轴对称综合提高练习进步

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1、-!轴对称综合提高练习知识点拨1. 非等腰三角形中边角的不等关系：在一个三角形中，如果两边不相等，那么它们所对的角也不相等，大边对大角；如果两角不相等，那么它们所对的边也不相等， 大角对大边.可 利用图和图证明这两个事实.CC B2. 平面直角坐标系中，关于坐标轴夹角平分线对称的点的坐标特征：如图，如果点的坐标是(a, b),那么点A关于一、三象限角平分线对称的点B的坐标是(b, a),关于二、四象限角平分线对称的点 C的坐标是(一b,- a) 点A在其他象限时这一规律仍然成 立，只要两点关于一、三象限角平分线对称，其横、纵坐标互换位置；关于二、四象限角平 分线对称，其横、纵坐标变号后互换位置

2、.能力提升类例1 已知等腰厶ABC中，AB = AC，/ BAC = 30, AD为BC边上的高，P点在 AC 上, E点在AD上，若PE+ EC的最小值为4，则 ABC的面积为()A. 8 B. 16 C. 32 D. 64APCD例 2 已知点 A (- 2, 4)、B (2, 4)、C (- 1, 2)、D ( 1, 2)、E (- 3, 1 )、F (3, 1)是平面直角坐标系内的 6个点，选择其中三个点连成一个三角形，剩下三个点连成另一 个三角形，若这两个三角形关于y轴对称，就称为一组对称三角形，那么，坐标系中能找出组对称三角形.-4 -3 -2 -1 O综合运用类例3如图所示，把正

3、方形纸片ABCD对折后打开，折痕为MN ,再把顶点D折到MN 上的一点P上，折痕为CE，把顶点A折到MN上的同一点，折痕为 BF，请回答下列问题：(1) 线段PC、PB与正方形的边长有什么关系？(2) Z CPB的度数是多少？(3) 还能知道哪些角的度数？请指出来.已知：如图所示， ABC 求证：PB+ PC= PA.是等边三角形，P是三角形外的一点， 且/ ABP + Z ACP思维拓展类例5 如图所示，在 ABC中，AB = AC , F是AC上一点，在 BA延长线上取一点 E 使AE = AF，连结EF并延长，交 BC于D，求证：EF丄BC .D例6 如图所示， ABC的边BC在直线I上

4、，AC丄BC,且AC = BC; EFP的边FP 也在直线I上，边 EF与边 AC重合，且 EF = FP, EF丄FP.(1) 在图1中，请你通过观察测量，猜想并写出AB与AP所满足的数量关系和位置 关系；(2) 将厶EFP沿直线I向左平移到图2的位置时，EP交AC于点Q,连结AP、BQ , 猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想；(3) 将厶EFP沿直线I向左平移到图3的位置时，EP的延长线交AC的延长线于点 Q , 连结AP、BQ,你认为(2)中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由.图1图2、等腰三角形中常用到的辅

5、助线1. 通常作底边的高、中线或顶角平分线;2. 底边有中点时，常常连底边上的中线；3. 截长补短法.在证明多条线段的和差关系时常用此法，特别是在已知条件中有角平分 线时，一般是在长边上截取短边，构造全等三角形.以上添加辅助线的最终目的是：通过等腰三角形、角平分线、线段的垂直平分线、 全等 三角形把分散的边角关系进行集中.二、几何证明题的分析方法从已知条件入手，运用定义、定理、公理逐步推出结论的方法叫做综合法.从要证明的结论出发，根据定义、性质、定理、公理，寻找能使结论成立的条件，一直追溯到能使结论 成立的条件与已知条件吻合的方法叫做分析法.在解几何问题时，两种方法常结合使用， 使问题顺利解决

6、.在直角三角形中，如果一个锐角等于30,那么它所对的直角边等于斜边的一半.(1) 该性质揭示了 30角直角三角形的边的数量关系的特殊性.(2) 此性质的前提是“在直角三角形中”.在解题时，如果只知道一个三角形有一个角 为30,就说这个角的对边等于某邻边的一半，是错误的.(3) 该性质主要应用于计算和证明线段的倍分关系.(4) 该性质的逆命题也是真命题，即：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角是30.、选择题1. 一个人站在平面镜前，哪一面镜子里是他的像？（）ABCD2.如图所示，在 Rt ABC中，/ B = 90, ED是AC的垂直平分线，交 AC于点D,交B

