【最新版】广东省各市中考数学试题分类汇编 专题7 函数的图像、性质和应用问题

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1、最新版教学资料数学专题7：函数的图像、性质和应用问题1.（2015年广东梅州3分）对于二次函数有下列四个结论：它的对称轴是直线；设，则当时，有；它的图象与轴的两个交点是（0，0）和（2，0）；当时，.其中正确结论的个数为【 】A. 1 B.2 C. 3 D. 4【答案】C.【考点】二次函数的图象和性质. 【分析】，二次函数图象的对称轴是直线.故结论正确.当时，随的增大而减小，此时，当时，有.故结论错误.的解为，二次函数图象与轴的两个交点是（0，0）和（2，0） .故结论正确.二次函数图象与轴的两个交点是（0，0）和（2，0），且有最大值1，当时，.故结论正确.综上所述，正确结论有三个.故选C.

2、2. （2015年广东深圳3分）二次函数的图像如下图所示，下列说法；，正确的个数是【 】A. 1 B. 2 C.3 D. 4【答案】B.【考点】二次函数的图像和性质. 【分析】二次函数图像的开口向下，. 故说法错误.二次函数图像的对称轴在轴右侧， 即.故说法正确.二次函数图像与轴的交点在轴上方，. 故说法错误.二次函数图像与轴有两个交点，.故说法正确.综上所述，正确的个数是2个.故选B.3. （2015年广东汕尾4分）对于二次函数有下列四个结论：它的对称轴是直线；设，则当时，有；它的图象与轴的两个交点是（0，0）和（2，0）；当时，.其中正确结论的个数为【 】A. 1 B.2 C. 3 D.

3、4【答案】C.【考点】二次函数的图象和性质. 【分析】，二次函数图象的对称轴是直线.故结论正确.当时，随的增大而减小，此时，当时，有.故结论错误.的解为，二次函数图象与轴的两个交点是（0，0）和（2，0） .故结论正确.二次函数图象与轴的两个交点是（0，0）和（2，0），且有最大值1，当时，.故结论正确.综上所述，正确结论有三个.故选C.1. （2015年广东深圳3分）如图，已知点A在反比例函数上，作，点D为斜边AC的中点，连DB并延长交y轴于点E，若的面积为8，则k= .【答案】16.【考点】反比例函数的应用；相似三角形的判定和性质；直角三角形斜边上中线的性质；等腰三角形的性质.【分析】由题

4、意，.点D为斜边AC的中点，. .又，. .1. （2015年广东梅州9分）九年级数学兴趣小组经过市场调查，得到某种运动服每月的销量与售价的相关信息如下表：售价(元/件)100110120130月销量(件)200180160140已知该运动服的进价为每件60元，设售价为x元.（1）请用含x的式子表示：销售该运动服每件的利润是 元；月销量是 .件；（直接填写结果）（2）设销量该运动服的月利润为y元，那么售价为多少时，当月的利润最大，最大利润是多少？【答案】解：（1）；.（2）依题意可得：.当x=130时，y有最大值980.售价为每件130元时，当月的利润最大，为9800元.【考点】二次函数和一次

5、函数的应用（实际应用问题）；待定系数法的应用；直线上点的坐标与方程的关系；二次函数的最值.【分析】（1）根据“”得出结论.根据所给数据猜想月销量是售价的一次函数，可设为，将（100，200），（110，180）代入，得，解得.将其它各组数据代入检验，适合，月销量是件.（2）根据“”得出y关于的二次函数，应用二次函数的最值原理求解即可.2. （2015年广东梅州10分）如图，已知直线分别与x、y轴交于点A和B.（1）求点A、B的坐标；（2）求原点O到直线的距离；（3）若圆M的半径为2，圆心M在y轴上，当圆M与直线相切时，求点M的坐标.【答案】（1）当x=0时，y=3 ，B点坐标（0，3）.当y=

6、0时，有，解得x=4. A点坐标为（4，0）.（2）如答图1，过点O作OCAB于点C，则OC长为原点O到直线l的距离.在RtBOA中，OA=4，0B=3，由勾股定理可得AB=5，.原点O到直线l的距离为.（3）如答图2，3，过点M作MDAB交AB于点D，则当圆M与直线l相切时，MD=2，在BOA和BDM中，OBA=DBM，BOA=BDM，BOABDM.，即，解得.或.点M的坐标为M（0，）或 M（0，）.【考点】一次函数综合题；直线上点的坐标与方程的关系；勾股定理；三角形面积公式的应用；相似三角形的判定和性质；直线与圆的位置关系；分类思想的应用.【分析】（1）根据点在直线上点的坐标满足方程的关

