等腰三角形三线合一典型题型

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1、实用文档等腰三角形三线合一专题训练姓名例1如图，四边形 ABCD中, AB/ DC BE CE分别平分/ ABC / BCD,且点E在AD上。 求证：BC=AB+DCE是AD边中点。求证:CE丄B吕AE BE分别平分/ BAD / ABC变2:如图，四边形 abcdL ad/ bc E是CD上一点，且(1)求证：AE!BE(2)求证：E是CD的中点；(3)求证：AD+BCAB 变3: ABC是等腰直角三角形 ，/ BAC=90 ,AB=AC.若D为BC的中点，过 D作DML DN分别交 AB AC于 M N,求证：（1）DMk DNA 已知：如图，AB=AC E为AB上一点，F是AC延长线上一

2、点，且 BE=CF EF交BC于点D.求证：DE=DFA 已知：如图，AB=AC E为AB上一点，F是AC延长线上一点，且， EF交BC于点D,且D为EF的中点. 求证：BE=CF利用面积法证明线段之间的和差关系1、如图，在 ABC中, AB=AC P 为底边 BC 上的一点，PCL AB 于 D, PEL AC于 E, ? CF丄 AB于F,那么PD+PE与CF相等吗？A变1:若P点在直线BC上运动，其他条件不变，则 PD、PE与CF的关系又怎样，请你作 图，证明。1、已知等腰三角形的两边长分别为 4、9,则它的周长为（）A 17 B 22 C 17 或 22 D 13根据等腰三角形的性质寻

3、求规律1 1例1.在 ABC中，AB=AC /仁一 / ABC / 2= / ACB BD与CE相交于点 0,如图，/ B0C勺大小2 2与/A的大小有什么关系？1 1若/ 1=/ ABC / 2=/ ACB则/ BOCWZ A大小关系如何？3 311若/ 1=/ ABC / 2=/ ACB则/ B0C与 Z A大小关系如何?nn腰三角形周长分成 15和6两部分,会用等腰三角形的判定和性质计算与证明 例2.如图，等腰三角形 ABC中，AB=AC 一腰上的中线 BD?将这个等个三角形的腰长及底边长.利用等腰三角形的性质证线段相等例3.如图，P是等边三角形 ABC内的一点，连结 PA PB、PC,

4、 ?以BP为边作/ PBQ=60，且BQ=BP 连结CQ（1）观察并猜想 AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论.2）若PA PB: PC=3: 4: 5,连结PQ试判断 PQC的形状，并说明理由.例1、等腰三角形底边长为 5cm,腰上的中线把三角形周长分为差是3cm的两部分，则腰长为（）A、2cmB 、8cm C 、2cm 或 8cm D 、不能确定例2、已知ABC的高，AB=AC ABC周长为20cm,A ADC的周长为14cm,求AD的长。例3、如图，已知 BC=3,Z ABC和/ACB的平分线相交于点 0, 0E/ AB, OF/ AC,求厶OEF的周长。例4、如图，已知等边厶 AB

5、C中，D为AC上中点，延长 BC到E,使CE=CD连接DE试说明DB=DEA例5、等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为45，则这个三角形是（）A、锐角三角形 B 、钝角三角形 C 、等边三角形D 、等腰直角三角形例6、（ 1）等腰三角形的腰长为10,底边上的高为6,则底边的长为 。（2） 直角三角形的周长为12cm斜边的长为5cm,则其面积为 （3） 若直角三角形三边为1, 2，c，则c=。例7、下列说法：若在 ABC中a2+b3 ,则厶ABC不是直角三角形； 若 ABC是直角三角形，/C=9d,则a2+b2=c2; 若在 ABC中，a2+b2=c2，则/ C=9d; 若两直角边的平方和等于斜边

6、的平方，可以判定这个三角形是直角三角形。正确的有 （把你认为正确的序号填在横线上）例8正三角形 ABC所在平面内有一点 P,使得 PAB PBC PCA都是等腰三角形，则这样的P点有（ ）（A） 1 个（B） 4 个（C） 7 个（D） 10 个例 9.四边形 ABCDK AE=BC / AB(=Z CDA90, BE! AD于点 E,且四边形 ABC的面积为 8,贝U BE=( )A. 2B. 3C. 2 2D. 2,3例10.已知 ABC为正三角形,P为其内一点，且 AP=4, BP=2、3 , CP=2,则厶ABC的边长为(A)2.5(B) 2 7(C) 4(D) 4.2三巩固练习1、已