7、C于点E.已知/ BAE = 10，则/ C的度数为（ ）A. 30 B. 40 C. 50 D. 60 3.等腰三角形中，有一个角是C50,则它的一条腰上的高与底边的夹角是（A. 25 B. 40 C. 25 或 40D.以上都不对*4.在平面直角坐标系内，有等腰三角形AOB , O是坐标原点，点 A的坐标是（a, b）,底边AB的中线在第一、三象限的角平分线上，则点B的坐标为（）A. （b, a）B. （ a, b） C. （a, b） D. （ a, b）5. 如图，B是线段AC的中点，过点C的直线l与AC成60的角，在直线I上取一点P, 使得/ APB = 30，则满足条件的点 P的个

8、数是（）A. 3个 B. 2个 C. 1个 D.不存在6. 如图所示， ABP与厶CDP是两个全等的等边三角形，且 PA丄PD.有下列四个结论： / PBC= 15 :AD / BC;直线PC与AB垂直；四边形 ABCD是轴对称图形.其 中正确结论的个数为（）A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个C二、填空题7小明把一张长方形的纸对折 2次，描上一个四边形，再剪去这个图形（镂空），展开长方形纸，得到如下图案，设折痕为1仆|2、13,观察图形并填空：11|2|3四边形与四边形关于 成轴对称；折痕 12既是与的对称轴；又是 与的对称轴；从整体看也是 与的对称轴.8. 在平面直角坐标系中，点

9、 A、B、C、D的坐标分别为（一1 , 3）、（一 2, 4）、（ 1 , 3）、（2, 4）,则线段AB与CD的位置关系是 .9. 如图所示，直线 AB、CD相交于点 0.若 0M = ON = MN，那么/ APQ + Z CQP =D10. 如图所示，在 ABC中，/ B = Z C,FD 丄 BC 于 D, DE 丄 AB 于 E,Z AFD = 158则/ EDF等于=DC三、综合运用11. 如图所示，AD是厶ABC中/ BAC的平分线，P是AD上的任一点，且 AB AC ,求 证：AB AC PB PC.C12. 一艘轮船由西向东航行，在 A处测得小岛P的方位是北偏东75,又航行7

10、海里后， 在B处测得小岛P的方位是北偏东60,若小岛周围3.8海里内有暗礁，问该船一直向东 航行有无触礁的危险.13. 已知：如图， ABC中，BC边中垂线 ED交BC于E,交BA延长线于 D，过C作1 1CF丄BD 于 F，交 DE 于 G, DF = qBC，试证明：/ FCB = -/ B .C14. 如图所示， ABC 中，AB = AC，/ A = 100 , BD 平分/ ABC，求证：BC = BD + AD .15. (1)已知 ABC中，/ A = 90,/ B = 67.5，请画一条直线把这个三角形分割成两个等腰三角形.(把所有不同的分割方法都画出来，要在图中标出相等两角的

11、度数.) (2)已知 ABC中，/ C是其最小的内角，过顶点 B的一条直线把这个三角形分割成了 两个等腰三角形，请探求/ ABC与/ C之间的关系.例1 一点通：设点P关于AD的对称点为点 P则点P定在AB上，且CP丄AB时PE+ EC的值最小，即 PE+ EC的值最小.所以在 Rt ACP冲/BAC = 30, AC = 2CP = 8,1i所以 AB = 8, Cp 4 所以 SsBc = 1AB CP = 2X 8X 4 = 16.pC答案：B点评：线段最短问题一般与轴对称有关，解答本题的关键是通过作某线段端点的对称点，将两条线段之和的最小问题转化为点到直线的距离问题本题有两种作法：一、

12、作点P关于AD的对称点P二、作点C关于直线AD的对称点，由等腰三角形的对称性可知， 这个点就是点B，连结BE即可.例2 一点通：很明显 ACE和厶BDF关于y轴对称.本题的难点在于确定是否还有其他的 对称三角形， 分成两组，答案：因为这6个点可以组成很多三角形, 两组中不能有重复的点， 4，如图所示：如厶ABC,还应注意，这样的对称三角形是把 6个点和厶BAD虽然关于y轴对称，但不符合题意.第三点只能是y轴左侧剩下的那一点或它的对称点，即厶ACE与厶BDF， ACF点评：成三角形，与厶BDE等，共6组，其中 ACE与厶BDF重复出现3 次,所以一共有4组对称三角形.如 果不按规律，则很容易造成