7、系，将y=0和x=0分别代入即可求得点A、B的坐标.（2）作辅助线：过点O作OCAB于点C，则OC长为原点O到直线l的距离，由勾股定理求得AB的长，从而根据三角形面积公式求得的长，即原点O到直线l的距离.（3）作辅助线：过点M作MDAB交AB于点D，则当圆M与直线l相切时，MD=2，根据BOABDM列式求得，分点M在直线的上、下方两种情况讨论即可.3. （2015年广东梅州10分）如图，过原点的直线和与反比例函数的图象分别交于两点A，C和B，D，连结AB，BC，CD，DA（1）四边形ABCD一定是 四边形；（直接填写结果）（2）四边形ABCD可能是矩形吗？若可能，试求此时和之间的关系式；若不可

8、能，说明理由；（3）设是函数图象上的任意两点，试判断，的大小关系，并说明理由【答案】解：（1）平行.（2）四边形ABCD可能是矩形，此时，理由如下：当四边形ABCD是矩形时，OA=OB.联立，得，.同理，.，得.， . .四边形ABCD可以是矩形，此时.（3）.理由如下：.x2 x1 0，.【考点】反比例函数和一次函数综合题；平行四边形的判定；矩形的性质；代数式化简；作差法的应用.【分析】（1）根据反比例函数的中心对称性，有，所以，四边形ABCD一定是平行四边形.（2）求出点A、B的坐标，根据矩形对角线互相平分且相等的性质得到OA=OB，即，据此列式化简得证.（3）作差，化简，得出结论.4.

9、（2015年广东佛山6分）若正比例函数的图象与反比例函数的图象有一个交点坐标是.（1）求这两个函数的表达式； （2）求这两个函数图象的另一个交点坐标.【答案】解：（1）正比例函数的图象经过，解得.正比例函数的表达式为.反比例函数的图象经过，解得.正比例函数的表达式为.（2）联立，解得或，这两个函数图象的另一个交点坐标为.【考点】正比例函数图象和反比例函数图象交点问题；曲线上点的坐标与方程的关系.【分析】（1）根据点在曲线上点的坐标满足方程的关系，分别将代入两个解析式即可求得这两个函数的表达式.（2）联立两表达式，解方程组即可求得这两个函数图象的另一个交点坐标.5. （2015年广东佛山10分）

10、如图，一小球从斜坡点处抛出，球的抛出路线可以用二次函数刻画，斜坡可以用一次函数刻画.（1）请用配方法求二次函数图象的最高点P的坐标；（2）小球的落点是A，求点A的坐标；（3）连结抛物线的最高点P与点O、A得POA. 求POA的面积；（4）在OA上方的抛物线上存在一点M（M与P不重合），MOA的面积等于POA的面积，请直接写出点M的坐标.【答案】解：（1），点P的坐标为.（2）联立，解得或.点A的坐标为.（3）如答图1，作二次函数图象的对称轴交于点，则点的坐标为，.（4）.【考点】二次函数的应用（实际问题）；二次函数的性质；曲线上点的坐标与方程的关系；等高三角形面积的应用；待定系数法、转换思想和

11、数形结合思想的应用.【分析】（1）化为顶点式即可得二次函数图象的顶点坐标.（2）联立和即可求出点A的坐标.（3）作辅助线“作二次函数图象的对称轴交于点”，将转化为和之和.（4）作辅助线“过点作交抛物线于另一点”，则MOA的面积等于POA的面积，设直线的解析式为，将代入，得，直线的解析式为.联立，解得，或.点M的坐标为.6. （2015年广东广州10分）已知反比例函数的图象的一支位于第一象限.（1）判断该函数图象的另一支所在的象限，并求的取值范围；（2）如图，O为坐标原点，点A在该反比例函数位于第一象限的图象上，点B与点A关于轴对称，若的面积为6，求的值.【答案】解：（1）反比例函数的图象的一支

