最新人教版数学高中选修4.2用数学归纳法证明不等式练习及答案

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1、精品资料精品资料精品资料精品资料4 42 2用数学归纳法证明不等式用数学归纳法证明不等式1了解数学归纳法的原理及其使用范围2会用数学归纳法证明与自然数有关的一些不等式1用数学归纳法证明含正整数n的不等式(其中n取无限多个值)(n1，nN*)思考 1填空已知x1，且x0，nN*，n2.求证：(1x)n1nx.证明：(1)当n_时，左边(1x)212xx2，右边12x，因x20，则原不等式成立(在这里，一定要强调之所以左边右边，关键在于x20 是由已知条件x0 获得的，为下面证明做铺垫)(2)假设nk(k_)时，不等式成立，即_当nk1 时，因为x1，所以 1x0，于是左边(1x)k1(1x)k(

2、1x)(1x)(1kx)1(k1)xkx2；右边1(k1)x.因为_，所以左边右边，即(1x)k11(k1)x.这就是说，原不等式在nk1 时也成立根据(1)和(2)，原不等式对任何不小于 2 的自然数n都成立答案: 22，kN*(1x)k1kxkx202用数学归纳法证明不等式的关键是：假设在nk时命题成立，再证明nk1 时命题也成立，这也是学好数学归纳法的重中之重当然第一步是证明的基础，也是不能少的思考 2用数学归纳法证明：1121312n11)时，第一步即证明不等式_答案: 11213n2成立的条件是()AnN*Bn4Cn4Dn1 或n4答案: D6对于不等式n2nn1(nN)；某学生的证

3、明过程如下：(1)当n1 时， 12111，不等式成立(2)假设当nk(kN)时，不等式成立，即k2kk1.当nk1 时，（k1）2（k1）k23k2（k23k2）（k2）（k2）2(k1)1，当nk1 时，不等式成立上述不等式成立由此可知()A过程全部正确Bn1 时的验证不正确C归纳假设不正确D从nk到nk1 的推理不正确解析：证明过程未使用归纳假设答案：D7设n为正整数，f(n)112131n，计算得f(2)32，f(4)2，f(8)52，f(16)3，f(32)72，观察上述结果，可推测出的一般结论为()Af(2n)2n12Bf(n2)n22Cf(2n)n22D以上都不对解析：f(2)3

4、2，f(4)f(22)42，f(8)f(23)52，f(16)f(24)62，f(32)f(25)72，所以推测f(2n)n22.答案：C8用数学归纳法证明“对于任意x0 和正整数n，都有xnxn2xn41xn41xn21xnn1” ，需验证的使命题成立的最小正整数值n应满足()An1Bn2Cn1，2D以上答案均不正确答案：A9 已知f(n)112131n(nN)， 用数学归纳法证明f(2n)n2时，f(2k1)f(2k)_解析：f(2k1)1121312k12k112k1，f(2k)1121312k，f(2k1)f(2k)12k112k212k1.答案：12k112k212k1.10用数学归

5、纳法证明：112131n2n(其中nN*)证明：(1)当n1 时，左边1，右边2，左边右边，不等式成立(2)假设当nk(k1，kN*)时，不等式成立，即112131k2k，那么nk1 时，112131k1k12k1k12k（k1）1k1kk11k12k1.所以当nk1 时，不等式也成立根据(1)和(2)可知，不等式对任何nN*都成立三层练习11设数列an满足an1a2nnan1，nN*.(1)当a12 时，求a2，a3，a4，并由此猜想an的一个通项公式；(2)当a13 时，证明对所有n1，有：ann2；11a111a211an12.解析：(1)由a12，得a23，a34，a45，猜想ann1

