2016排列组合综合应用

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1、排列组合综合问题 解决排列组合综合性问题的一般过程如下:1.认真审题弄清要做什么事2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素.4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略一.按事件完成的方案分步进行。解含有约束条件的排列组合问题，可按元素的性质进行分类，按事件发生的连续过程分步，做到标准明确。分步层次清楚，不重不漏，分类标准一旦确定要贯穿于解题过程的始终。允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，（

2、几个元素可以占同一位置）可以逐一安排各个元素的位置，一般地n不同的元素没有限制地安排在m个位置上的排列数为种例1.把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法？练习1：某8层大楼一楼电梯上来8名乘客人,他们到各自的一层下电梯,下电梯的方法_练习2.七名学生争夺五项冠军，每项冠军只能由一人获得，获得冠军的可能的种数有 .例2.有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是（ ）A、1260种 B、2025种 C、2520种 D、5040种练习1：12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有（ ）A、

3、种 B、种 C、种 D、种2、在一个含有8个节目的节目单中，临时插入两个歌唱节目，且保持原节目顺序，有多少中插入方法？ 二.特殊元素和特殊位置优先策略位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法,若以元素分析为主,需先安排特殊元素,再处理其它元素.若以位置分析为主,需先满足特殊位置的要求,再处理其它位置。若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件例3、用1，2，3，4，5，6这6个数字组成无重复的四位数，试求满足下列条件的四位数各有多少个（1）数字1不排在个位和千位 （2）数字1不在个位，数字6不在千位。练习.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复

4、数字五位奇数.例4由0，1，2，3，4，5六个数字可以组成多少个没有重复的比324105大的数？练习1:用0,1,2,3,4,5这六个数字组成没有重复的四位偶数,将这些数字从小到大排列起来,第71个数是 _ 练习2.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三个数，使其和为不小于10的偶数,不同的 取法有多少种？练习3.从4台甲型和5台乙型电视机中任取3台，其中至少要甲型和乙 型电视机各一台，则不同的取法共有 （ ）A、140种 B、80种 C、70种 D、35种例5.从6名运动员中选出4人参加4100米接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同的参赛方案？练习.1名

5、老师和4名获奖同学排成一排照相留念，若老师不站两端则有不同的排法有多少种？练习2.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？例6.在一次演唱会上共10名演员,其中8人能唱歌,5人会跳舞,现要演出一个2人唱歌2人伴舞的节目,有多少选派方法练习：1.从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有 种。2. 3成人2小孩乘船游玩,1号船最多乘3人, 2号船最多乘2人,3号船只乘1人,他们任选2只船或3只船,但小孩不能单独乘一只船, 这3人共有多少乘船方法. 三

6、.排列组合混合问题先选后排策略从几类元素中取出符合题意的几个元素，再安排到一定的位置上，可用先取后排法.例7.有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法.练习.1、四个不同球放入编号为1，2，3，4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法有多少种？练习2、4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种？练习3、5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（ ）A、480种 B、240种 C、120种 D、96种例89名乒乓球运动员，其中男5名，女4名，现在要进行混合双打训练，有多少种不同的分组方法？练习：一个班有6名

7、战士,其中正副班长各1人现从中选4人完成四种不同的任务,每人完成一种任务,且正副班长有且只有1人参加,则不同的选法有 种例9：.从0到9十个数字中,任选2个奇数和3个偶数,能组成多少个没有重复数字的五位数?练习、有五张卡片，它的正反面分别写0与1，2与3，4与5，6与7，8与9，将它们任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？ 四.相邻元素捆绑策略题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.例10. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.练习1.4名男生和3名女生共坐一排，男生必须排在一起的坐法有多少种？练习3、某市植物园要在30天

8、内接待20所学校的学生参观，但每天只能安排一所学校，其中有一所学校人数较多，要安排连续参观2天，其余只参观一天，则植物园30天内不同的安排方法有（）五.不相邻问题插空策略元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.例11.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？练习.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（ ）A、1440种 B、3600种 C、4820种 D、4800种变式1:某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为

