概率论与数理统计课件 第五章 二维随机变量及其分布

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1、概率论与数理统计课件 第五章 二维随机变量及其分布第五章二维随机变量及其分布第五章二维随机变量及其分布第一节二维随机变量及其分布函数第一节二维随机变量及其分布函数第二节二维离散型随机变量第二节二维离散型随机变量第三节二维连续型随机变量第三节二维连续型随机变量第四节边缘分布第四节边缘分布第五节随机变量的独立性第五节随机变量的独立性概率论与数理统计课件 第五章 二维随机变量及其分布第一节二维随机变量及其分布函数第一节二维随机变量及其分布函数一、二维随机变量一、二维随机变量如果由两个变量所组成的有序数组如果由两个变量所组成的有序数组（），它的取值是随着试验结果而），它的取值是随着试验结果而确定的，则

2、称（确定的，则称（）为二维随机变量，）为二维随机变量，称（称（）的取值规律为二维分布。）的取值规律为二维分布。二维随机变量的分布函二维随机变量的分布函数数概率论与数理统计课件 第五章 二维随机变量及其分布二、二维随机变量的分布函数二、二维随机变量的分布函数设设( () )是二维随机变量，是二维随机变量，( () ) R R2 2, , 则称则称F(x,y)=PF(x,y)=P x,x, yy为为( () )的的分分布函数布函数，或，或与与的的联合分布函数联合分布函数。分布函数的性质分布函数的性质概率论与数理统计课件 第五章 二维随机变量及其分布三、分布函数的性质三、分布函数的性质（1 1）对于

3、任意）对于任意x,y x,y R R，有有00F(x,y)1F(x,y)1。（2 2）F(x,y)F(x,y)关于关于x x（或或y y）单调不减。单调不减。（3 3）F(x,y)F(x,y)关于关于x x（或或y y）右连续。右连续。（4 4）F(-,-)F(-,-)0 0，F(+,+)F(+,+)1 1 F(-,y) F(-,y)0 0，F(x,-)F(x,-)0 0（5 5）对于任意）对于任意x x1 1xx2 2，y y1 1yy2 2有有P(xP(x1 1xx2 2,y,y1 1yy2 2) ) =F(x =F(x2 2,y,y2 2)- F(x)- F(x2 2,y,y1 1)-

4、F(x)- F(x1 1,y,y2 2)+ F(x)+ F(x1 1,y,y1 1) )例题例题1 1概率论与数理统计课件 第五章 二维随机变量及其分布例题例题1 1设设()的联合分布函数为的联合分布函数为F(x,y)=A(B+arctanx)(C+arctany)F(x,y)=A(B+arctanx)(C+arctany)，其中其中x,yx,y R R。求常数求常数A A，B B，C C。解：解：backback)arctan)(arctan(lim),(limyCxBAyxFyxyx1)2)(2(CBA)arctan)(arctan(lim),(limyCxBAyxFxx0)arctan)

5、(2(yCBA)arctan)(arctan(lim),(limyCxBAyxFyy0)2)(arctan(CxBA2122ACB概率论与数理统计课件 第五章 二维随机变量及其分布第二节二维离散型随机变量第二节二维离散型随机变量二维离散型随机变量二维离散型随机变量如果二维随机变量如果二维随机变量( () )所有可能取所有可能取的数组是有限或可列的，并且以确定的概的数组是有限或可列的，并且以确定的概率取各个不同的数组，则称率取各个不同的数组，则称( () )为二元为二元离散型随机变量。离散型随机变量。( () )分布律分布律概率论与数理统计课件 第五章 二维随机变量及其分布( () )的联合分布

6、律的联合分布律y1yjx1p11p1jxipi1pij概率论与数理统计课件 第五章 二维随机变量及其分布设设( () )的所有可能取值为的所有可能取值为( (x xi i,y,yj j) )，其中其中i,j=1,2,i,j=1,2,称称为为( ()的的联合概率分布联合概率分布，也简称，也简称概率分布概率分布。（1 1）00P Pijij11（2 2）i ij j P Pijij=1=1, 2 , 1,),(jipyxPijji例题例题2 2概率论与数理统计课件 第五章 二维随机变量及其分布例题例题2 2一口袋中有三个球，它们依次标有数字一口袋中有三个球，它们依次标有数字1,2,21,2,2。从

