数学新同步湘教版选修21讲义精练：第1章 1．2.2　全称量词和存在量词 Word版含解析

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1、12.2全称量词和存在量词全称量词和存在量词读教材读教材填要点填要点1全称量词与存在量词全称量词与存在量词(1)全称量词：全称量词：“任意任意、“所有所有”、“每一个每一个”等叫作全称量词，数学上用符号等叫作全称量词，数学上用符号“”表示表示(2)存在量词：存在量词：“存在存在”、“某一个某一个”、“至少有一个至少有一个”等叫作存在量词，数学上用符等叫作存在量词，数学上用符号号“”表示表示2含有含有“全称量词全称量词”或或“存在量词存在量词”的命题的否定的命题的否定(1)命题命题“xI, p(x)”的否定是的否定是“xI，綈綈 p(x)”；(2)命题命题“xI，p(x)”的否定是的否定是“xI

2、，綈綈 p(x)”小问题小问题大思维大思维1命题命题 p：任何一个实数除以任何一个实数除以 1 等于这个数等于这个数；q：等边三角形的三边都相等等边三角形的三边都相等它们各使它们各使用了什么量词？用了什么量词？提示：提示：命题命题 p 使用了全称量词使用了全称量词“任何一个任何一个”，“等边三角形的三边相等等边三角形的三边相等”是指是指“任意任意一个等边三角形的三边都相等一个等边三角形的三边都相等”，命题，命题 q 使用了全称量词使用了全称量词“任意任意”2下列命题使用了什么量词？下列命题使用了什么量词？p：存在实数：存在实数 x，使，使 x230；q：有的实数既不是质数也不是合数：有的实数既

3、不是质数也不是合数提示：提示：命题命题 p 使用存在量词使用存在量词“存在存在”，命题，命题 q 使用存在量词使用存在量词“有的有的”3如何用符号表示下列命题？如何用符号表示下列命题？(1)对任意实数对任意实数，有，有 sin2cos21；(2)存在实数存在实数 x，使得，使得1x2x12.提示：提示：(1)用符号表示为用符号表示为“R，sin2cos21”(2)用符号表示为用符号表示为“xR，1x2x12”用用“”或或“”表述命题表述命题将下列命题用量词符号将下列命题用量词符号“”或或“”表示，并判断真假表示，并判断真假(1)实数的平方是非负数；实数的平方是非负数；(2)整数中整数中 1 最

4、小；最小；(3)方程方程 ax22x10(a1)至少存在一个负根；至少存在一个负根；(4)对于某些实数对于某些实数 x，有，有 2x10.自主解答自主解答(1)xR，x20；真；真(2)xZ，x1；假；假(3)x0，有，有 ax22x10(a1)；真；真(4)xR，有，有 2x10；真；真同一个含全称量词或存在量词的命题，可能有不同的表述方法，现列表总结如下，在同一个含全称量词或存在量词的命题，可能有不同的表述方法，现列表总结如下，在实际应用中可以灵活选择：实际应用中可以灵活选择：命题命题含全称量词的命题含全称量词的命题“xA，p(x)”含存在量词的命题含存在量词的命题“xA，p(x)”表述表

5、述方法方法所有的所有的 xA，p(x)成立成立对一切对一切 xA，p(x) 成立成立对每一个对每一个 xA，p(x)成立成立任意一个任意一个 xA，p(x)成立成立凡凡 xA，都有，都有p(x)成立成立使使 p(x)成立成立存在存在 xA，至少有一至少有一个个xA，使使 p(x)成立成立对有些对有些 xA，p(x)成立成立对某个对某个 xA，p(x)成立成立有一个有一个 xA，使使 p(x)成立成立1用全称量词或存在量词表示下列语句：用全称量词或存在量词表示下列语句：(1)不等式不等式 x2x10 恒成立；恒成立；(2)当当 x 为有理数时，为有理数时，13x212x1 也是有理数；也是有理数

6、；(3)等式等式 sin()sin sin 对有些角对有些角，成立；成立；(4)方程方程 3x2y10 有整数解有整数解解：解：(1)对任意实数对任意实数 x，不等式，不等式 x2x10 成立成立(2)对任意有理数对任意有理数 x，13x212x1 是有理数是有理数(3)存在角存在角，使，使 sin()sin sin 成立成立(4)存在一对整数存在一对整数 x，y，使，使 3x2y10 成立成立含全称量词或存在量词的命题的真假判断含全称量词或存在量词的命题的真假判断(1)下列命题中的假命题是下列命题中的假命题是()AxR，lg x0BxR，tan x1CxR，x20DxR，ex0(2)下列命题