9、变式2. 马路上有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只路灯,现要关掉其中的3盏,但不能关掉相邻的2盏或3盏,也不能关掉两端的2盏,求满足条件的关灯方法有多少种？变式3、从1，2，3，1000个自然数中任取10个不连续的自然数，有多少种不同的去法六.定序问题倍缩、空位插入策略在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法. 还可转化为占位插入法。例12、7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法练习1.五人并排站成一排，如果必须站在的右边（可以不相邻）那么不同的排法种数是（ ）A、24种 B、60种 C、90种 D、120种练习2、用1，2，3，4，5，6，7

10、这七个数字组成没有重复数字的七位数中，（1）若偶数2，4，6次序一定，有多少个？（2）若偶数2，4，6次序一定，奇数1，3，5，7的次序也一定的有多少个？ 变式:10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？ 七.平均分组问题除法策略平均分成的组（组无序号）不管它们的顺序如何,都是一种情况,所以分组后要一定要除以(为均分的组数)避免重复计数。例13. 6本不同的书平均分成3堆,每堆2本共有多少分法？练习：1 将13个球队分成3组,一组5个队,其它两组4个队, 有多少分法？2.某校高二年级共有六个班级，现从外地转 入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排

11、2名，则不同的安排方案种数为_3某年级6个班的数学课，分配给甲乙丙三名数学教师任教，每人教两个班，则分派方法的种数。八.元素相同问题隔板策略将n个相同的元素分成m份（n，m为正整数）,每份至少一个元素,可以用m-1块隔板，插入n个元素排成一排的n-1个空隙中，所有分法数为、名额分配或相同物品的分配问题，适宜采用隔板法。例14.有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个,有多少种分配方案？ 练习1、某校准备组建一个由12人组成篮球队，这12个人由8个班的学生组成，每班至少一人，名额分配方案共 种 。练习2有20个不加区别的小球放入编号为1，2，3的三个盒子里，要求每个盒子内的球数不少编号数，问

12、有多少种不同的方法？（）练习3、5个人参加秋游带10瓶饮料，每人至少带1瓶，一共有多少钟不同的带法变式1 .求这个方程组的自然数解的组数 变式2、求（a+b+c）10的展开式的项数九.多排问题直排策略把元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再分段处理例15.8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法练习.（1）6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法种数是（ ）A、36种 B、120种 C、720种 D、1440种练习（2）8个不同的元素排成前后两排，每排4个元素，其中某2个元素要排在前排，某1个元素排在后排，有多少种不同排法？变式：有两排座位，前排11个

13、座位，后排12个座位，现安排2人就座规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是 十.环排问题线排策略把个不同元素放在圆周个无编号位置上的排列，顺序（例如按顺时钟）不同的排法才算不同的排列，而顺序相同（即旋转一下就可以重合）的排法认为是相同的，它与普通排列的区别在于只计顺序而首位、末位之分，下列个普通排列：在圆排列中只算一种，因为旋转后可以重合，故认为相同，个元素的圆排列数有种.因此可将某个元素固定展成单排，其它的元素全排列.一般地,n个不同元素作圆形排列,共有(n-1)!种排法.如果从n个不同元素中取出m个元素作圆形排列共有例16. 8人围桌而坐,共有多少种坐法?

14、练习.5对姐妹站成一圈，要求每对姐妹相邻，有多少种不同站法？十一错位排列例17、同室四人各写一张贺卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的卡片，则不同的分配方法有 种练习：有五位客人参加宴会，他们把帽子放在衣帽寄放室内，宴会结束后每人戴了一顶帽子回家，回家后，他们的妻子都发现他们戴了别人的帽子，问5位客人都不戴自己帽子的戴法有多少种？例18.设有编号1,2,3,4,5的五个球和编号1,2,3,4,5的五个盒子,现将5个球投入这五个盒子内,要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同,有多少投法十二：合并单元格解决染色问题例19、 如图1，一个地区分为5个行政区域，现给地图着