7、这袋中任取一球后，不放回袋中，再从袋中任取一从这袋中任取一球后，不放回袋中，再从袋中任取一球。设每次取球时，袋中各球被取到的可能性相同。球。设每次取球时，袋中各球被取到的可能性相同。以以,分别记第一次和第二次取得的球上标有的数分别记第一次和第二次取得的球上标有的数字。字。求（求（1 1）( (,),)的分布律的分布律（2 2）P P( ()解解: (1): (1)backback1/31/321/30121P P( (=1,=1)=1,=1)=P P( (=1,=2)=1,=2)=P(=1)P(=1|=1)=0P(=1)P(=1|=1)=0P(=1)P(=2|=1)=1/3P(=1)P(=2|

8、=1)=1/3。概率论与数理统计课件 第五章 二维随机变量及其分布例题例题2 2一口袋中有三个球，它们依次标有数字一口袋中有三个球，它们依次标有数字1,2,21,2,2。从这袋中任取一球后，不放回袋中，再从袋中任取一从这袋中任取一球后，不放回袋中，再从袋中任取一球。设每次取球时，袋中各球被取到的可能性相同。球。设每次取球时，袋中各球被取到的可能性相同。以以,分别记第一次和第二次取得的球上标有的数分别记第一次和第二次取得的球上标有的数字。字。求（求（1 1）( (,),)的分布律的分布律（2 2）P P( ()解解: (2): (2)backback1/31/321/30121P P( ()=P

9、=P( (=1,=1)+P=1,=1)+P( (=2,=1)+ P=2,=1)+ P( (=2,=2) =2/3=2,=2) =2/3概率论与数理统计课件 第五章 二维随机变量及其分布第三节二维连续型随机变量第三节二维连续型随机变量一、二维连续型随机变量一、二维连续型随机变量设设( () )的分布函数为的分布函数为F(x ,y),F(x ,y),若存在非负可若存在非负可积函数积函数f(x,y)f(x,y)，使得对于任意实数使得对于任意实数 x,yx,y 有有则称则称( () )为为二维连续型随机变量二维连续型随机变量，f(x,y) f(x,y) 为为( () )的的联合概率密度函数联合概率密度

10、函数（联合密度函数联合密度函数) ) 。 xydvduvufyxF),(),(联合密度函数性质联合密度函数性质概率论与数理统计课件 第五章 二维随机变量及其分布二、联合密度函数性质二、联合密度函数性质),(),(F),(),()4(),(),()3(1),()2(0),() 1 (2yxfyxyxyxfyxFdxdyyxfDPdxdyyxfyxfD 的边续点处有为连续函数，且在例题例题3 3概率论与数理统计课件 第五章 二维随机变量及其分布例题例题3 31.1.设设( () )的联合概率密度为的联合概率密度为求（求（1 1）常数）常数C C（2 2）P P( ()解：（解：（1 1）其它00,

11、 0),()42(yxceyxfyx例题例题3 3续续 dxdyyxf),( 00)42(dxdyceyx180042cdyecedxyxC=8C=8概率论与数理统计课件 第五章 二维随机变量及其分布例题例题3 31.1.设设( () )的联合概率密度为的联合概率密度为求（求（1 1）常数）常数C C（2 2）P P( ()解：（解：（2 2）其它00, 0),()42(yxceyxfyx例题例题3 3续续 yxdxdyyxfP),()(00)42(8xyxdyedxdxeexyx00424183/2220602dxedxexx概率论与数理统计课件 第五章 二维随机变量及其分布例题例题3 3续

12、续2.2.设设( (，)的联合概率密度为的联合概率密度为求（求（1 1）常数）常数k k解解（1 1）其他, 0, 10 ,0,),(yyxkxyyxfy = x10 xy10,0),(yyxyxD1),( dxdyyxf182102100kdyyykkxydxdykxydxdyyD8k概率论与数理统计课件 第五章 二维随机变量及其分布(2) ) 1(Px+y=1y = x10 xy0.5x+y=1y = x10 xy15 . 01188yyyxxydxdyxydxdy. 6/ 5y = x10 xy0.5)5 . 0( P5 . 0015 . 088xxxydydxxydxdy.16/7概率

13、论与数理统计课件 第五章 二维随机变量及其分布（3 3）F(x,y)=P(F(x,y)=P(x,x,y)y)420142204028),(1)28),(1)8),(0)0),(0)10)2xxxydydxyxFyivxyxxydydxyxFyxiiiyxydydxyxFxyiiyxFyixxxxyxyyx若0),(, 0) 1yxFx若1),(1)8),(10)0),(0)1)340yxFyiiiyxydydxyxFyiiyxFyixyyx若概率论与数理统计课件 第五章 二维随机变量及其分布F (x,y) =0, x 0 或 y 0y4 , 0 x 1, 0 y x ， 或x 1, 0 y 1