7、知等腰三角形的一边等于5,另一边等于9,求它的周长。2、在厶 ABC中，AB=AC / B=400,则/ A=3、等腰三角形的一个内角是700，则它的顶角为 4、 有一个内角为40的等腰三角形的另外两个内角的度数为.5、如图，在 Rt ABC中，/ 8 105，直线 BD交 AC于 D,CD.140BA把直角三角形沿着直线 BD翻折，点C恰好落在斜边 AB上,如果 ABD是等腰三角形，那么/ A等于()(A)40 (B) 30 0(C) 25 (D )156、若厶ABC三边分别为a、（A）等腰三角形（B）7、判定两个等腰三角形全等的条件可以是b、c,且满足 a2+b2+c2+50=6a+8b+

8、10c, 直角三角形（C）等腰直角三角形则厶ABC的形状为（）（D）等边三角形A、有一腰和一角对应相等、有两边对应相等C 、有顶角和一个底角对应相等&等腰三角形一腰上的高线与底边的夹角等于（A、顶角 B 、底角 C 、顶角的一半、有两角对应相等）D 、底角的一半9、 在等腰三角形 ABC中，/ A与/ B度数之比为5： 2,则/ A的度数是（D、75 或 100 10、 如图，P、Q是厶ABC边BC上的两点，且 QC= AP= AQ= BP= PQ 则/A、 100 B 、 75C 、 150BAC=-()CBD11、A 1250、1200、1300、90010题图12、如图，AB= AC,1

9、1题图AE= EC, / ACE= 280,则/ B 的度数是12题图A 、600B 700C 760D 45013、如图是一个等边三角形木框，甲虫P在边框AC上（端点A C除外），设甲虫P到另外两边距离之和为 d，等边三角形ABC的高为h, 则d与h的大小关系是（）【解题方法指导】例1.已知，如图，AB= AC= CD求证：/ B= 2/ DBC（例2.已知，如图， ABC是等边三角形， AD/BC, AD丄BD, BC= 6,求AD的长。【考点指要】等腰三角形、等边三角形及含30角的直角三角形是应用非常广泛的图形，因此，在中考试题中经常以证明题或计算题频频出现，而且经常把它们结合在一道题中

10、加以应用，虽然题目的难度不是很大,但也要善于分析，找出图形中有关的性质。【典型例题分析】例1.（ 2005年 苏州）如图，等腰三角形 ABC的顶角为120,腰长为10,则底边上的高 AD=。例2.已知，如图， ABC中，/ C= 90, AB的垂直平分线交 AB于E,交AC于 D, AD= 8, / A= 30, 求CD的长。CB例3.已知，如图， ABC是等边三角形，E是AB上一点，D是AC上一点，且 AE= CD,又BD与CE 交于点F,试求/ BFE的度数。A【综合测试】1.已知，如图， AB= AC / ABD=Z ACD 求证：DB= DCC2.已知，如图， D E是BC上两点，AB

11、= AC, AD= AE,求证：BD= CE3.AD= AE已知，如图， ABC中, DE/BC, AB= AC,求证:4. 已知，如图， ABC中, AB= AC, D是AB上一点,CE,求证：DF= EFE是AC延长线上一点,DE交 BC于 F,又 BD=5. 已知，如图，D是BC上一点， ABC BDE都是等边三角形，求证：AD= CE6. 已知，如图， ABC中，/ B= 90 , AC的垂直平分线交 AC于D,交BC于E,又/ C= 15, EC =10,求AB的长。图5例6、如图11,在厶ABC中，/ A= 90, AB= AC, D为BC边中点，E、F分别在 ABAC上，且DEX

12、 DF,求证：AE+ AF是一个定值.证明：连接AD/ AB= AC, D为 BC中点， AD丄 BC,/ BAC= 90 , AB= ACB=Z C= 45 ,/ BAD= 45 , / CAD= 45, AD= BD= CD,/ EDF= 90 ,EDAZ ADF= 90 ,又由 ADL BC得Z BDEZ ADE= 90,BDE=Z ADF在厶 BDED ADF中，Z B=Z DAF, BD= AD, Z BDE=Z ADF, BDEA ADF, BE= AF, AE+ AF= AE+ BE= AB （定值）.思考：四边形 AEDF的面积是否也是定值呢？为什么？例4、如图9,已知 ADA

13、BC的高，E为AC上一点，BE 交AD于 F ,且有BF= AC FD= CD,你认为BE与AC之间有怎样的位置关系？你能证明它吗？证明：线段BE! AC,理由如下：/ AD丄 BC, / ADB=Z ADC= 90 , Z FBDZ BFD= 90 ,在 Rt BDF和 Rt ADC中，BF= AC, F CD, Rt BDF Rt ADC/ BFD=Z C,./ FBDZ C= 90,/ BEC= 180 -(Z FBDZ C = 180 90= 90,即卩 BEX AC.22例 5、如图 10,在厶 ABC中，Z ACB= 90, AC= BC M是 AB上一点，求证： AM + BM