15、色，要求相邻区域不 得使用同一颜色，现有四种颜色可供选择，则不同的着色方法共有 种（以数字作答）。15324 练习1.将3种作物种植在排成一行的5块试验田里，每快种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一作物 ， 不同的种植方法共 种（以数字作答） 2某城市中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如图），现要栽种4种颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种 同一样颜色的话，不同的栽种方法有 种（以数字作答）3如图，用不同的5种颜色分别为ABCDE五部分着色，相邻部分不能用同一颜色，但同一种颜色可以反复使用也可以不用，则符合这种要求的不同着色种数4如图：四个区域坐定4个单位的人，有四种不同颜色的服

16、装，每个单位的观众必须穿同种颜色的服装，且相邻两区域的颜色不同，不相邻区域颜色相同，不相邻区域颜色相同与否不受限制，那么不同的着色方法是 种5将一四棱锥(如图)的每个顶点染一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，若只有五种颜色可供使用，则不同的染色方法共 2.给图中区域涂色,要求相邻区 域不同色,现有4种可选颜色,则不同的着色方法有 种十三.几何问题例20.（1）以正方体的顶点为顶点的四面体共有（ ）A、70种 B、64种 C、58种 D、52种（2）四面体的顶点和各棱中点共10点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有（ ）A、150种 B、147种 C、144种 D、141种练习1.四面体的棱

17、中点和顶点共10个点（1）从中任取3个点确定一个平面，共能确定多少个平面？任取4个点，不共面的有多少个？练习（2）正方体8个顶点可连成多少队异面直线？练习3四面体的一个顶点为A,从其它顶点与各棱中点取3个点，使它们和点A在同一平面上，不同的取法有 种练习4:某城市的街区由12个全等的矩形区组成其中实线表示马路，从A走到B的最短路径有多少种？()十四：递推法例21、 一楼梯共10级，如果规定每次只能跨上一级或两级，要走上这10级楼梯，共有多少种不同的走法？变式、一个楼梯共18个台阶12步登完，可一步登一个台阶也可一步登两个台阶，一共有多少种不同的走法十五.树图策略例22有红、黄、兰色的球各5只,

18、分别标有A、B、C、D、E五个字母,现从中取5只,要求各字母均有且三色齐备,则共有多少种不同的取法 练习人相互传球,由甲开始发球,并作为第一次传球,经过次传求后,球仍回到甲的手中,则不同的传球方式有_ 排列组合综合问题 解决排列组合综合性问题的一般过程如下:1.认真审题弄清要做什么事2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素.4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略一.按事件完成的方案分步进行。解含有约束条件的排列组

19、合问题，可按元素的性质进行分类，按事件发生的连续过程分步，做到标准明确。分步层次清楚，不重不漏，分类标准一旦确定要贯穿于解题过程的始终。允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，（几个元素可以占同一位置）可以逐一安排各个元素的位置，一般地n不同的元素没有限制地安排在m个位置上的排列数为种例1.把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法？解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配到车间有 7 种分法.把第二名实习生分配到车间也有7种分依此类推,由分步计数原理共有种不同的排法练习1：某8层大楼一楼电梯上来8名乘客人,他们到各自的一层下电梯,下电梯的方法练习2.七名学生

20、争夺五项冠军，每项冠军只能由一人获得，获得冠军的可能的种数有 .分析：因同一学生可以同时夺得n项冠军，故学生可重复排列，将七名学生看作7家“店”，五项冠军看作5名“客”，每个“客”有7种住宿法，由乘法原理得7种.例2.有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是（ ）A、1260种 B、2025种 C、2520种 D、5040种解析：先从10人中选出2人承担甲项任务，再从剩下的8人中选1人承担乙项任务，第三步从另外的7人中选1人承担丙项任务，不同的选法共有种，选.练习1：12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不同

21、的分配方案有（ ）A、种 B、种 C、种 D、种答案：.2、在一个含有8个节目的节目单中，临时插入两个歌唱节目，且保持原节目顺序，有多少中插入方法？ 分析：原有的8个节目中含有9个空档，插入一个节目后，空档变为10个，故有=100中插入方法二.特殊元素和特殊位置优先策略位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法,若以元素分析为主,需先安排特殊元素,再处理其它元素.若以位置分析为主,需先满足特殊位置的要求,再处理其它位置。若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件例3、用1，2，3，4，5，6这6个数字组成无重复的四位数，试求满足下列条件的四位数各有多少个