13、漏解.MN，又得到折痕EC、例3 一点通：此题利用轴对称图形的性质，首先得到折痕（对称轴）BF，它们所在的直线都是对称轴，即CPE与厶CDE关于CE所在的直线对称， ABF与 PBF关于BF所在的直线对称，根据轴对称的性质可得到对应边相等，对应角相等，从而 得出 PBC是等边三角形这个事实.答案：（1 ）由折叠的性质得：线段 PC、PB均等于正方形的边长，PC= PB; （2）由（1） 可知，PC= PB = BC，所以 PBC是等边三角形，所以/ CPB= 60; （3）由（1 ）、（2）可 知：/ 1 = 7 2=7 3=7 4 = 75，/ 5=7 6= 30，/ 7=7 8=7 9=7

14、 10= 15，/ MFP =Z MEP = 30，7 EPF= 120，7 NPF = 7 NPE = 120，等等.点评：此题提供了一种通过折叠裁剪等边三角形的方法，要记住哟！例4 一点通：欲证PB+ PC= PA,可考虑将BP、PC转移到同一条直线上，将问题转化为证 明线段相等，由条件/ ABP + Z ACP = 180,此题较适合补短，即延长 PC到D,使CD = BP,连结AD，证明AP = PD即可也可以延长 BP到点D，使PD = PC,连结CD .答案：延长 PC 到点 D，使 CD = BP,连结 AD ./ ABP + Z ACP = 180。，/ ACP +AB = A

15、C/ ACD = 180,./ ABP =Z ACD .在 ABP 和厶 ACD 中， / ABP = Z ACDABPBP = CDBA ACD (SAS) , . AP = AD，/ BAP = Z CAD . v/ BAP + Z PAC = 60,./ CAD + / PAC = 60,即/ PAD = 60,.A PAD 是等边三角形.二 PC+ CD = PD= PA. . PB +PC= PA.D点评：求多条线段间的长度关系时有两条主要的思路，一是找出与所求线段相等的线段,等量代换；二是利用截长补短法.例5 一点通：证明两线垂直，可证明其夹角为90,已知条件中没有与 90有关的条

16、件，本题解法较多，可分为两类：一是不添加辅助线，利用平角或三角形内角和通过计算求/ BDE的度数.二是构造出直角.作等腰三角形的对称轴，如图和图，可构造直角；女口 图、，其原理一样，都是先作垂直，再证明有关线段的位置关系；如图，把DE构造成一个等腰三角形的对称轴.答案：证法 1 : v AB = AC，./ B=/ C,./ EAF = 2/ B . v AE = AF，./ E=/ AFE,./ BAC = 2 / E . / EAF + / BAC = 180,. 2/ E + 2/ B = 180,./ E + /B =90 ,./ BDE = 90, 即 卩 EF 丄 BC .证法2:

17、过点 A作AG丄BC于G,如图所示.v AE = AF，./ AFE = / E,./ BAC = / AFE +/ E= 2/ AFE .在等腰三角形 ABC 中，AG 丄BC，./ BAC = 2/ GAC，./GAC =/ AFE , . AG / ED, v AG 丄 BC , . EF 丄 BC .1证法3:过点A作AH丄EF于H，如图所示.v AE = AF , AH丄EF，./ EAH = ? /1EAF . v AB = AC，./ B = / C,又/ EAF = / B+/ C, ./ B = ?/EAF . ./ EAH =/ B ,.AH / BC , v AH 丄 E

18、F,. EF BC .G DD证法4 :过点C作MC丄BC于C,交BA的延长线于 M，如图所示.v/ M + / B =90,/ ACB +/ ACM = 90,又v/ B = / ACB，. / M = / ACM . v/ AEF =/ AFE ,t/ B = / ACB , a / B = / P. a ED 丄 BP,即卩 EF BC .=/ ACB ,=/ AEF ,点评:DDEF丄BC,这些方法可分成两类：一是由角之间的关系利且/ AEF + Z AFE = Z M + Z ACM = 180/ MACM = Z AEF . a EF/ MC EF丄BC .证法5:过E作EN丄EF