7、中的真命题是下列命题中的真命题是()AR，函数，函数 f(x)sin(2x)都不是偶函数都不是偶函数B，R，使，使 cos()cos cos C向量向量 a(2,1)，b(1,0)，则，则 a 在在 b 方向上的投影为方向上的投影为 2D“|x|1”是是“x1”的既不充分又不必要条件的既不充分又不必要条件自主解答自主解答(1)对于对于 A，x1 时，时，lg x0；对于对于 B，xk4(kZ)时，时，tan x1；对于对于 C，当，当 x0 时，时，x20，所以，所以 C 中命题为假命题；中命题为假命题；对于对于 D，ex0 恒成立恒成立(2)对于对于 A，当，当2时，时，f(x)cos 2x

8、，为偶函数，故，为偶函数，故 A 为假命题；为假命题；对于对于 B，令，令4，2，则，则 cos()cos4 22，cos cos 22022，cos()cos cos 成立，故成立，故 B 为真命题；为真命题；对于对于 C，向量向量 a(2,1)，b(1,0)，则则 a 在在 b 方向上的投影为方向上的投影为ab|b|2012，故故 C为假命题；为假命题；对于对于 D，|x|1，即，即1x1，故充分性成立，若，故充分性成立，若 x1，则，则|x|1 不一定成立，所以不一定成立，所以“|x|1”为为“x1”的充分不必要条件，故的充分不必要条件，故 D 为假命题为假命题答案答案(1)C(2)B全

9、称命题与特称命题的真假判断的技巧全称命题与特称命题的真假判断的技巧(1)要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合 M 中的每个元素中的每个元素 x 验证验证 p(x)成立成立；但要判定全称命题是假命题，只要能举出集合但要判定全称命题是假命题，只要能举出集合 M 中的一个中的一个 x0，使得，使得 p(x0)不成立即可不成立即可(2)要判定一个特称命题是真命题，只要在限定集合要判定一个特称命题是真命题，只要在限定集合 M 中，能找到一个中，能找到一个 x0使使 p(x0)成立成立即可；否则，这个特称命题就是假命题即可；否则，这个特称命题就是假命题2判断

10、下列命题是含全称量词还是存在量词，并判断其真假判断下列命题是含全称量词还是存在量词，并判断其真假(1)一次函数都是单调函数；一次函数都是单调函数；(2)至少有一个实数至少有一个实数 x，使，使 x20；(3)xZ，log4x0；(4)xx|x 是无理数是无理数，x4是无理数是无理数解：解：(1)命题中含有全称量词命题中含有全称量词“都都”，命题为真命题，命题为真命题(2)命题中含有存在量词命题中含有存在量词“至少有一个至少有一个”，当，当 x0 时，时，x20，命题为真命题，命题为真命题(3)命题中含有存在量词的符号命题中含有存在量词的符号“”，当，当 x4 时，时，log4x10，命题为真命

11、题，命题为真命题(4)命题中含有全称量词的符号命题中含有全称量词的符号“”， 由于由于 x 2时时 x44 是有理数是有理数 因此命题是假命因此命题是假命题题含有量词的命题的否定含有量词的命题的否定(1)设命题设命题 p：nN，n22n，则，则綈綈 p 为为()AnN，n22nBnN，n22nCnN，n22nDnN，n22n(2)(2016浙江高考浙江高考)命题命题“xR，nN*，使得，使得 nx2”的否定形式是的否定形式是()AxR，nN*，使得，使得 nx2BxR，nN*，使得，使得 nx2CxR，nN*，使得，使得 nx2DxR，nN*，使得，使得 nx2自主解答自主解答(1)因为因为“

12、xM，p(x)”的否定是的否定是“xM，綈綈 p(x)”，所以命题所以命题“nN，n22n”的否定是的否定是“nN，n22n”，故选，故选 C.(2)由于特称命题的否定形式是全称命题由于特称命题的否定形式是全称命题，全称命题的否定形式是特称命题全称命题的否定形式是特称命题，所以所以“xR，nN*，使得，使得 nx2”的否定形式为的否定形式为“xR，nN*，使得，使得 nx2”答案答案(1)C(2)D(1)“xM，p(x)”的否定为的否定为“xM，綈綈 p(x)”(2)有些命题省略了全称量词有些命题省略了全称量词，在这种情况下在这种情况下，千万不要将否定写成千万不要将否定写成“是是”或或“不是不

13、是”(3)命题命题“xM，p(x)”的否定为的否定为“xM，綈綈 p(x)”(4)只有只有“存在存在”一词是量词时一词是量词时，它的否定才是它的否定才是“任意任意”，当当“存在存在”一词不是量词时一词不是量词时，它的否定是它的否定是“不存在不存在”例如：三角形存在外接圆这个命题中的量词例如：三角形存在外接圆这个命题中的量词“所有的所有的”被省略被省略了，所以这个命题的否定是：有些三角形不存在外接圆了，所以这个命题的否定是：有些三角形不存在外接圆3写出下列命题的否定并判断其真假写出下列命题的否定并判断其真假(1)p：不论：不论 m 取何实数，方程取何实数，方程 x2mx10 必有实数根；必有实数

