[最新]人教版数学高中选修第2讲5 与圆有关的比例线段

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1、精品精品资料精品精品资料五与圆有关的比例线段课标解读1.会论证相交弦、割线、切割线、切线长定理2.能运用相交弦、割线、切割线、切线长定理进行计算与证明.1相交弦定理(1)文字语言圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等(2)图形语言如图251，弦AB与CD相交于P点，则PAPBPCPD.图2512割线定理(1)文字语言从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等(2)图形语言图252如图252，O的割线PAB与PCD，则有：PAPBPCPD.3切割线定理(1)文字语言从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项(2)图形语言如

2、图253，O的切线PA，切点为A，割线PBC，则有PA2PBPC.图2534切线长定理(1)文字叙述从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角(2)图形表示如图254，O的切线PA、PB，则PAPB，OPAOPB.图2541能否用三角形相似证明相交弦定理？【提示】能如图，O的弦AB、CD相交于P点，连接AD、BC，则APDCPB.故有，即PAPBPCPD.2垂径定理、切线长定理、射影定理、相交弦定理、切割线定理之间有何关系？【提示】如图，PA，PB为O的两条切线，A，B为切点，PCD为过圆心O的割线，连接AB，交PD于点E，则有下列结论：(1)PA2PB2

3、PCPDPEPO；(2)AE2BE2DECEOEPE；(3)若AC平分BAP，则C为PAB的内心；(4)OA2OC2OEOPOD2；(5)，PDAB；(6)AOPBOP，APDBPD.3应用切割线定理应注意什么？【提示】应用切割线定理应记清关系式，防止做题时出错(1)如图所示，把PC2PAPB错写成PC2POPB；(2)如图所示，把关系式PT2PBPA错写成PT2PBBA，把关系式PBPAPDPC错写成PBBAPDDC.相交弦定理图255如图255，AC为O的直径，弦BDAC于点P，PC2，PA8，则tanACD的值为_【思路探究】由垂径定理知，点P是BD的中点，先用相交弦定理求PD，再用射影

4、定理或勾股定理求AD、CD，最后求tanACD.【自主解答】BDAC，BPPD，PD2PAPC2816，PD4.连接AD，则ADC90，tanACD.又AD4，CD2，tanACD2.【答案】21解答本题的关键是先用相交弦定理求PD，再用勾股定理或射影定理求AD、CD.2相交弦定理的运用往往与相似形联系密切，也经常与垂径定理、射影定理等相结合进行某些计算与证明(2013湖南高考)如图256，在半径为的O中，弦AB，CD相交于点P，PAPB2，PD1，则圆心O到弦CD的距离为_图256【解析】由相交弦定理得PAPBPCPD.又PAPB2，PD1，则PC4，CDPCPD5.过O作CD的垂线OE交C

5、D于E，则E为CD中点，OE.【答案】切割线定理图257已知如图257所示，AD为O的直径，AB为O的切线，割线BMN交AD的延长线于C，且BMMNNC，若AB2.求：(1)BC的长；(2)O的半径r.【思路探究】由AB2BMBN求得BC由CDACCNCM求得CD结果【自主解答】(1)不妨设BMMNNCx.根据切割线定理，得AB2BMBN，即22x(xx)解得x，BC3x3.(2)在RtABC中，AC，由割线定理，得CDACCNCM，由(1)可知，CN，BC3，CMBCBM32，AC，CD，r(ACCD)().1解答本题的关键是先根据切割线定理求BC.2切割线定理常常与弦切角定理、相交弦定理、

6、平行线分线段成比例定理、相似三角形结合在一起解决数学问题，有时切割线定理利用方程进行计算、求值等图258(2013天津高考)如图258，在圆内接梯形ABCD中，ABDC.过点A作圆的切线与CB的延长线交于点E.若ABAD5，BE4，则弦BD的长为_【解析】因为ABDC，所以四边形ABCD是等腰梯形，所以BCADAB5.又AE是切线，所以AEBD，AE2BEEC4(45)36，所以AE6.因为CDBBAE，BCDABE，所以ABEDCB，所以，于是BD.【答案】切线长定理如图259，AB是O的直径，C是O上一点，过点C的切线与过A、B两点的切线分别交于点E、F，AF与BE交于点P.图259求证：

7、EPCEBF.【思路探究】由切线EAEC，FCFBCPFB结论【自主解答】EA，EF，FB是O的切线，EAEC，FCFB，EA，FB切O于A，B，AB是直径，EAAB，FBAB，EAFB，CPFB，EPCEBF.1解答本题的关键是利用对应线段成比例得到CPFB.2运用切线长定理时，注意分析其中的等量关系，即(1)切线长相等，(2)圆外点与圆心的连线平分两条切线的夹角，然后结合三角形等图形的有关性质进行计算与证明图2510如图2510所示，已知O的外切等腰梯形ABCD，ADBC，ABDC，梯形中位线为EF.(1)求证：EFAB；(2)若EF5，ADBC14，求此梯形ABCD的面积【解】(1)证明

8、：O为等腰梯形ABCD的内切圆，ADBCABCD.EF为梯形的中位线，ADBC2EF.又ABDC，2EF2AB，EFAB.(2)EF5，AB5，ADBC10.ADBC14，AD2，BC8.作AHBC于H，则BH(BCAD)(82)3.在RtABH中，AH4.S梯ABCDEFAH5420.(教材第40页习题2.5第3题)如图2511，点P为O的弦AB上的任意点，连接PO，PCOP，PC交圆于C，求证：PAPBPC2.图2511(2012湖南高考)图2512如图2512所示，过点P的直线与O相交于A，B两点若PA1，AB2，PO3，则O的半径等于_【命题意图】本小题考查圆的割线定理的应用及计算能力