19、于E,交CA的延长线于 N，如图所示EN丄EF,a/NEA +/ AEF = 90,/ N + / EFN = 90,t / AEF = / AFE , a / N = / NEA .又/ B = / C,且/ B +/ C=/ N+/ NEA = 180 / BAC , a/ N = / C, a NE / BC, t NE 丄 EF, a EF 丄 BC.证法6 :过点E作EP / AC,交BC的延长线于点 P,如图所示.t EP / AC ,a / Pt/ PEF=/ AFE , / AFE = / AEF , a/ PEF用三角形内角和来证；二是利用等腰三角形的轴对称性构造具有垂直关系

20、的线段.例6 一点通：第(1)问易解，第(2)、(3)问先猜测结论再证明，因为图 2和图3是平移 变换过程中两个不同的状态，所以其结论和证明方法应该类似从图2和图3来看，BQ和AP的数量关系和位置关系比较容易猜测，是相等且垂直的关系关键是如何证明，BQ和AP相距较远，可考虑利用三角形全等来证； 线段BQ和AP不相交，可延长BQ与AP相交， 利用角之间的关系证明其夹角是 90.答案：(1) AB = AP, AB 丄 AP .(2) BQ = AP ; BQ丄 AP .证明：由已知得 EF = FP, EF丄 FP ,a / EPF= 45，又 AC 丄BC ,a / CQP =/ CPQ= 4

21、5,a CQ = CP,又 BC = AC , / BCQ = / ACP = 90, a Rt BCQ也 Rt ACP , a BQ = AP;延长 BQ 交 AP 于点 M ,t Rt BCQ也 Rt ACP , a / CBQ = / CAP，又/ CBQ +/ CQB = 90,/ CQB =/ AQM , a / CAP + / AQM = 90,a BQ丄 AP;(3) 成立，证明：t/ EPF = 45,a/ CPQ = 45，又 AC 丄 BC ,a / CQP=/ CPQ = 45,a CQ = CP,又 BC = AC，/ BCQ = / ACP = 90,a Rt BCQ

22、也 Rt ACP , a BQ = AP ;延长 QB 交 AP 于点 N，则/ PBN = / CBQ ,t/ BQC + / CBQ = 90,a / APC + /PBN = 90 ,a BQ 丄 AP .点评：这是一道与平移变换有关的图形探索问题，解答这类问题时， 应重点分析变换过程中变化的量和不变的量.在本题中Rt BCQ也Rt ACP是一种始终不变的关系，它也正是BQ = AP、BQ丄AP的原因.一、选择题1. B 解析：注意观察裤子上的图案，在抱球的那一侧.2. B 解析：由题意可知，/BAE + 2/C= 90,所以/ C= 40.13. C 解析：如果这个角是顶角，那么底角是

23、2（ 18 50）= 65,此时一腰上的高与底边的夹角是 90 65 = 25;如果这个角是底角，那么一腰上的高与底边的夹角是 90 50= 40.4. A 解析：利用本讲专家点拨中的规律方法可求.5. B 解析：如图所示，过点 B作BPi丄AB交直线I于点Pi，则/ APiB = 30 .作AP2 丄I于点P2,则/ AP2B = 30. Pi、P2是满足条件的点.6. D 解析：根据题意，/ PBC = 15易证；可通过同旁内角互补证得 AD / BC;延 长CP交AB于点Q，可通过三角形内角和证明/ CQB = 90，即PC丄AB ;因为AD / BC，所以过点P与AD垂直的直线必与 B

24、C垂直，这条直线也同时平分 AD和BC，所以有 四边形ABCD是轴对称图形.二、填空题7. I1 :；和和8. 关于y轴对称9. 240 解析：因为 0M = 0N= MN，所以 OMN是等边三角形，所以/ MON = 60， 所以/ AOM = 120./ APQ、/ CQP、/ AOM 是厶OPQ的三个外角，其和是 360，所 以/ APQ + / CQP= 360 120= 240 .10. 68 解析：在 Rt BDE 和 Rt CFD 中，/ B = / C，所以/ BDE = / CFD = 180 / AFD = 22，所以/ EDF = 90 22= 68.三、综合运用11.