14、根；(2)p：有些三角形的三条边相等；：有些三角形的三条边相等；(3)p：余弦值为负数的角是钝角；：余弦值为负数的角是钝角；(4)p：存在一个实数，使得：存在一个实数，使得 3x0 恒成立，故为假命题恒成立，故为假命题(2)由于存在量词由于存在量词“有些有些”的否定的表述为的否定的表述为“所有所有，”因此因此，原命题的否定为原命题的否定为：“所有三角形的三条边不全相等所有三角形的三条边不全相等”，假命题，假命题(3)原命题的否定为：原命题的否定为：“有的余弦值为负数的角不是钝角有的余弦值为负数的角不是钝角”，真命题，真命题(4)原命题的否定为原命题的否定为“对于所有实数对于所有实数 x，都满足

15、，都满足 3x0”，真命题，真命题.解题高手解题高手妙解题妙解题什么是智慧，智慧就是简单、高效、不走弯路什么是智慧，智慧就是简单、高效、不走弯路判断下列命题的真假判断下列命题的真假(1)xR，x22x10；(2)xR，|x|0；(3)xN，log2x0；(4)xR，cos x2.巧思巧思根据命题中所含量词的含义，可举特例判断根据命题中所含量词的含义，可举特例判断妙解妙解(1)当当 x1 时，时，x22x10，原命题是假命题原命题是假命题(2)当当 x0 时，时，|x|0 成立，成立，原命题是真命题原命题是真命题(3)当当 x1 时，时，log2x0，原命题是假命题原命题是假命题(4)当当 xR

16、 时，时，cos x1,1，而而21，不存在不存在 xR，使使 cos x2.原命题是假命题原命题是假命题1下列命题不是下列命题不是“xR，x23”的表述方法是的表述方法是()A有一个有一个 xR，使得，使得 x23B对有些对有些 xR，使得，使得 x23C任选一个任选一个 xR，使得，使得 x23D至少有一个至少有一个 xR，使得，使得 x23解析：解析：选项选项 C 是全称命题是全称命题答案：答案：C2下列命题中的假命题是下列命题中的假命题是()AxR，lg x0BxR，cos x1CxR，x30DxR,2x0解析：解析：选项选项 A，lg x0 x1；选项；选项 B，cos x1x2k(

17、kZ)；选项；选项 C；x30 x0；选项；选项 D,2x0 xR.答案：答案：C3设命题设命题 p：nN，n22n，则，则綈綈 p 为为()AnN，n22nBnN，n22nCnN，n22nDnN，n22n解析解析： 因为因为“xM， p(x)”的否定是的否定是“xM， 綈綈 p(x)”， 所以命题所以命题“nN， n22n”的否定是的否定是“nN，n22n”，故选故选 C.答案：答案：C4 命题命题“至少有一个正实数至少有一个正实数 x 满足方程满足方程 x22(a1)x2a60”的否定是的否定是_解析：解析：把量词把量词“至少有一个至少有一个”改为改为“所有所有”，“满足满足”改为改为“都

18、不满足都不满足”得命题的否得命题的否定定答案：答案：所有正实数所有正实数 x 都不满足方程都不满足方程 x22(a1)x2a605给出下列命题给出下列命题xR，x220；xN，x41；xZ，x31.其中是真命题的是其中是真命题的是_(把所有真命题的序号都填上把所有真命题的序号都填上)解析：解析：由于由于xR，都有，都有 x20，因而有因而有 x2220，即，即 x220.所以命题所以命题“xR，x220”是真命题是真命题由于由于 0N，当，当 x0 时，时，x41 不成立不成立所以命题所以命题“xN，x41”是假命题是假命题由于由于1Z，当，当 x1 时，时，x31 成立成立所以命题所以命题“

19、xZ，x31”是真命题是真命题答案：答案：6写出下列命题的否定，并判断真假写出下列命题的否定，并判断真假(1)非负数的平方是正数非负数的平方是正数(2)有的四边形没有外接圆有的四边形没有外接圆解解：(1)命题的否定：命题的否定：“存在一个非负数的平方不是正数存在一个非负数的平方不是正数”因为因为 020，不是正数，所以该命题是真命题，不是正数，所以该命题是真命题(2)命题的否定：命题的否定：“所有四边形都有外接圆所有四边形都有外接圆”因为只有对角互补的四边形才有外接圆，所以原命题为真，所以命题的否定为假命题因为只有对角互补的四边形才有外接圆，所以原命题为真，所以命题的否定为假命题.一、选择题一

