第21讲几何概型及随机模拟

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1、普通高中课程标准实验教科书一数学人教版高三新数学第一轮复习教案(讲座21)几何概型及随机模拟一课标要求：1了解随机数的意义，能运用模拟方法(包括计算器产生随机数来进行模拟)估计 概率，初步体会几何概型的意义；2 通过阅读材料，了解人类认识随机现象的过程。二.命题走向本讲内容在高考中所占比较轻，纵贯近几年的高考对概率要求降低，但本讲内容使 新加内容，考试涉及的可能性较大。预测07年高考：(1) 题目类型多以选择题、填空题形式出现，；(2) 本建考试的重点内容几何概型的求值问题，我们要善于将实际问题转化为概率 模型处理。三要点精讲1 随机数的概念随机数是在一定范围内随机产生的数，并且得到这个范围内

2、任何一个数的机会是均 等的。2 .随机数的产生方法(1) 利用函数计算器可以得到01之间的随机数；(2) 在Scilab语言中，应用不同的函数可产生01或ab之间的随机数。3 .几何概型的概念如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称 这样的概率模型为几何概率模型；4 .几何概型的概率公式：构成事件A的区域长度(面积或体 积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)5 .几种常见的几何概型(1) 设线段I是线段L的一部分，向线段L上任投一点.若落在线段I上的点数与线 段L的长度成正比，而与线段I在线段I上的相对位置无关，则点落在线段I上的概率为：P=l的长度/

3、L的长度(2) 设平面区域g是平面区域 G的一部分，向区域G上任投一点，若落在区域g上的 点数与区域g的面积成正比，而与区域g在区域G上的相对位置无关，则点落在区域g上 概率为：P=g的面积/G的面积(3) 设空间区域上v是空间区域 V的一部分，向区域V上任投一点.若落在区域v上 的点数与区域 v的体积成正比，而与区域v在区域v上的相对位置无关，则点落在区域 V 上的概率为：P=v的体积N的体积四典例解析题型1:线长问题例1 一个实验是这样做的，将一条5米长的绳子随机地切断成两条，事件T表示所切两段绳子都不短于 1米的事件，考虑事件 T发生的概率。分析：类似于古典概型，我们希望先找到基本事件组

4、，既找到其中每一个基本事件。 注意到每一个基本事件都与唯一一个断点一一对应，故引例中的实验所对应的基本事件 组中的基本事件就与线段 AB上的点一一对应，若把离绳AB首尾两端1的点记作M、N， 则显然事件T所对应的基本事件所对应的点在线段MN上。由于在古典概型中事件 T的概率为T包含的基本事件个数/总的基本事件个数，但这两个数字（T包含的基本事件个数、总的基本事件个数） 在引例1中是无法找到的，不过用线段 MN的长除以线段 AB的长表示事件T的概率似乎也是合理的。解：P（ T） =3/5。例2 （磁带问题）乔和摩进行了一次关于他们前一天夜里进行的活动的谈话。然而谈话却被监听录音机记录了下来，联邦

5、调查局拿到磁带并发现其中有10秒钟长的一段内容包含有他们俩犯罪的信息然而后来发现，这段谈话的一部分被联邦调查局的一名工作人员擦掉了，该工作人员声称她完全是无意中按错了键，并从即刻起往后的所有内容都被榛掉了试问如果这10秒钟长的谈话记录开始于磁带记录后的半分钟处，那么含有犯罪内容的谈话被部分或全部偶然擦掉的概率将是多大？解析：将3O分钟的磁带表示为长度为3O的线段R,则代表10秒钟与犯罪活动有关的谈 话的区间为r,如右图所示，10秒钟的谈话被 偶然擦掉部分或全部的事件仅在擦掉开始的 时间位于该区间内或始于该区间左边的任何点。因此事件rr的面积此，P（ - R的面积例3 假设车站每隔、 1 1 2