6、.(2)当n1 时，a1312，不等式成立假设当nk(k1，kN*)时，不等式成立，即akk2，当nk1 时，ak1a2kkak1ak(akk)1(k2)(k2k)12k5k3.即ak1(k1)2，因此不等式成立ann2 对于nN*都成立由an1a2nnan1 及(1)知：当k2 时，aka2k1(k1)ak11ak1(ak1k1)1ak1(k12k1)12ak11，ak12(ak11)即ak1ak112.ak12k1(a11)，11ak11a112k1(k2)，11a111a211an11a111212212n121a1112n21a112.12证明：11221321n23n2n1(nN*)

7、证明：(1)当n1 时，左边1，右边312111，左边右边即命题成立(2)假设nk(k1，kN*)时，命题成 立，即：11221321k23k2k1.则当nk1 时，要证明 11221321k21（k1）23（k1）2（k1）1，只要证3k2k11（k1）23（k1）2k3.3（k1）2k33k2k11（k1）234（k1）211（k1）21（k1）2（k1）24（k1）21k（k2）（k1）2（4k28k3）0，3k2k11（k1）23（k1）2k3成立，即 11221321k21（k1）23（k1）2k3成立nk1 时，命题成立，根据(1)、(2)可知，对一切nN*命题都成立13等差数列a

8、n中，a11，前n项和为Sn，等比数列bn各项均为正数，b12，且S2b27，S4b32.(1)求an与bn；(2)设cna2n1a2n，Tnc1c2c3cn，求证：Tn12n(nN*)(1)解析：设等差数列an的公差为d，等比数列bn的公比为q，由题知：S2b27，S4b32，d2q5，3dq210，解得q2 或q8(舍去)，d1；an1(n1)n，bn2n.(2)证明：cna2n1a2n，cn2n12n.Tn1234562n12n.下面用数学归纳法证明Tn12n对一切正整数成立(1)当n1 时，T12112112，命题成立(2)假设当nk时命题成立，Tk12k，则当nk1 时，Tk1Tk2

9、k12（k1）12k2k12（k1）12k12k12k k112k14k24k14k24k12k1，这就是说当nk1 时命题成立，综上所述，原命题成立14函数f(x)x22x3，定义数列xn如下：x12，xn1是过两点P(4，5)，Qn(xn，f(xn)的直线PQn与x轴交点的横坐标证明：2xnxn13.解析：(1)因为f(4)42835，故点P(4，5)在函数f(x)的图象上，故由所给出的两点P(4，5)，Qn(xn，f(xn)，可知，直线PQn斜率一定存在，故有直线PQn的直线方程为y5f（xn）5xn4(x4)，令y0，可 求得5x2n2xn8xn4(x4)5xn2x4x4xn3xn2.

10、所以xn14xn3xn2.下面用数学归纳法证明 2xn3.当n1 时，x12，满足2x13，假设nk时，2xk3 成立，则当nk1 时，xk14xk3xk245xk2，由 2xk34xk2515xk254211445xk23 即 2xk13 也成立，综上可知 2xn3 对任意正整数恒成立下面证明xnxn1，由xn1xn4xn3xn2xn4xn3x2n2xnxn2（xn1）24xn2.由 2xn31xn1200 即xnxn1，综上可知 2xnxn13 恒成立1用数学归纳法证明含正整数n的不等式(其中n取无限多个值)，要注意观察是解决问题的前提条件， 需要进行合理的试验和归纳， 提出合理的猜想，

11、从而达到解决问题的目的2前面已学过证明不等式的一系列方法，如比较法、综合法、分析法、放缩法、反证法等，而本节增加了数学归纳法证明不等式，且主要解决的是无限的问题，因而难度更大一些但仔细研究，数学归纳法关键是由nk到nk1 的过渡，也是学好用数学归纳法证不等式的重中之重问题(1)用数学归纳法证明的关键是“变项”，即在假设的基础上通过放缩、比较、分析、综合等证明不等式的方法， 得出要证明的目标不等式， 因此以上几种方法均要灵活地运用 有个别较复杂的问题，第二个步骤再利用数学归纳法(2)利用数学归纳法证明不等式问题时，有时要假设当nk时成立，再证当nk1时成立，实质上，这就是第二数学归纳法最新精品资料