22、（1）数字1不排在个位和千位 （2）数字1不在个位，数字6不在千位。分析：（1）个位和千位有5个数字可供选择，其余2位有四个可供选择，由乘法原理：=2402特殊位置法（2）当1在千位时余下三位有=60，1不在千位时，千位有种选法，个位有种，余下的有，共有=192所以总共有192+60=252练习.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置. 先排末位共有 然后排首位共有 最后排其它位置共有 由分步计数原理得例4由0，1，2，3，4，5六个数字可以组成多少个没有重复的比324105大的数？解:数字排序问

23、题可用查字典法,查字典的法应从高位向低位查,依次求出其符合要求的个数,根据分类计数原理求出其总数。 练习1:用0,1,2,3,4,5这六个数字组成没有重复的四位偶数,将这些数字从小到大排列起来,第71个数是 3140 练习2.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三个数，使其和为不小于10的偶数,不同的 取法有多少种？解：这问题中如果直接求不小于10的偶数很困难,可用总体淘汰法。这十个数字中有5个偶数5个奇数,所取的三个数含有3个偶数的取法有,只含有1个偶数的取法有,和为偶数的取法共有。再淘汰和小于10的偶数共9种，符合条件的取法共有有些排列组合问题,正面直接考虑比较复杂,而

24、它的反面往往比较简捷,可以先求出它的反面,再从整体中淘汰.练习3.从4台甲型和5台乙型电视机中任取3台，其中至少要甲型和乙 型电视机各一台，则不同的取法共有 （ ）A、140种 B、80种 C、70种 D、35种解析1：逆向思考，至少各一台的反面就是分别只取一种型号，不取另一种型号的电视机，故不同的取法共有种,选.解析2：至少要甲型和乙 型电视机各一台可分两种情况：甲型1台乙型2台；甲型2台乙型1台；故不同的取法有台,选.例5.从6名运动员中选出4人参加4100米接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同的参赛方案？解析：设全集=6人中任取4人参赛的排列，A=甲跑第一棒的排列，B=

25、乙跑第四棒的排列，根据求集合元素个数的公式得参赛方法共有：种.练习.1名老师和4名获奖同学排成一排照相留念，若老师不站两端则有不同的排法有多少种？解析：老师在中间三个位置上选一个有种，4名同学在其余4个位置上有种方法；所以共有种。.练习2.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？解析：因为甲乙有限制条件，所以按照是否含有甲乙来分类，有以下四种情况：若甲乙都不参加，则有派遣方案种；若甲参加而乙不参加，先安排甲有3种方法，然后安排其余学生有方法，所以共有；若乙参加而甲不参加同理也有种；若甲乙都参加，则先

26、安排甲乙，有7种方法，然后再安排其余8人到另外两个城市有种，共有方法.所以共有不同的派遣方法总数为种.例6.在一次演唱会上共10名演员,其中8人能唱歌,5人会跳舞,现要演出一个2人唱歌2人伴舞的节目,有多少选派方法解：10演员中有5人只会唱歌，2人只会跳舞3人为全能演员。选上唱歌人员为标准进行研究 只会唱的5人中没有人选上唱歌人员共有种,只会唱的5人中只有1人选上唱歌人员种,只会唱的5人中只有2人选上唱歌人员有种，由分类计数原理共有 种。本题还有如下分类标准：*以3个全能演员是否选上唱歌人员为标准*以3个全能演员是否选上跳舞人员为标准*以只会跳舞的2人是否选上跳舞人员为标准都可经得到正确结果练

