDE和CFE中CDE =. CFE ZDCE ZFCECE =CE. CDE CFE. DEC二.FEC,CD二CFAB CD二BC,. BEC =. BEF . CEF =90例 1.2.2 如图，AB=AC,. BAC =90, BD 为/ ABC 的平分线，CE1BE,求证：BD =2CE、【答案】见解析【解析】延长 CE 交 BA 的延长线于点 F、 BD 为/ ABC 的平分线，CEL BE BEFABECBC =BF,CE =FE、/. BAC =90, CEL BE ABD h ACF, 又IAB=AC, ABDAACF BD =CF、BD =2CE、6例 1.2

7、.3ZMAN =120。, AC 平分/ MAN 点 B D 分别在 AN AMh、1如图 1,假设/ABC =/ADC =90，请你探索线段 AD AB AC 之间的数量关系，并证明之;72如图 2,假设.ABC . ADC =180，那么1中的结论是否仍然成立？假设成立，给出证明; 假设不成立，请说明理由、A B N圏1【答案】见解析【解析】1关系是：=.CAB =60=.ABC =90,=/ACB =30二ABAC直角三角形一锐角为 30,那么它所对直角边为斜边一半2AD AB =AC;2仍成立、 证明：过点 C 分别作 AM AN 的垂线，垂足分别为 E、F AC 平分/ MANCE

8、=：CF角平分线上点到角两边距离相等/ . ABC . ADC =180，. ADC . CDE =180. CDE =. ABC又ZCED MCFB =90， CEDACFB AAS/ ED =FB，AD AB =AE -ED AF FB =AE AF由1知AE AF =AC，题模三：截长补短类例 1.3.1 如下图，ABC是边长为1的正三角形，BDC是顶角为120的等腰三角形，以D为顶点作一个60的.MDN，点M、N分别在AB、AC上，求AMN的周长、证明： AC 平分/ MANNMAN =120 . CAD又.ADC. ACD那么ADDAD AB =AC、8【答案】见解析【解【解析】如下

9、图，延长AC到E使CE =BM、9在.BDM与.CDE中，因为BD二CD,. MBD =. ECD =90,BM二CE,所以.BDM也.CDE，故MD =ED、因为.BDC =120 , MDN =60，所以.BDM . NDC =60、又因为.BDM二/CDE，所以.MDN二/EDN =60、在MIND与END中,DN =DN，. MDN =/EDN =60，DM = DE， 所以.:MND也END，那么NE =MN，所以.：AMN的周长为2、例 1.3.2 阅读以下材料：如图 1,在四边形 ABCD 中，/ ACB=/ BAD=105，/ ABC=/ ADC=45 .求证：CD=AB.小刚

10、是这样思考的：由可得，/ CAB=30，/ DAC=75，/ DCA=60，/ ACBVDAC=180，由求 证及特殊角度数可联想到构造特殊三角形即过点 A 作 AEAB 交 BC 的延长线于点 E,那么 AB=AE/E=ZD.在厶 ADC CEA 中,VTZECA=75LAC=CAADCACEA得 CD=AE=AB.请你参考小刚同学思考冋题的方法，解决下面冋题:假设/ ACB+/ CAD=180，/ B=ZD,请问：CD 与 AB 是否相等？假设相等，请你给出证明；假设不相等，请说明理由【答案】见解析【解【解析】该题考查的是全等三角形的判定与性质、CD 与 AB 相等、E10证明如下:11作

11、AE =AB交 BC 的延长线于点 E,. B =/E/ . B =/D. D二.E，/ . ACB . DAC =180，. ACB . ECA =180，. DAC =/ECA，在 DAOm ECA 中DACA ECA CD =AE二CD二AB.随堂练习随练 1.1 如下图，厶ABC中，AD平分.BAC,E、F分别在BD、AD上、DE = CD,EF = AC、求 证：EF/AB、【答案】见解析【解【解析】延长AD到M，使DM =AD，连结EM，利用SAS证明ADC也厶MDE, 乙3 ZM，AC =EM、又AC =EF，EM =EF，乙1 =. M，厶Z3，/ AD平分乙BAC，乙2 Z3

12、， 1=2，EF/AB、AcCA12随练 1.2ABC中，.A =60,BD、CE分别平分.ABC和.ACB,BD、CE交于点O，试判断BE、CD、BC的数量关系，并加以证明、【答案】见解析【解析】BE CD=BC,理由是：在BC上截取BF =BE，连结OF, 利用SAS证得BEO也. BFO,二.1二/2，1TZA =60，二/BOC =90A =120,二/DOE =120，/.CA . DOE =180 , MAEO /ADO =180， . 1 Z3 =180,IE2 . 4 =180,/1 = . 2, Z3 Z4,利用AAS证得-：CDO望CFO, CD =CF,-BC =BF C

