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1、2019 学年人教版高中数学选修精品资料课时跟踪检测（十三）抛物线的简单几何性质层级一层级一学业水平达标学业水平达标1已知抛物线的对称轴为已知抛物线的对称轴为 x 轴，顶点在原点，焦点在直线轴，顶点在原点，焦点在直线 2x4y110 上，则此抛上，则此抛物线的方程是物线的方程是()Ay211xBy211xCy222xDy222x解析：解析：选选 C在方程在方程 2x4y110 中，中，令令 y0 得得 x112，抛物线的焦点为抛物线的焦点为 F112，0，即，即p2112，p11，抛物线的方程是抛物线的方程是 y222x，故选，故选 C2过点过点(2,4)作直线作直线 l，与抛物线，与抛物线
2、y28x 只有一个公共点，这样的直线只有一个公共点，这样的直线 l 有有()A1 条条B2 条条C3 条条D4 条条解析：解析：选选 B可知点可知点(2,4)在抛物线在抛物线 y28x 上，上，过点过点(2,4)与抛物线与抛物线 y28x 只有一个公只有一个公共点的直线有两条，一条是抛物线的切线，另一条与抛物线的对称轴平行共点的直线有两条，一条是抛物线的切线，另一条与抛物线的对称轴平行3设设 O 为坐标原点，为坐标原点，F 为抛物线为抛物线 y24x 的焦点，的焦点，A 为抛物线上一点，若为抛物线上一点，若OA AF4，则点，则点 A 的坐标为的坐标为()A(2，22)B(1，2)C(1,2)
3、D(2,2 2)解析：解析：选选 B设设 A(x，y)，则，则 y24x，又又OA (x，y)，AF(1x，y)，所以所以OA AFxx2y24由由可解得可解得 x1，y24过点过点(1,0)作斜率为作斜率为2 的直线，与抛物线的直线，与抛物线 y28x 交于交于 A，B 两点，则弦两点，则弦 AB 的长为的长为()A2 13B2 15C2 17D2 19解析：解析：选选 B设设 A(x1，y1)，B(x2，y2)由题意知由题意知 AB 的方程为的方程为 y2(x1)，即即 y2x2由由y28x，y2x2，得得 x24x10，x1x24，x1x21|AB| 1k2 x1x2 24x1x2 14
4、 164 5122 155设设 F 为抛物线为抛物线 C：y23x 的焦点，过的焦点，过 F 且倾斜角为且倾斜角为 30的直线交的直线交 C 于于 A，B 两点，两点，O 为坐标原点，则为坐标原点，则OAB 的面积为的面积为()A3 34B9 38C6332D94解析：解析：选选 D易知抛物线中易知抛物线中 p32，焦点，焦点 F34，0，直线，直线 AB 的斜率的斜率 k33，故直线，故直线 AB的方程为的方程为 y33x34 ，代入抛物线方程，代入抛物线方程 y23x，整理得，整理得 x2212x9160设设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则，则 x1x2212由抛物线的定义可得弦长
5、由抛物线的定义可得弦长|AB|x1x2p2123212，结合图，结合图象可得象可得 O 到直线到直线 AB 的距离的距离 dp2sin 3038，所以，所以OAB 的面积的面积 S12|AB|d946直线直线 yx1 被抛物线被抛物线 y24x 截得的线段的中点坐标是截得的线段的中点坐标是_解析：解析：将将 yx1 代入代入 y24x，整理，得，整理，得 x26x10由根与系数的关系，得由根与系数的关系，得 x1x26，x1x223，y1y22x1x2226222所求点的坐标为所求点的坐标为(3,2)答案：答案：(3,2)7过抛物线过抛物线 y24x 的焦点作直线交抛物线于点的焦点作直线交抛物
6、线于点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，若，若|AB|7，则则AB 的中点的中点 M 到抛物线准线的距离为到抛物线准线的距离为_解析解析： 抛物线的焦点为抛物线的焦点为 F(1,0)， 准线方程为准线方程为 x1 由抛物线的定义知由抛物线的定义知|AB|AF|BF|x1p2x2p2x1x2p，即，即 x1x227，得，得 x1x25，于是弦，于是弦 AB 的中点的中点 M 的横坐的横坐标为标为52因此，点因此，点 M 到抛物线准线的距离为到抛物线准线的距离为52172答案：答案：728过抛物线过抛物线 x22py(p0)的焦点的焦点 F 作倾斜角为作倾斜角为 30的直线，与抛物线分别交于的