6、 是始于R线段的左端点且长度为一=的事件。因26323 2 0.02。309010分钟发一班车，随机到达车站，问等车时间不超过3分钟的概率?II1解：以两班车出发间隔 （0,10 ）区间作为样本空间 S,乘客随机地到达，即在这个长Sf 10度是10的区间里任何一个点都是等可能地发生，因此是几何概率问题。要使得等车的时间不超过 3分钟，即到达的时刻应该是图中A包含的样本点，a的长度 3p=S的长度= i0=0.3题型2 :面积问题例4投镖游戏中的靶子由边长为1米的四方板构成，并将此板分成四个边长为 1/2米的小方块。实验是向板中投镖，事件A 表示投中阴影部分为成功，考虑事件A发生的概率。分析与解

7、答：类似于引例1的解释，完全可以把此引例中的实验所对应的基本事件组与大的正方形区域联系在一起，既事件 组中的每一个基本事件与大正方形区域中的每一个点对应，则事件A所包含的基本事件就与阴影正方形中的点一一对应，这样我们用阴影正方形的面积除以大正方形的面积表示事件A的概率是合理的。这一点我们完全可以用引例1的方法验证其正确性。解析：P（ A） =（ 1/2）2/12=1/4。例5.（ CB对讲机问题）（CB即CitizenBand市民波段的英文缩写）两个CB对讲机持有者，莉莉和霍伊都为卡尔货运公司工作，他们的对讲机的接收范围为25公里，在下午3:00时莉莉正在基地正东距基地30公里以内的某处向基地

8、行驶，而霍伊在下午3: 00时正在基地正北距基地 40公里以内的某地向基地行驶，试问在下午3: 00时他们能够通过对讲机交谈的概率有多大？解：设x和y分别代表莉莉和霍伊距某地的距离，于是 0WxE30,0y 兰40则他俩所有可能的距离的数据构成有序点对（x,y）,这里x, y都在它们各自的限制范围内，则所有这样的有序数 对构成的集合即为基本事件组对应的几何区域，每一个 几何区域中的点都代表莉莉和霍伊的一个特定的位置， 他们可以通过对讲机交谈的事件仅当他们之间的距离不 超过25公里时发生（如右图）因此构成该事件的点由满 足不等式 x2y2 25的数对组成，此不等式等价于 x2 y2 _625右图

9、中的方形区域代表基本事件组，阴影部分代 表所求事件，方形区域的面积为1200平方米公里，而事件的面积为030 x2625 二 ,625 二 / 4 _ 625 二2于是有p二12004800二=0.41。90例6.(意大利馅饼问题)山姆的意大利馅饼屋中设有一个投镖靶该靶为正方形板.边长为18厘米，挂于前门附近的墙上，顾客花两角伍分的硬币便可投一镖并可有机会赢得 一种意大利馅饼中的一个，投镖靶中画有三个同心圆，圆心在靶的中心，当投镖击中半 径为1厘米的最内层圆域时可得到一个大馅饼；当击中半径为1厘米到2厘米之间的环域时，可得到一个中馅饼；如果击中半径为2厘米到3厘米之间的环域时，可得到一个小馅饼

10、，如果击中靶上的其他部分，则得不到谄饼，我们假设每一个顾客都能投镖中 靶，并假设每个圆的周边线没有宽度，即每个投镖不会击中线上，试求一顾客将嬴得：(a) 张大馅饼，(b) 张中馅饼，(c) 一张小馅饼，(d) 没得到馅饼的概率R和子区域解析：我们实验的样本空间可由一个边长为18的正方形表示。右图表明ri、 2、rs和r,它们分别表示得大馅饼、中馅饼、小馅饼或没得到馅饼的事件。门的面积(a) p(r1)：R的面积r2的面积(b) P(D)wR的面积r3的面积(c) P(r3R的面积r4的面积(d) P(r4l积324(1)324-0.03 ；324= 0.05 ；324 二(3)324题型3 :