13、F =BE CD、随练 1.3 如图，在 ABC 中，zBAC=60&,ZACB=40”, P、Q 分别在 BC CA 上，并且 AP BC 分别 是/ BAC/ ABC 的角平分线、求证：1BQ二CQ;2BQ AQ =AB BP、AM13【答案】见解析【解析】该题考察的是全等三角形、1VBQ 是.ABC的角平分线，1 . QBC ABC、2/ . ABC . ACB . BAC =180，且.BAC =60,ACB =40,. ABC =80,1.QBC 80 =40,2. QBC - . C,BQ二CQ;2延长 AB 至 M 使得BM =BP，连结 MR. M =/BPM,/ ABC 中乙

14、BAC =60,/C =40, /ABC =80,/BQ 平分.ABC,. QBC =40=/C,BQ =CQ,/ . ABC = . M . BPM,. M BPM =40 =. C,/ AP 平分.BAC,. MAP二.CAP, 在厶 AMPF3 ACP 中,M =/C.MAP CAPAP二AP AMP ACPAM =AC,/ AM二AB BM二AB BP,AC二AQ QC二AQ BQ, AB BP二AQ BQ随练 1.4 五边形 ABCD 中,AB =AE,BC DE =CD,. ABC AED=180,求证：AD 平分/ CDE14【答案】见解析【解析】延长 DE 至 F,使得EF =

15、BC，连接 AC./. ABC . AED =180,. AEF . AED =180,二.ABC = . AEF/AB =AE,BC =EF,山 ABCAAEF EF =BC,AC二AF/BC DE二CD, CD二DE EF二DFADCAADFNADC =ZADF即 AD 平分/ CDE随练 1.5 如图，ABC 中，BACB C, AD 是 BC 边上的高，如果CD =AB BD,我们就称厶 ABC为“高和三角形”、请你依据这一定义回答以下问题：1假设/BAC=90乜，忆C=30。，那么 ABC_ “高和三角形”填“是”或“不是”丨；2一般地，如果 ABC 是 “高和三角形”，那么NB与三

16、C之间的关系是_ ，并证明你的结论【答案】1是2B=2C;见解析【解【解析】该题考察的是全等三角形、1如图，Rt ABC 中，BAC =90,B =60,C =30在 BC上截取BE AB，那么 ABE 为等边三角形AB二BE =AEI BAE =60,BAC =90EAC =30=/CAE =ECAB =ECTAD _BC，且 ABE 为等边三角形BD =DEA15DC =DE EC =BD AB16是咼和二角形、2如上图，在 ABC 中，在 DC 上截取DE =BD、/ CD =AB BDCE =ABZC = EACBEA=2/ AD 是 BC 边上的高且BD =DEABDAAED SAS

17、. AEB =. B. B =2 C随练 1.6 如下图，BAC= .DAE=90,M是BE的中点，AB二AC,AD =AE，求证AM _ CD、【答案】见解析【解析】如下图，设AM交DC于H，要证明AM _ CD，实际上就是证明AHD二90，而条件BM二ME不好运用，我们可以倍长中线AM到F，连接BF交AD于点N，交CD于点0、 容易证明.AME也AFMB那么AE =FB，/EAF ZF，从而AE/FB，ZANF =90而.CAD . DAB =90，. DAB . ABN =90，故.CAD =/ABN从而CAD也ABF，故.D - . F而.D . DON =. FOH . F =90故

18、.AHD =90，亦即AM _CD、随练 1.7 :如图，在 ABC 中，.ABC =3. C， 1=/2，BE!AE 求证：AC-AB=2BE、AE17【答案】见解析【解析】延长 BE 交 AC 于 M/ BE 丄 AE. AEB =/AEM =90在 ABE 中，I. 1. 3 . AEB =180, . 3 =90 一/1同理，.4 =90, -Z2 / . 1二/2, 3二/4, AB = AM/BE 丄 AE, BM =2BE,AC _AB =AC - AM =CM,/ 4 是厶 BCM 勺外角， .4=.5.c/. ABC =3. C, .ABC -.3. 5-. 4. 53. Z

19、45 =25. C , Z5 ZCCM =BM, AC _AB =BM =2BEy自我总结专课后作业作业 1：如图，E 是 BC 的中点，点 A 在 DE 上 ,且.BAE - CDE、【答案】见解析、【解析】延长 DE 到 F,使EF二DE，连接 BF, E 是 BC 的中点，BE=CE, 在 BEF 和厶 CED 中18BE =CEI立BEF =. CEDEF =DE . F =. CDE,BF =CD、I. BAE =. CDE, .BAE =. F、作业 2 如图，在ABC中，D 为 BC 边上的中点，AE 平分.BAC交 BC 于 E,DF/AE交 AC 于 F,AC =2,【答案】

20、32【解析】解：延长 DF 交 BA 延长线与点 G 延长 FD 到 H 使得HD二FD，连接 BHAE平分/BAC,DG /AE,Z BAE ZEAC ZDFC ZAFG ZDGA,. FA =GA,又DH =DF,CD =DB，易得.CFD：- BHD,.CF =BH, CFD = BHD = AGF,那么BH二BG =CF，设AF =x，那么BG =1 x,CF二AC AF =2 x =BH二BG =1 x, 解得，x =-,CF =2 -x =3、2 2AB =BF,AB =CD、19【答案】见解析【解析】在 AB 上截取点 E,使得AE二AC、/ AD 平分/ BACEAD =NCA