20、、选择题1命题命题“存在存在 xR,2x0”的否定是的否定是()A不存在不存在 xR,2x0B存在存在 xR,2x0C对任意的对任意的 xR,2x0D对任意的对任意的 xR,2x0解析：解析：由含有存在量词的命题否定可知，命题由含有存在量词的命题否定可知，命题“存在存在 xR,2x0”的否定是的否定是“对任意对任意的的 xR,2x0”答案：答案：D2命题命题“所有能被所有能被 2 整除的整数都是偶数整除的整数都是偶数”的否定是的否定是()A所有不能被所有不能被 2 整除的整数都是偶数整除的整数都是偶数B所有能被所有能被 2 整除的整数都不是偶数整除的整数都不是偶数C存在一个不能被存在一个不能被

21、 2 整除的整数是偶数整除的整数是偶数D存在一个能被存在一个能被 2 整除的整数不是偶数整除的整数不是偶数解析：解析：否定原命题结论的同时要把量词做相应改变，故选否定原命题结论的同时要把量词做相应改变，故选 D.答案：答案：D3若存在若存在 xR，使，使 ax22xa0 是真命题，则实数是真命题，则实数 a 的取值范围是的取值范围是()A(，1)B(，1C(1,1)D(1,1解析：解析：当当 a0 时，显然存在时，显然存在 xR，使，使 ax22xa0 时，必需时，必需44a20，解得解得1a1，故，故 0a1.综上所述，实数综上所述，实数 a 的取值范围是的取值范围是(，1)答案：答案：A4

22、下列四个命题：下列四个命题：p1：x(0，)，12x log12x；p3：x(0，)，12xlog12x；p4：x0，13 ，12x13x成立成立，所以所以 p1是假命题是假命题，排排除除A、B，对于命题对于命题 p3，在同一平面直角坐标系中作出函数在同一平面直角坐标系中作出函数 y12x与函数与函数 ylog12x 的图象的图象(图图略略)，可知在可知在(0，)上上，函数函数 y12x的图象并不是始终在函数的图象并不是始终在函数 ylog12x 的图象上方的图象上方，所所以以 p3是假命题，排除是假命题，排除 C.答案：答案：D二、填空题二、填空题5命题命题“有些负数满足不等式有些负数满足不

23、等式(1x)(19x)0”用用“”或或“”可表述为可表述为_解析解析：命题命题“有些负数满足不等式有些负数满足不等式(1x)(19x)0”为特称命题为特称命题，用用“”表示为表示为：x0.答案：答案：x06命题命题“零向量与任意向量共线零向量与任意向量共线”的否定为：的否定为：_.解析：解析：命题命题“零向量与任意向量共线零向量与任意向量共线”即即“任意向量与零向量共线任意向量与零向量共线”，其否定为，其否定为“有有的向量与零向量不共线的向量与零向量不共线”答案：答案：有的向量与零向量不共线有的向量与零向量不共线7下列命题是真命题的有下列命题是真命题的有_(1)x1,3,5,5x2 是奇数；是

24、奇数；(2)xR，x26x50；(3)xR，|x1|0.解析：解析：(1)5127,53217，55227，均为奇数，均为奇数，是真命题是真命题(2)x26x50 中，中，3620560，方程有两个不相等的实根，方程有两个不相等的实根，是真命题是真命题(3)x1 时，时，|11|0，是假命题是假命题答案：答案：(1)(2)8若命题若命题“xR，ax2ax20”是假命题，则是假命题，则 a 的取值范围是的取值范围是_解析解析：“xR，ax2ax20”是假命题是假命题，则则“xR，ax2ax20”是真命题是真命题，当当 a0 时，时，20.符合题意符合题意当当 a0 时，要满足时，要满足xR，ax

25、2ax20，需有需有a0，0，即即a0，a28a0，解得解得8a0，使函数使函数 f(x)ax24x 在在(，2上单调递减上单调递减”，命题命题 q：“存在存在 aR，使，使xR,16x216(a1)x10”若命题若命题“pq”为真命题，求实数为真命题，求实数 a的取值范围的取值范围解：解：若若 p 为真，则对称轴为真，则对称轴 x42a2a在区间在区间(，2的右侧，即的右侧，即2a2，0a1.若若 q 为真，则方程为真，则方程 16x216(a1)x10 无实数根无实数根16(a1)24160，12a32.命题命题“pq”为真命题，为真命题，命题命题 p，q 都为真，都为真，0a1，12a32，12a1.故实数故实数 a 的取值范围为的取值范围为12，1.