11、体积问题例7 (1)在400毫升自来水中有一个大肠杆菌，今从中随机取出2毫升水样放到显微镜下观察，求发现大肠杆菌的概率。解析：由于取水样的随机性，所求事件的概率等于水样的体积与总体积之比，即 2/400=0.005 。(2)如果在一个5万平方公里的海域里有表面积达40平方公里的大陆架贮藏着石油，假如在这海领域里随意选定一点钻探，问钻到石油的概率是多少 ？解析：由于选点的随机性，可以认为该海域中各点被选中的可能性是一样的，因而所求概率自然认为等于贮油海域的面积与整个海域面积之比，即等于40/50000=0.0008。例8 .在线段0 , 1上任意投三个点，问由0至三点的三线段，能构成三角形与不能

12、构成三角形这两个事件中哪一个事件的概率大。解析：设0到三点的三线段长分别为x,y,z，即相应的八 z右端点坐标为x,y,z,显然0兰x, y,z兰1这三条线O段构成三角形的充要条件是：x y z, x z y, y z x。在线段0， 1上任意投三点x,y,z。与立方体OxEl，OyEl， 0 乞zE1 中的点(x, y,z)y一一对应，可见所求“构成三角形”的概率，等价于 边长为1的立方体T中均匀地掷点，而点落在x y z, x z y, y z x区域中的概率； 这也就是落在图中由 ADC ADB BDC AOC, AOB, BOC所围成的区域 G中的概率。由于V(T) =1,3 1 1

13、3 1V(G) =13 -3133221P=V(G)/V(T)：2由此得，能与不能构成三角形两事件的概率一样大。题型4 :随机模拟区域的概率与区域的面积成正比，求原点与该点的连线与解析：半圆域如图设A= 原点与该点连线与由几何概率的定义A勺面积-半园的面积例10.随机地取两个正数x轴的夹角小于二/4的概率x轴夹角小于二/4 1r21 2- aa-421.丄122。 JIa2x和y，这两个数中的每一个都不超过1，试求x与y之例9.随机地向半圆0 ： y ：-.、2ax - x2 ( a为正常数)内掷一点，点落在园内任何和不超过1,积不小于0.09的概率.解析：0=x二1, 0二y匕1，不等式确定

14、平面域S。A二x y二1, xy -0.09 贝U A发生的充要条件为 0三x y二1, 1 - xy - 0.09不故:= 0.40.18ln 3 =0.2等式确定了 S的子域A ,A的面积S的面积0.90.1(1X例11.曲线y=-x2+i与x轴、y轴围成一个区域 A，直线x=1、直线y=1、x轴围成 一个正方形，向正方形中随机地撒一把芝麻，利用计算机来模拟这个试验，并统计出落 在区域A内的芝麻数与落在正方形中的芝麻数。答案：如下表，由计算机产生两例 01之间的随机数，它们分别表示随机点（ x,y） 的坐标。如果一个点（x,y）满足yW-x2+1，就表示这个点落在区域 A内，在下表中最后

15、一列相应地就填上1,否则填0。xy计数0.5988950.94079400.5122840.11896110.4968410.78441700.1127960.69063410.3596000.37144110.1012600.6505121JJJ0.9473860.90212700.1176180.30567310.5164650.22290710.5963930.9696950五.思维总结1 几何概率是考研大纲上要求的基本内容，也是近年来新增考察内容之一；2 有关几何概率的题目难度不大，但需要准确理解题意，利用图形分析问题。本讲 将着重介绍如何利用图形解决几何概率的相关问题；3 .学好几何概率对于解决后续均匀分布的问题有很大帮助。4 关于几何概型：（1 ）我们是就平面的情形给出几何概型的，同样的方法显然也适用于直线或空间的 情形，只需将“面积”相应地改变为“长度”、“体积”；（2）几何概型并不限于向平面 （或直线、空间）投点的试验，如果一个随机试验有无 限多个等可能的基本结果，每个基本结果可以用平面（或直线、空间）中的一点来表示，而 所有基本结果对应于一个区域 Q,这时，与试验有关的问题即可利用几何概型来解决。