14、= 2CM证明：过C作CD! AB于点D,vZ ACB= 90 , AC= BC CD丄 AB Z A=Z B= 45,Z ACD=Z BCD= 45 Z A=Z ACD Z B=Z BCD AD= BD, BD= CD 即 AD= BD= CDv CD丄AB, DM 2 CD2 =CM 2 ,图10 AM 2 BM 2 =(AD -DM )2 (BD DM )2 =2(DM 2 CD2) =2CM BE= 2BF,即 BA+ AE= BC+ BD= 2BC+ CD= 2 ( BO CF),思考：请同学们试试用另外的方法来证明本题. CD= 2CF, CF= DF,在厶 CEF和厶 DEF 中

15、，CF= DF, Z CFE=Z DFE= 90 , EF= EF, CEFA DEF CE= DE.例3、如图7,已知在 ABC中，AB= AC, P为底边BC上任意一点，PD丄AB于点D, PEL AC于点E,求证：PD PE是一个定值解：连接AP,过点C作CFL AB于点F,由 S ABCS PAC1 1 AB CF , S pabAB PD ,1 1-2 AC P 2 AB PE ， S ABC = S.PAB S PAC ,111得：一AB CF AB PD AB PE ,222即，PD PE =CF （定值）图7说明：本例的结论可用文字语言叙述为：等腰三角形底边上一点到两腰的距离之

16、和等于腰上的高拓展：如果点P不是在边BC上,而是在BC的延长线上，其它条件保持不变,那么PD与PE之间又有怎得:S abc - S pab - S pac ,丄 AB CFPD 一丄 AB PE ,222即,PD-PE=CF （定值）即,当占=1 八、P在BC延长线上时，PD与 PE之差为定值样的关系呢？解：连接AP,过点C作CFL AB于点F,（如图8）1 1由 S ABC =2AB CF， S pab =2AB PD，11S PAC AC PE AB PE ,22基础训练：1、填空题：(1)等腰三角形中，如果底边长为6，一腰长为8,那么周长是。(2)如果等腰三角形有一边长是6，另一边长是8

17、,那么它的周长是;如果等腰三角形的两边长分别是4、8,那么它的周长是。(3)等腰三角形的对称轴最多有条。2、填空题：(1) 如果 ABC是等腰三角形，那么它的边长(或周长)可以是()A、三条边长分别是 5, 5, 11 B、三条边长分别是 4, 4, 8C、周长为14,其中两边长分别是 4, 5 D、周长为24,其中两边长分别是 6, 12(2) 等腰三角形一边长为 2,周长为5，那么它的腰长为()A、3 B 、2 C 、1.5 D 、2 或 1.53、 已知等腰三角形的腰长是底边的3倍，周长为35cm求等腰三角形各边的长。4、 已知：如图，AD平分/ BAC AB=AC请你说明厶DBC是等腰

18、三角形。x+2y=43x+y=75、已知等腰三角形的底边和一腰长是方程组的解，求这个三角形的各边长。(1) 等腰三角形的顶角平分线、 、互相重合。(2) 等腰三角形有一个角是120,那么其他两个角的度数是 和。(3) ABC中，/ A=Z B=2/ C,那么/ C=。(4) 在等腰三角形中，设底角为 x。，顶角为y。，则用含x的代数式表示y，得y= 数式表示 x,得x=。2、选择题：(1) 等腰三角形的一个外角为140,那么底角等于()A、40B、100 C 、70 D、40 或 70(2) 等腰三角形一腰上的高线与底边的夹角等于()A、顶角B 、底角 C 、顶角的一半D、底角的一半(3) 在

19、等腰三角形 ABC中，/ A与/ B度数之比为5 : 2，则/ A的度数是()A、100 B、75C 、150 D 、75 或 100;用含y的代(4)等腰三角形/ B=Z C,A、4 B 、3、如图，已知ABC中，AB=AC AD是角平分线，则“ AD丄BC,BD=DC / BAD=/ CAD中，结论正确的个数是()3 C、2 DABC中, D 在 BC上, AB=AD=DC /D4、如图，已知 ABC中，点 D E在BC上,AB=AC AD=AE请说明BD=CE勺理由。DE1、填空题:(1 )在厶ABC中，/ A的相邻外角是110，要使 ABC是等腰三角形，则/ B=(2 )在一个三角形中，等角对 ;等边对(3)如果等腰三角形底边上的高线和腰上的高线相等，则它的各内角的度数是(4)如图，AB=AC BD平分/ ABC 且/ C=2Z A,则图中等腰三角形共有 个。2、选择题：如图，在 ABC中，AB=AC / BAC=108，/ ADB=72 ,DE平分/ ADB则图中等腰三角形的个数是()A、3 BD3、如图,在厶ABC中，/ B和/C的平分线相交于点 0,且0B=0C请说明AB=ACf的理由。4、如图,已知/ EAC ABC的外角，/5、如图,AB=AC / ABD=/ ACD请你说明 AD是BC的中垂线。AB=AC的理由CC