27、习：1.从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有34 种。2. 3成人2小孩乘船游玩,1号船最多乘3人, 2号船最多乘2人,3号船只能乘1人,他们任选2只船或3只船,但小孩不能单独乘一只船, 这3人共有多少乘船方法. （27）三.排列组合混合问题先选后排策略从几类元素中取出符合题意的几个元素，再安排到一定的位置上，可用先取后排法.例7.有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法.解:第一步从5个球中选出2个组成复合元共有种方法.再把4个元素(包含一个复合元素)装入4个不同的盒内有种方法，根据分步计数原理装球的

28、方法共有练习.1、四个不同球放入编号为1，2，3，4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法有多少种？解析：先取四个球中二个为一组，另二组各一个球的方法有种，再排：在四个盒中每次排3个有种，故共有种.练习2、4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种？解析：把四名学生分成3组有种方法，再把三组学生分配到三所学校有种，故共有种方法.说明：分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时常用先分组再分配.练习3、5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（ ）A、480种 B、240种 C、120种 D、96种答案：.例89名乒乓球运动员，其中男5名，

29、女4名，现在要进行混合双打训练，有多少种不同的分组方法？解析：先取男女运动员各2名，有种，这四名运动员混和双打练习有中排法，故共有种.练习：一个班有6名战士,其中正副班长各1人现从中选4人完成四种不同的任务,每人完成一种任务,且正副班长有且只有1人参加,则不同的选法有 192 种例9：.从0到9十个数字中,任选2个奇数和3个偶数,能组成多少个没有重复数字的五位数?(1)如果偶数未选0:； (2)如果偶数选了0: ，故能组成4800+5760=10560(个)没有重复数字的五位数.练习、有五张卡片，它的正反面分别写0与1，2与3，4与5，6与7，8与9，将它们任意三张并排放在一起组成三位数，共可

30、组成多少个不同的三位数？ 分析：此例正面求解需考虑0与1卡片用与不用，且用此卡片又分使用0与使用1，类别较复杂，而可使用间接计算：任取三张卡片可以组成不同的三位数个，其中0在百位的有个，这是不合题意的。故共可组成不同的三位数=432（个）四.相邻元素捆绑策略题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.例10. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。由分步计数原理可得共有种不同的排法要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑

31、法来解决问题.即将需要相邻的元素合并为一个元素,再与其它元素一起作排列,同时要注意合并元素内部也必须排列.练习1.4名男生和3名女生共坐一排，男生必须排在一起的坐法有多少种？分析：先将男生捆绑在一起看成一个大元素与女生全排列有种排法，而男生之间又有种排法，又乘法原理满足条件的排法有：=576练习2.计划展出10幅不同的画,其中1幅水彩画,幅油画,幅国画, 排成一行陈列,要求同一品种的必须连在一起，并且水彩画不在两端，那么共有陈列方式的种数为练习3、某市植物园要在30天内接待20所学校的学生参观，但每天只能安排一所学校，其中有一所学校人数较多，要安排连续参观2天，其余只参观一天，则植物园30天内

32、不同的安排方法有（）（注意连续参观2天，即需把30天种的连续两天捆绑看成一天作为一个整体来选有其余的就是19所学校选28天进行排列）五.不相邻问题插空策略元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.例11.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有种，第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有 种元素相离问题可先把没有位置要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间和

33、两端练习.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（ ）A、1440种 B、3600种 C、4820种 D、4800种解析：除甲乙外，其余5个排列数为种，再用甲乙去插6个空位有种，不同的排法种数是种，选.变式1:某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 20 命中的三枪视为一个元素，相当于两个人，坐到六个位置，要求这两人不相邻，先抽调一根凳子，让这两人任意坐，做好后都将抽走的凳子安在二人之间，（椅子相同）A（5,2）解：把问题转化为四个相同的黑球与四个相同白球，其中只有三个黑球相邻的排列问题=20种（把两个不同黑球插入四求形成的5空中。）变式2