14、，2x2y2y4, 0 x 1, x y 1，2x2x4 , 0 x 0，-1P(2 2 ) )（3 3）( () ) 在平面上的落点到在平面上的落点到y y 轴距离小于轴距离小于0.30.3的的概率。概率。解解：（：（1 1）backback其他, 010 ,0, 2),(xxyyxf概率论与数理统计课件 第五章 二维随机变量及其分布例题例题4 4( ()U(G)U(G)，G=0yxG=0yx，0 x 1 0 x 1 求（求（1 1）f( x, y )f( x, y )（2 2）P(P(2 2 ) )（3 3）( () ) 在平面上的落点到在平面上的落点到y y 轴距离小于轴距离小于0.30

15、.3的的概率。概率。解解：（：（2 2）backbacky=x10 xy1Gy = x2102222xxxydydxdxdy. 3/ 1)(2P概率论与数理统计课件 第五章 二维随机变量及其分布例题例题4 4( ()U(G)U(G)，G=0yxG=0yx，0 x 1 0 x 1 求（求（1 1）f( x, y )f( x, y )（2 2）P(P(2 2 ) )（3 3）( () ) 在平面上的落点到在平面上的落点到y y 轴距离小于轴距离小于0.30.3的的概率。概率。解解：（：（3 3）backback3 . 03 . 02) 3 . 03 . 0() 3 . 0|(|xdxdyPP09.

16、 02/1)3 . 0(212y = x10 xy10.3概率论与数理统计课件 第五章 二维随机变量及其分布第四节边缘分布第四节边缘分布一、边缘分布函数一、边缘分布函数设设F(x,y)F(x,y)为为( ()的联合分布函数，的联合分布函数，关于关于的边缘分布函数的边缘分布函数P P( (x)=Px)=P( (x,+)=Fx,+)=F(x),(x),其中其中x xR R关于关于的边缘分布函数的边缘分布函数P P( (y)=Py)=P( (+,y)=F+,y)=F(y),(y),其中其中y yR R例题例题5 5),(limyxFy),(limyxFx概率论与数理统计课件 第五章 二维随机变量及其

17、分布例题例题5 5设设( ()的联合分布函数为的联合分布函数为求求F F(x)(x)和和F F(y)(y)。解：解：)arctan2)(arctan2(1),(2yxyxF边缘分布律边缘分布律)()(xPxF),(xP),(limyxPyxxyxFy)arctan2(1),(limyyyxFx)arctan2(1),(lim同理概率论与数理统计课件 第五章 二维随机变量及其分布二、（离散型）边缘分布律二、（离散型）边缘分布律设设( ()的联合分布律为的联合分布律为P P( (=x=xi i,=y,=yj j)=P)=Pijij（i,j=1,2,i,j=1,2,）关于关于的边缘分布律的边缘分布律

18、P P( (=x=xi i)= P)= P( (=x=xi i,+)=,+)=j jP Pij ij =P=Pi.i.关于关于的边缘分布律的边缘分布律P P( (=y=yj j)= P)= P( (+,=y+,=yj j)=)=i iP Pij ij =P=P.j.j例题例题6 6概率论与数理统计课件 第五章 二维随机变量及其分布例题例题6 6箱子装有箱子装有1010件产品，其中件产品，其中2 2件为次品。每次从中任取一件产品件为次品。每次从中任取一件产品（不放回），共取（不放回），共取2 2次。次。求（求（1 1）( ()的联合分布律的联合分布律（2 2）关于）关于的边缘分布律的边缘分布律解

19、：解：（1 1）第二次取出次品第二次取出正品第一次取出次品第一次取出正品10101P.j10Pi.10 97108921081089810291102102108102概率论与数理统计课件 第五章 二维随机变量及其分布例题例题6 6箱子装有箱子装有1010件产品，其中件产品，其中2 2件为次品。每次从中任取一件件为次品。每次从中任取一件产品（不放回），共取产品（不放回），共取2 2次。次。求（求（1 1）( ()的联合分布律的联合分布律（2 2）关于）关于的边缘分布律的边缘分布律解解: (2): (2)第二次取出次品第二次取出正品第一次取出次品第一次取出正品1010边缘密度函数边缘密度函数01