25、证明：在 AB上取一点 E，使 AE = AC，连结 PE，易得 AEP ACP，所以PE = 卩。在厶 BEP 中，BE + PE PB，即（AB AC）+ PC PB，所以 AB AC PB PC.DC12. 解：依题意画图，贝U AB = 7海里，过点P作PC丄AB于C，则由题意可知/ PBC =30，a/ APB = / PBC / PAB = 30 15= 15，a/ PAB =/ APB，a PB = AB = 7 1 1（海里）. PC= 1PB=寸X 7= 3.5 （海里）.I PC v 3.8海里，a该船一直向东航行有触礁的危险.1 113. 证明：如图，连结 CD DE 垂

26、直平分 BC,. CE =BCDF = BC ,二 CE =DF .由 CF 丄 BD , DE 丄 BC 得/ DFG = Z CEG= 90,又/ FGD =Z EGC,.A FGD EGC(AAS ) EG= FG, DG = CG, a DG + EG = CG+ FG,即 DE = CF.在厶 BCF 和厶 BDE / B = Z B1i中，/ BFC = Z BED = 90 , BFCBED ( AAS ) , BD = BC . DF= 2bc =BD , DE = CF1 CF 是 BD 的中垂线，/ BCF = 2/ BCD又 DE是BC的中垂线，/ B = Z BCD ,

27、1/ BCF =刁/B .或连结 BG,如图，证得FGD EGC, 有 FG= EG, BG 是/ DBC的平分线，/1GBC =孑/DBC .又T DE 是 BC 的中垂线，/ GBC = Z FCB，即/ FCB =14. 证明：本题可采用“截长”或“补短”两种方法.如图，在BC上截取BF = BA ,BE = BD .在 ABC 中，/ A = 100, AB = AC，/ ABC = Z C= 40.v BD 平分/AB = FBABC，在 ABD 和厶 FBD 中，/ ABD =Z FBD , ABD FBD (SAS) . AD = DF, BD = BD1/ DBF = 2/ A

28、BC = 20,/ BFD = Z A = 100。.在 BDE 中，BD = BE，/ DBC = 20,1/ BED = 2 (180 20)= 80,/ DFE = 180-/ BFD = 80，即/ BED =/ DFE , DE = DF .又T/ C = 40, / CDE = / BED / C = 40,a EC= DE .即 EC = DE = DF = AD . BC = BE + EC = BD + AD .或如图，延长 BD 到点 E,使 BE = BC ,连结 CE, 在 BC 上取一点 F，使 BF = BA，易证 ABD FBD，得 AD = DF，再证 CDE

29、CDF , 得 DE = DF，故 BE = BC = BD + AD .A15.解：（1）如图所示：（共有两种不同的分割法）(2)设/ ABC = y,Z C = x,过点B的直线交 AC边于D .在 DBC中，(i)若/ C1 1 是顶角，如图所示，则/ ADB 90,/ CBD =Z CDB =1 (180 x)= 90寸乂，/1CA = 180 x y,此时只能有/ A = / ABD，即 180 x y= y ( 90 gx) 二 3x+ 4y第一种情况：如图所示，当 DB = DC时，则/ DBC = / C= 乂，在厶ABD中，/ ADB =2x, / ABD = y x. (a

30、)由 AB = AD ,得 2x = y x,此时有 y= 3x,即/ ABC = 3/ C. ( b) 由 AB = BD ,得/ A = / ADB ,即 180 x y= 2x,此时 3x+ y= 180,即/ABC = 180 3/ C. ( c)由 AD = BD，得/ A = / ABD，即 180 x y= y x,此时 y = 90，即/ ABC = 90,/ C为不大于45的任意锐角.第二种情况：如图所示，当 BD = BC 时，/ BDC = / C = x, / ADB = 180 x90,1此时只能有AD = BD，从而/ A = / ABD =寸/ Cv/ C,这与题设/ C是最小角矛盾.所以 当/ C是底角时，BD = BC不成立.综上所述./ ABC与C可能存在四种关系：/ ABC = 135 =540 ，则/ ABC = 135 3 4 / C . (ii)若/ C是底角，则有两种情况./C; / ABC = 3/ C; / ABC = 180 3/ C; / ABC = 90,/ C 为不大于 45 4的任意角.4