7、直线，与抛物线分别交于 A，B两点两点(点点 A 在在 y 轴左侧轴左侧)，则，则|AF|FB|_解析解析： 由题意可得焦点由题意可得焦点 F0，p2 ， 故直线故直线 AB 的方程为的方程为 y33xp2， 与与 x22py 联立得联立得 A，B 两点的横坐标为两点的横坐标为 xA33p，xB 3p，故故 A33p，16p，B 3p，32p，所以所以|AF|23p，|BF|2p，所以，所以|AF|BF|13答案：答案：139已知抛物线已知抛物线 y26x，过点，过点 P(4,1)引一弦，使它恰在点引一弦，使它恰在点 P 被平分，求这条弦所在的直被平分，求这条弦所在的直线方程线方程解：解：设弦
8、的两个端点为设弦的两个端点为 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)P1，P2在抛物线上，在抛物线上，y216x1，y226x2两式相减得两式相减得(y1y2)(y1y2)6(x1x2)y1y22，代入，代入得得 ky2y1x2x13直线的方程为直线的方程为 y13(x4)，即，即 3xy11010已知直线已知直线 l 经过抛物线经过抛物线 y24x 的焦点的焦点 F，且与抛物线相交于，且与抛物线相交于 A，B 两点两点(1)若若|AF|4，求点，求点 A 的坐标；的坐标；(2)求线段求线段 AB 的长的最小值的长的最小值解解：由由 y24x，得得 p2，其准线方程为其准线方程为 x1，焦点焦
9、点 F(1,0)设设 A(x1，y1)，B(x2，y2)(1)由抛物线的定义可知由抛物线的定义可知， |AF|x1p2， 从而从而 x1413 代入代入 y24x， 解得解得 y12 3点点 A 的坐标为的坐标为(3,2 3)或或(3，2 3)(2)当直线当直线 l 的斜率存在时，的斜率存在时，设直线设直线 l 的方程为的方程为 yk(x1)与抛物线方程联立，与抛物线方程联立，得得yk x1 ，y24x，消去消去 y，整理得，整理得k2x2(2k24)xk20直线与抛物线相交于直线与抛物线相交于 A，B 两点，两点，则则 k0，并设其两根为，并设其两根为 x1，x2，x1x224k2由抛物线的
10、定义可知，由抛物线的定义可知，|AB|x1x2p44k24当直线当直线 l 的斜率不存在时的斜率不存在时，直线直线 l 的方程为的方程为 x1，与抛物线相交于与抛物线相交于 A(1,2)，B(1，2)，此时此时|AB|4，|AB|4，即线段，即线段 AB 的长的最小值为的长的最小值为 4层级二层级二应试能力达标应试能力达标1边长为边长为 1 的等边三角形的等边三角形 AOB，O 为坐标原点，为坐标原点，ABx 轴，以轴，以 O 为顶点且过为顶点且过 A，B的抛物线方程是的抛物线方程是()Ay236xBy236xCy236xDy233x解析解析：选选 C设抛物线方程为设抛物线方程为 y2ax(a
11、0)又又 A32，12 (取点取点 A 在在 x 轴上方轴上方)，则有则有1432a，解得，解得 a36，所以抛物线方程为，所以抛物线方程为 y236x故选故选 C2过抛物线过抛物线 y24x 的焦点的焦点，作一条直线与抛物线交于作一条直线与抛物线交于 A，B 两点两点，若它们的横坐标之若它们的横坐标之和等于和等于 5，则这样的直线，则这样的直线()A有且仅有一条有且仅有一条B有两条有两条C有无穷多条有无穷多条D不存在不存在解析解析： 选选 B设设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， 由抛物线的定义由抛物线的定义， 知知|AB|x1x2p527 又又直线直线 AB 过焦点且垂直于过焦点
12、且垂直于 x 轴的直线被抛物线截得的弦长最短，且轴的直线被抛物线截得的弦长最短，且|AB|min2p4，所以这，所以这样的直线有两条故选样的直线有两条故选 B3直线直线 ykx2 交抛物线交抛物线 y28x 于于 A，B 两点，若两点，若 AB 中点的横坐标为中点的横坐标为 2，则，则 k()A2 或或2B1 或或1C2D3解析：解析：选选 C由由y28x，ykx2，得得 k2x24(k2)x40又由又由16(k2)216k20，得得 k1则由则由4 k2 k24，得，得 k2故选故选 C4已知抛物线已知抛物线 C：y28x 与点与点 M(2,2)，过，过 C 的焦点且斜率为的焦点且斜率为 k