20、P8/102/10概率论与数理统计课件 第五章 二维随机变量及其分布三、（连续型）边缘密度函数三、（连续型）边缘密度函数设设( () )的联合概率密度为的联合概率密度为f(x,y)f(x,y)，关于关于的边缘分布函数的边缘分布函数关于关于的边缘密度函数的边缘密度函数)(),(),()(RxdxdyyxfxPxFx )(),()(Rxdyyxfxf例题例题7 7概率论与数理统计课件 第五章 二维随机变量及其分布例题例题7 71.(1.()U(G)U(G) ，G G0 x1,|y|x,0 x1,|y|x,求（求（1 1）f(x,y)f(x,y)（2 2）f f(x)(x)（3 3）f f(y)(y

21、)解：（解：（1 1）backback其他0|101),(xyxyxf概率论与数理统计课件 第五章 二维随机变量及其分布例题例题7 71.(1.()U(G)U(G) ，G G0 x1,|y|x,0 x1,|y|x,求（求（1 1）f(x,y)f(x,y)（2 2）f f(x)(x)（3 3）f f(y)(y)解：（解：（2 2）backbackdyyxfxf),()(其他其他01020101xxxdyxx概率论与数理统计课件 第五章 二维随机变量及其分布例题例题7 71.(1.()U(G)U(G) ，G G0 x1,|y|x,0 x1,|y|x,求（求（1 1）f(x,y)f(x,y)（2 2

22、）f f(x)(x)（3 3）f f(y)(y)解：（解：（3 3）backbackdxyxfyf),()(其他其他0011101001110111yyyyydxydxyy概率论与数理统计课件 第五章 二维随机变量及其分布例题例题7 72. 2. () N(1,2,12,22; )，则（1 1）f f(x) (x) N(1,12)（2 2）f f(y(y） N(2,22)解：略backback概率论与数理统计课件 第五章 二维随机变量及其分布一、随机变量的独立性（二维）一、随机变量的独立性（二维）r.v.r.v.，如果对于任意的如果对于任意的x x和和y y， P P( (x,y)=Px,y)

23、=P( (xx）P P（y)y)，即，即， F(x,y)=FF(x,y)=F(x)F(x)F(y)(y)，则称则称和和独立。独立。离散型：离散型：和和独立独立P Pijij=P=Pi i P Pjj(i,j=1,)(i,j=1,)连续型：连续型：和和独立独立f(x,y)= f(x,y)= f f(x)f(x)f(y)(y)例题例题8 8第五节随机变量的独立性第五节随机变量的独立性概率论与数理统计课件 第五章 二维随机变量及其分布例题例题8 81.1.（）的联合分布律的联合分布律证明证明与与独立。独立。证明：-10202/201/202/2012/201/202/2024/202/204/200

24、12P1/4 1/4 2/4-102P2/5 1/5 2/5因为Pij=Pi.*P.j，所以与与独立独立概率论与数理统计课件 第五章 二维随机变量及其分布例题例题8 8续续2.2.（）的联合分布函数为的联合分布函数为证明证明与与独立。独立。证明：证明：)arctan2)(arctan2(1),(2yxyxF例题例题8 8续续),(lim)(yxFxFy)arctan2(1x),(lim)(yxFyFx)arctan2(1y)()(),(yFxFyxF所以与与独立独立概率论与数理统计课件 第五章 二维随机变量及其分布3.3.（）的联合概率密度函数为的联合概率密度函数为试判断试判断与与是否独立。是

25、否独立。解：解：其它010 , 104),(yxxyyxfdyyxfxf),()(其他其他0102010410 xxxxydydxyxfyf),()(其他其他0102010410yyyxydx)()(),(yfxfyxf所以与与独立独立概率论与数理统计课件 第五章 二维随机变量及其分布二、随机变量的独立性（二、随机变量的独立性（n n维）维）1.(1.(1 1 , ,n n ) )的联合分布函数的联合分布函数F(xF(x1 1,x,xn n)=P)=P( (1 1 x x1 1 , ,n n x xn n) )。2.2.i i的边缘分布函数的边缘分布函数F Fii(x(xi i)=P)=P(

26、(i i x xi i) )。3.3.若若F(xF(x1 1,x,xn n) ) F F11(x(x1 1) F) Fnn(x(xn n) )，则则1 1 , ,n n 相互独立。若相互独立。若1 1 , ,n n 相互独立，相互独立，P(P(1 1= x= x1 1 , ,n n =x=xn n)= P)= P( (1 1= x= x1 1) P() P(n n =x=xn n) )f f(x(x1 1,x,xn n) ) f f11(x(x1 1) f) fnn(x(xn n) )。总结总结概率论与数理统计课件 第五章 二维随机变量及其分布总结续总结续概率论与数理统计课件 第五章 二维随机变量及其分布backback