21、D,ADEAADC SAS、ZAED =NC,ED =CD、/ . C =2 B, .AED=2 B、/ . AED =. B . EDB, .B =. EDB, BE二DE、CD二BE二AB AE二AB AC、作业 4:. AOB =90, OM 是/AOB 的平分线，将三角板的直角顶点 P 在射线 OM 上滑动，两直角边分 别与OA OB 交于 C、D1、PC 和 PD 的数量关系是_、【答案】见解析【解【解析】1、PC =：PD、AB _ AC二CD、202过 P 分别作 PEOB 于 E, PF 丄 OA 于 F,21 . CFP =. DEP =90,TOM 是/ AOB 的平分线，

22、PE二PF,/ . 1. FPD =90，且.AOB =90,. FPE =90,. 2. FPD =90, .1 = 2,在厶 CFP DEP 中J?CPF =. DEP(PF =PE, DEP PC=PD、J /1 =/2作业 5:如图, ABC 中 ,12DP 丄 BC 时如图,BD平分/ ABC BC上有动点P、BP=DC CP;AB =AC1,求证：如图 2，BD CD CP 三者有何数量关系?【解【解析】1证明：在 BP 上截取PM二PC,连接 DMTDPI BC,DM二DC,. C =/DMC,TAB =AC,. ABC = . C = . DMP,TBD 平分/ ABC. AB

23、C =2. DBC = . C,. DMC =2. DBC,TEDMC ZDBC ZBDM,/DBC ZMDB,DM =BM =DC,BP =BM PM二DC CP、2BD =CD CP222解：BD =CD CP,理由是：在 BD 上截取DM二DC，连接 PMvDP 平分/ BDC . MDP =. CDP,在厶 MDFm CDP 中DM =DCI/MDP二/CDPDP =DP MDS CDP SAS,CP =MP,C =/DMP,.C = . ABC =2. DBC,. DMP =2 DBC =. DBC . MPB,. DBC =. MPB,BM二MP =CP,BD二CD CP、作业 6

24、 等腰ABC,. A =100,. ABC的平分线交AC于D，那么BD AD二BC、【答案】见解析【解析】如图，在BC上截取BE =BD，连接DE,过D作DF/BC,交AB于F，于是.3 =/2,. ADF =/ECD、又V 1 - 2,. 1二/3，故DF -BF、显然FBCD是等腰梯形、BF =DC,DF =DC、111V/2 ABC180 -100=20,22 2/1BED = BDE180-2 =80, DEC =180BED =100, .FAD =. DEC =100, AFD也.：EDC,AD =EC、又VBE =BD, BC二BD EC = BD AD、23作业 7 如图，在

25、ABC 中，AB=AC,D 是三角形外一点，且.ABD =60 , BD DC二AB、求证：ACD =60/ BD CD =AB，BE =BD DE，二BE =AB，V. ABD =60，二 ABE 是等边三角形， AE = AB = AC，. E =60，工AC =AE心 ACD?3 ADE 中,CD =DE，iAD =ADACDAADE SSS，MACD E =60、作业 8 如图 1，在 ABC 中，.ACB =2. B，/ BAC 的平分线 AO 交 BC 于点 D,点 H 为 AO 上一动点, 过点H 作直线 I 丄 AO 于 H,分别交直线 AB AG BC 于点 N、E、M图1图

26、2圏31当直线 I 经过点 C 时如图 2，证明：BN =CD;使CD二DE，连接 AE AD242当 M 是 BC 中点时，写出 CE 和 CD 之间的等量关系，并加以证明;3请直接写出 BN CE CD 之间的等量关系、25【答案】1见解析2CD =2CE 3当点 M 在线段 BC 上时，CD二BNCE;当点 M 在 BC 的延 长线上时，CD =BN _CE；当点 M 在 CB 的延长线上时，CD =CE _BN【解析】该题考查的是等腰三角形的三线合一，全等三角形的判定和性质、1证明：连接 ND AO 平分/ BAC . 1 =/2，直线 I 丄 AO 于 H, . 4 = . 5 =9

27、0，二.6 = . 7，AN =AC，NH =CH，AH 是线段 NC 的中垂线，DN =DC，. 8 =/9、. AND二.ACB，/ . AND =/B . 3，. ACB =2. B，. B =/3，BN =DN、BN二DC;2如图，当 M 是 BC 中点时，CE 和 CD 之间的等量关系为CD-2CE证明：过点 C 作 CN丄 AO 交 AB于 N、由1可得BN =CD，AN = AC，AN = AC、4 = . 3，NN =CE、过点 C 作 CG/ AB 交直线 I 于 G4 = 2，. B =. 1、2= 3、CG =CE、 M 是 BC 中点，BM =CM在厶 BNMffiACGM 中,B = 12.BM二CMNMB二GMCBNMACGMASABN二CE、CD二BN二NN BN =2CE、263BN CE CD 之间的等量关系：当点 M 在线段 BC 上时，CD =BN CE;当点 M 在 BC 的延长线上时，CD =BN _CE; 当点 M 在 CB 的延长线上时，CD=CE _BN、