9、【解析】设O的半径为r(r0)，PA1，AB2，PBPAAB3.延长PO交O于点C，则PCPOr3r.设PO交O于点D，则PD3r.由圆的割线定理知，PAPBPDPC，13(3r)(3r)，9r23，r.【答案】1如图2513，O的两条弦AB与CD相交于点E，EC1，DE4，AE2，则BE()图2513A1B2C3 D4【解析】由相交弦定理得AEEBDEEC，即2EB41，BE2.【答案】B2如图2514，P是O外一点，PA与O相切于点A，过点P的直线l交O于B，C，且PB4，PC9，则PA等于()图2514A4 B6C9 D36【解析】由切割线定理知，PA2PBPC4936，PA6.【答案】

10、B3如图2515，PA、PB分别为O的切线，切点分别为A，B，P80，则C_.图2515【解析】PA、PB分别为O的切线，PAPB.又P80，PABPBA50.ACBPAB50.【答案】504(2013重庆高考)如图2516，在ABC中，ACB90，A60，AB20，过C作ABC的外接圆的切线CD，BDCD，BD与外接圆交于点E，则DE的长为_图2516【解析】在RtACB中，ACB90，A60，ABC30.AB20，AC10，BC10.CD为切线，BCDA60.BDC90，BD15，CD5.由切割线定理得DC2DEDB，即(5)215DE，DE5.【答案】5一、选择题1PT切O于T，割线PA

11、B经过点O交O于A、B，若PT4，PA2，则cosBPT()A.B.C. D.【解析】如图所示，连接OT，根据切割线定理，可得PT2PAPB，即422PB，PB8，ABPBPA6，OTr3，POPAr5，cosBPT.【答案】A图25172如图2517，O的直径CD与弦AB交于P点，若AP4，BP6，CP3，则O半径为()A5.5B5C6 D6.5【解析】由相交弦定理知APPBCPPD，AP4，BP6，CP3，PD8，CD3811，O的半径为5.5.【答案】A图25183如图2518，在RtABC中，C90，AC4，BC3.以BC上一点O为圆心作O与AC、AB都相切，又O与BC的另一个交点为D

12、，则线段BD的长为()A1B. C.D.【解析】观察图形，AC与O切于点C，AB与O切于点E，则AB5.如图，连接OE，由切线长定理得AEAC4，故BEABAE541.根据切割线定理得BDBCBE2，即3BD1，故BD.【答案】C4.图2519(2011北京高考)如图2519，AD，AE，BC分别与圆O切于点D，E，F，延长AF与圆O交于另一点G.给出下列三个结论：ADAEABBCCA；AFAGADAE；AFBADG.其中正确结论的序号是()A BC D【解析】项，BDBF，CECF，ADAEACCEABBDACABCFBFACABBC，故正确；项，ADAE，AD2AFAG，AFAGADAE，

13、故正确；项，延长AD于M，连结FD，AD与圆O切于点D，则GDMGFD，ADGAFDAFB，则AFB与ADG不相似，故错误，故选A.【答案】A二、填空题图25205(2012天津高考)如图2520，已知AB和AC是圆的两条弦，过点B作圆的切线与AC的延长线相交wEw.【解析】因为AFBFEFCF，解得CF2，所以，即BD.设CDx，AD4x，所以4x2，所以x.【答案】6(2013北京高考)如图2521，AB为圆O的直径，PA为圆O的切线，PB与圆O相交于D，若PA3，PDDB916，则PD_，AB_.图2521【解析】由于PDDB916，设PD9a，则DB16a.根据切割线定理有PA2PDP

14、B.又PA3，PB25a，99a25a，a，PD，PB5.在RtPAB中，AB2PB2AP225916，故AB4.【答案】4三、解答题图25227如图2522所示，已知PA与O相切，A为切点，PBC为割线，D为O上的点，且ADAC，AD，BC相交于点E.(1)求证：APCD；(2)设F为CE上的一点，且EDFP，求证：CEEBFEEP.【证明】(1)ADAC，ACDADC.又PA与O相切于点A，ACDPAD.PADADC，APCD.(2)EDFP，且FEDAEP，FEDAEP.FEEPAEED.又A、B、D、C四点均在O上，CEEBAEED，CEEBFEEP.8如图2523，圆的两弦AB、CD

15、交于点F，从F点引BC的平行线和直线AD交于P，再从P引这个圆的切线，切点是Q，求证：PFPQ.图2523【证明】A，B，C，D四点共圆，ADFABC.PFBC，AFPABC.AFPFDP.APFFPD，APFFPD.PF2PAPD.PQ与圆相切，PQ2PAPD.PF2PQ2，PFPQ.9如图2524，已知PA、PB切O于A、B两点，PO4cm，APB60，求阴影部分的周长图2524【解】如下图所示，连接OA，OB.PA、PB是O的切线，A、B为切点，PAPB，PAOPBO，APOAPB，在RtPAO中，APPOcos42 (cm)，OAPO2 (cm)，PB2(cm)APO，PAOPBO，AOB，lAOBR2(cm)，阴影部分的周长为PAPBl22cm.10.如图，已知AD是O的切线，D为切点，割线ABC交O于B、C两点，若DEAO于E.求证：AEBACO.【证明】连接DO.AD为切线，ADDO.ADEAOD.即AD2AEAO.又AD为切线，AD2ABAC.AEAOABAC，即.EABCAO，EABCAO.AEBACO.最新精品资料