34、. 马路上有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只路灯,现要关掉其中的3盏,但不能关掉相邻的2盏或3盏,也不能关掉两端的2盏,求满足条件的关灯方法有多少种？解：把此问题当作一个排队模型在6盏亮灯的5个空隙中插入3个不亮的灯有 种变式3、从1，2，3，1000个自然数中任取10个不连续的自然数，有多少种不同的去法解 把稳体转化为10个相同的黑球与990个相同白球，其中黑球不相邻的排列问题。（990个白球共991个空，插入10个，每种插法对应10个自然数）六.定序问题倍缩、空位插入策略在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法. 还可转化为占位插入法。例12、7人排队

35、,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数是： (空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有种方法，其余的三个位置甲乙丙共有 1种坐法，则共有种方法。 思考:可以先让甲乙丙就坐吗? （插入法)先排甲乙丙三个人,共有1种排法,再把其余4四人依次插入共有 方法定序问题可以用倍缩法，还可转化为占位插空模型处理练习1.五人并排站成一排，如果必须站在的右边（可以不相邻）那么不同的排法种数是（ ）A、24种 B、60种 C、90种 D、120种析：在

36、的右边与在的左边排法数相同，所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半，即种，选.练习2、用1，2，3，4，5，6，7这七个数字组成没有重复数字的七位数中，（1）若偶数2，4，6次序一定，有多少个？（2）若偶数2，4，6次序一定，奇数1，3，5，7的次序也一定的有多少个？ 解（1）（2）变式:10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？ 从10人中任意选5人，排成一排只有一种排法，余下的人排第二排，也只有一种排法。七.平均分组问题除法策略平均分成的组（组无序号）不管它们的顺序如何,都是一种情况,所以分组后要一定要除以(为均分的组数)避免重复计数。例13. 6

37、本不同的书平均分成3堆,每堆2本共有多少分法？ 分析：分出三堆书（a1,a2）,(a3,a4)，（a5,a6）由顺序不同可以有=6种，而这6种分法只算一种分堆方式，故6本不同的书平均分成三堆方式有=15种 解: 分三步取书得种方法,但这里出现重复计数的现象,不妨记6本书为ABCDEF，若第一步取AB,第二步取CD,第三步取EF该分法记为(AB,CD,EF),则中还有(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB)(EF,CD,AB),(EF,AB,CD)共有种取法 ,而这些分法仅是(AB,CD,EF)一种分法,故共有种分法。练习：1 将13个球队分成3组,一组5个队,其它两组4

38、个队, 有多少分法？（）2.某校高二年级共有六个班级，现从外地转 入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排2名，则不同的安排方案种数为_（）3某年级6个班的数学课，分配给甲乙丙三名数学教师任教，每人教两个班，则分派方法的种数。八.元素相同问题隔板策略将n个相同的元素分成m份（n，m为正整数）,每份至少一个元素,可以用m-1块隔板，插入n个元素排成一排的n-1个空隙中，所有分法数为、名额分配或相同物品的分配问题，适宜采用隔板法。例14.有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个,有多少种分配方案？ 解：因为10个名额没有差别，把它们排成一排。相邻名额之间形成个空隙。在个空档中选个位置插个

39、隔板，可把名额分成份，对应地分给个班级，每一种插板方法对应一种分法共有种分法。练习1、某校准备组建一个由12人组成篮球队，这12个人由8个班的学生组成，每班至少一人，名额分配方案共 种 。分析：此例的实质是12个名额分配给8个班，每班至少一个名额，可在12个名额种的11个空当中插入7块隔板，一种插法对应一种名额的分配方式，故有种练习2有20个不加区别的小球放入编号为1，2，3的三个盒子里，要求每个盒子内的球数不少编号数，问有多少种不同的方法？（）练习3、5个人参加秋游带10瓶饮料，每人至少带1瓶，一共有多少钟不同的带法解：把问题转化为5个相同的白球不相邻地插入已经排好的10个相同的黑球之间的9

40、个空隙种的排列问题=126种变式1 .求这个方程组的自然数解的组数 先借四个球放入四个框中，相当于104个球放入4个框中，每框中至少一个变式2、求（a+b+c）10的展开式的项数解：展开使的项为abc,且+=10，因此，把问题转化为2个相同的黑球与10个相同的白球的排列问题=66（种）九.多排问题直排策略把元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再分段处理例15.8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法解:8人排前后两排,相当于8人坐8把椅子,可以把椅子排成一排.个特殊元素有种,再排后4个位置上的特殊元素丙有种,其余的5人在5个位置上任意排列有种,则共有种一般地,元素分成