13、 的直线与的直线与 C 交于交于 A，B 两点，若两点，若MA MB 0，则，则 k()A12B22C 2D2解析解析： 选选 D由题意可知抛物线由题意可知抛物线 C 的焦点坐标为的焦点坐标为(2,0)， 则直线则直线 AB 的方程为的方程为 yk(x2)，将其代入将其代入 y28x，得，得 k2x24(k22)x4k20设设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则则x1x24 k22 k2，x1x24.由由y1k x12 ，y2k x22 y1y2k x1x2 4k，y1y2k2x1x22 x1x2 4.MA MB 0，(x12，y12)(x22，y22)0(x12)(x22)(y12)(y
14、22)0，即即 x1x22(x1x2)4y1y22(y1y2)40由由解得解得 k2故选故选 D 项项5直线直线 yx3 与抛物线与抛物线 y24x 交于交于 A，B 两点，过两点，过 A，B 两点向抛物线的准线作垂两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为线，垂足分别为 P，Q，则梯形，则梯形 APQB 的面积为的面积为_解析解析： 由由y24x，yx3，消去消去 y 得得 x210 x90， 得得 x1 或或 9， 即即x1，y2或或x9，y6.所以所以|AP|10， |BQ|2 或或|BQ|10， |AP|2， |PQ|8， 所以梯形所以梯形 APQB 的面积的面积 S1022848答案：答案
15、：486顶点为坐标原点顶点为坐标原点，焦点在焦点在 x 轴上的抛物线轴上的抛物线，截直线截直线 2xy10 所得的弦长为所得的弦长为 15，则抛物线方程为则抛物线方程为_解析：解析：设所求抛物线方程为设所求抛物线方程为 y2ax(a0)，联立联立y2ax，2xy10，得得 4x2(4a)x10，则则(4a)2160，得，得 a8 或或 a0)的焦点为的焦点为 F，直线，直线 y4 与与 y 轴的交点为轴的交点为 P，与，与 C 的交的交点为点为 Q，且，且|QF|54|PQ|(1)求求 C 的方程；的方程；(2)过过 F 的直线的直线 l 与与 C 相交于相交于 A，B 两点两点，若若 AB
16、的垂直平分线的垂直平分线 l与与 C 相交于相交于 M，N 两两点，且点，且 A，M，B，N 四点在同一圆上，求四点在同一圆上，求 l 的方程的方程解：解：(1)设设 Q(x0,4)，代入，代入 y22px 得得 x08p所以所以|PQ|8p，|QF|p2x0p28p由题设得由题设得p28p548p，解得，解得 p2(舍去舍去)或或 p2所以所以 C 的方程为的方程为 y24x(2)依题意知依题意知 l 与坐标轴不垂直，与坐标轴不垂直，故可设故可设 l 的方程为的方程为 xmy1(m0)代入代入 y24x 得得 y24my40设设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则，则 y1y24m，y1
17、y24故故 AB 的中点为的中点为 D(2m21,2m)，|AB| m21|y1y2| m21 y1y2 24y1y24(m21)又又 l的斜率为的斜率为m，所以所以 l的方程为的方程为 x1my2m23将上式代入将上式代入 y24x，并整理得并整理得 y24my4(2m23)0设设 M(x3，y3)，N(x4，y4)，则则 y3y44m，y3y44(2m23)故故 MN 的中点为的中点为 E2m22m23，2m ，|MN|11m2|y3y4|11m2 y3y4 24y3y44 m21 2m21m2由于由于 MN 垂直平分垂直平分 AB，故，故 A，M，B，N 四点在同一圆上等价于四点在同一圆上等价于|AE|BE|12|MN|，从而从而14|AB|2|DE|214|MN|2，即，即 4(m21)22m2m22m2224 m21 2 2m21 m4化简得化简得 m210，解得，解得 m1 或或 m1所求直线所求直线 l 的方程为的方程为 xy10 或或 xy10
人教版 高中数学【选修 21】课时跟踪检测十三抛物线的简单几何性质