41、多排的排列问题,可归结为一排考虑,再分段研究. 练习.（1）6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法种数是（ ）A、36种 B、120种 C、720种 D、1440种解析：前后两排可看成一排的两段，因此本题可看成6个不同的元素排成一排，共种，选.练习（2）8个不同的元素排成前后两排，每排4个元素，其中某2个元素要排在前排，某1个元素排在后排，有多少种不同排法？解析：看成一排，某2个元素在前半段四个位置中选排2个，有种，某1个元素排在后半段的四个位置中选一个有种，其余5个元素任排5个位置上有种，故共有种排法.变式：有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座规定前排

42、中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是 346 十.环排问题线排策略把个不同元素放在圆周个无编号位置上的排列，顺序（例如按顺时钟）不同的排法才算不同的排列，而顺序相同（即旋转一下就可以重合）的排法认为是相同的，它与普通排列的区别在于只计顺序而首位、末位之分，下列个普通排列：在圆排列中只算一种，因为旋转后可以重合，故认为相同，个元素的圆排列数有种.因此可将某个元素固定展成单排，其它的元素全排列.一般地,n个不同元素作圆形排列,共有(n-1)!种排法.如果从n个不同元素中取出m个元素作圆形排列共有例16. 8人围桌而坐,共有多少种坐法?解：围桌而坐与坐成一排的不同点在于，

43、坐成圆形没有首尾之分，所以固定一人并从此位置把圆形展成直线其余7人共有（8-1）！种排法即！ 练习.5对姐妹站成一圈，要求每对姐妹相邻，有多少种不同站法？解析：首先可让5位姐姐站成一圈，属圆排列有种，然后在让插入其间，每位均可插入其姐姐的左边和右边，有2种方式，故不同的安排方式种不同站法.说明：从个不同元素中取出个元素作圆形排列共有种不同排法.十一错位排列例17、同室四人各写一张贺卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的卡片，则不同的分配方法有 种（9）公式 1） n=4时a4=3(a3+a2)=9种 即三个人有两种错排，两个人有一种错排2）=n!(1-+-+练习：有五位客人参加宴会，他们

44、把帽子放在衣帽寄放室内，宴会结束后每人戴了一顶帽子回家，回家后，他们的妻子都发现他们戴了别人的帽子，问5位客人都不戴自己帽子的戴法有多少种？（44）把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.例18.设有编号1,2,3,4,5的五个球和编号1,2,3,4,5的五个盒子,现将5个球投入这五个盒子内,要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同,有多少投法解：从5个球中取出2个与盒子对号有种还剩下3球3盒序号不能对应，利用实际操作法，如果剩下3,4,5号球, 3,4,5号盒3号球装4号盒时，则4,5号球有只有1种装法，同理3号球

45、装5号盒时,4,5号球有也只有1种装法,由分步计数原理有种 3号盒 4号盒 5号盒 对于条件比较复杂的排列组合问题，不易用公式进行运算，往往利用穷举法或画出树状图会收到意想不到的结果十二：合并单元格解决染色问题例19、 如图1，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不 得使用同一颜色，现有四种颜色可供选择，则不同的着色方法共有 种（以数字作答）。15324 分析：颜色相同的区域可能是2、3、4、5 下面分情况讨论: ()当2、4颜色相同且3、5颜色不同时，将2、4合并成一个单元格，此时不同的着色方法相当于4个元素 的全排列数 （）当2、4颜色不同且3、5颜色相同时，与情形()类似

46、同理可得 种着色法（）当2、4与3、5分别同色时，将2、4；3、5分别合并，这样仅有三个单元格 从4种颜色中选3种来着色这三个单元格，计有种方法 由加法原理知：不同着色方法共有2=48+24=72（种）练习1.将3种作物种植在排成一行的5块试验田里，每快种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一作物 ， 不同的种植方法共 种（以数字作答） （72）2某城市中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如图），现要栽种4种颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种 同一样颜色的话，不同的栽种方法有 种（以数字作答）（120）3如图，用不同的5种颜色分别为ABCDE五部分着色，相邻部分不能用同一颜色，但同一

47、种颜色可以反复使用也可以不用，则符合这种要求的不同着色种数（540）4如图：四个区域坐定4个单位的人，有四种不同颜色的服装，每个单位的观众必须穿同种颜色的服装，且相邻两区域的颜色不同，不相邻区域颜色相同，不相邻区域颜色相同与否不受限制，那么不同的着色方法是 种（84）5将一四棱锥(如图)的每个顶点染一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，若只有五种颜色可供使用，则不同的染色方法共 种（420） 2.给图中区域涂色,要求相邻区 域不同色,现有4种可选颜色,则不同的着色方法有 72种十三.几何问题例20.（1）以正方体的顶点为顶点的四面体共有（ ）A、70种 B、64种 C、58种 D、52种解析：正

48、方体8个顶点从中每次取四点，理论上可构成四面体，但6个表面和6个对角面的四个顶点共面都不能构成四面体，所以四面体实际共有个.（2）四面体的顶点和各棱中点共10点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有（ ）A、150种 B、147种 C、144种 D、141种解析：10个点中任取4个点共有种，其中四点共面的有三种情况：在四面体的四个面上，每面内四点共面的情况为，四个面共有个；过空间四边形各边中点的平行四边形共3个；过棱上三点与对棱中点的三角形共6个.所以四点不共面的情况的种数是种.练习1.四面体的棱中点和顶点共10个点（1）从中任取3个点确定一个平面，共能确定多少个平面？任取4个点，不共面的有

49、多少个？任取3个：-4+4-3+3-6C+6+26=29任取4个：练习（2）正方体8个顶点可连成多少队异面直线？解析：因为四面体中仅有3对异面直线，可将问题分解成正方体的8个顶点可构成多少个不同的四面体，从正方体8个顶点中任取四个顶点构成的四面体有个，所以8个顶点可连成的异面直线有358=174对.练习3四面体的一个顶点为A,从其它顶点与各棱中点取3个点，使它们和点A在同一平面上，不同的取法有 种（3+3=33）练习4:某城市的街区由12个全等的矩形区组成其中实线表示马路，从A走到B的最短路径有多少种？()十四：递推法例21、 一楼梯共10级，如果规定每次只能跨上一级或两级，要走上这10级楼梯

50、，共有多少种不同的走法？分析：设上n级楼梯的走法为an种，易知a1=1,a2=2,当n2时，上n级楼梯的走法可分两类：第一类：是最后一步跨一级，有an-1种走法，第二类是最后一步跨两级，有an-2种走法，由加法原理知：an=an-1+ an-2,据此，a3=a1+a2=3,a4=a#+a2=5,a5=a4+a3=8,a6=13,a7=21,a8=34,a9=55,a10=89.故走上10级楼梯共有89种不同的方法。变式、一个楼梯共18个台阶12步登完，可一步登一个台阶也可一步登两个台阶，一共有多少种不同的走法解：根据题意要想12步登完只能6个一步登一个台阶，6个一步登两个台阶，因此，把问题转化为6个相同的黑球与6个相同的白球的排列问题=924（种）十五.树图策略例22有红、黄、兰色的球各5只,分别标有A、B、C、D、E五个字母,现从中取5只,要求各字母均有且三色齐备,则共有多少种不同的取法红111223黄123121兰321211取法 解:一些复杂的分类选取题,要满足的条件比较多, 无从入手,经常出现重复遗漏的情况,用表格法,则分类明确,能保证题中须满足的条件,能达到好的效果.练习人相互传球,由甲开始发球,并作为第一次传球,经过次传求后,球仍回到甲的手中,则不同的传球方式有_ 对于条件比较复杂的排列组合问题，不易用公式进行运算，树图会收到意想不到的结果