12、位于第一象限，该函数图象的另一支位于第三象限.，解得.的取值范围为.（2）设，点B与点A关于轴对称，.的面积为6，解得.【考点】反比例函数综合题；解一元一次不等式；轴对称点的性质.【分析】（1）根据反比例函数的性质：当时，图象分别位于第一、三象限；当时，图象分别位于第二、四象限.由反比例函数的图象的一支位于第一象限，得另一支位于第三象限，得到，解之即可.（2）设，根据“关于轴对称的点的坐标特征是横坐标相同，纵坐标互为相反数”得到的长，根据的面积为6列方程求解即可.7. （2015年广东广州10分）已知O为坐标原点，抛物线与轴相交于点,.与轴交于点C，且O，C两点之间的距离为3，点A，C在直线上

13、.（1）求点C的坐标；（2）当随着的增大而增大时，求自变量的取值范围；（3）将抛物线向左平移个单位，记平移后随着的增大而增大的部分为P，直线向下平移n个单位，当平移后的直线与P有公共点时，求的最小值.【答案】解：（1）令，得，.O，C两点之间的距离为3，解得.点C的坐标为或.（2），异号.若，把代入得，即.把代入得，即.异号，.，.把，代入，得，解得.当时，随着的增大而增大.若，把代入得，即.把代入得，即.异号，.，.把，代入，得，解得.当时，随着的增大而增大.综上所述，若，当随着的增大而增大时，；若，当随着的增大而增大时，.（3）若，则，向左平移个单位后的解析式为，则当时，随着的增大而增大.

14、 直线向下平移n个单位后的解析式为.要使平移后直线与有公共点，则当时，即，解得，与不符，舍去. 若，则，向左平移个单位后的解析式为，则当时，随着的增大而增大. 直线向下平移n个单位后的解析式为.要使平移后直线与有公共点，则当时，即，解得.综上所述，.，当时，的最小值为.【考点】二次函数综合题；线动平移问题；曲线上点的坐标与方程的关系；不等式和绝对值的性质；二次函数的最值；分类思想的应用.【分析】（1）一方面，由点C在抛物线得到，另一方面，由O，C两点之间的距离为3，得到，从而得到点C的坐标.（2）分和两种情况讨论.（3）分和两种情况讨论得到的范围内，从而根据二次函数最值原理即可求解.8. （2

15、015年广东深圳9分）如图1，关于的二次函数经过点，点，点为二次函数的顶点，为二次函数的对称轴，在轴上.（1）求抛物线的解析式；（2）DE上是否存在点P到AD的距离与到轴的距离相等，若存在求出点P，若不存在请说明理由；（3）如图2，DE的左侧抛物线上是否存在点F，使，若存在求出点F的坐标，若不存在请说明理由.【答案】解：（1）将点， 代入，得，解得.抛物线的解析式为.（2）存在.，.设，当点在的角平分线时，如答图1，过点作于点，则，解得. .当点在的外角平分线时，如答图2，过点作于点，则，解得. .综上所述，DE上存在点P到AD的距离与到轴的距离相等，点P的坐标为或.（3）存在.假设存在点F，

16、使，设，.，.设的解析式为，则，解得.的解析式为.令，得，即与轴的交点坐标为.若点在轴上方，如答图2，则，即，解得（舍去正值）.当时，.若点在轴下方，如答图3，则，即，解得（舍去正值）.当时，不符合点在轴下方，舍去.综上所述，DE的左侧抛物线上存在点F，使，点F的坐标为.【考点】二次函数综合题；待定系数法的应用；曲线上点的坐标与方程的关系；锐角三角函数定义；角平分线的性质；分类思想、转换思想和方程思想的应用.【分析】（1）将点， 代入即可求解.（2）根据角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，分点在的角平分线和点在的外角平分线两种情况讨论即可.（3）由已知求出，分点在轴上方和点在轴下方两种情况

17、讨论，当点在轴上方时，；当点在轴下方时，据此列方程求解.9. （2015年广东9分）如图，反比例函数(，)的图象与直线相交于点C，过直线上点A(1，3)作ABx轴于点B，交反比例函数图象于点D，且AB=3BD.（1）求k的值；（2）求点C的坐标；（3）在y轴上确定一点M，使点M到C、D两点距离之和d=MC+MD最小，求点M的坐标.【答案】解：（1）A(1，3)，OB=1，AB=3.又AB=3BD，BD=1. D(1，1).反比例函数(，)的图象经过点D，.（2）由（1）知反比例函数的解析式为，解方程组，得或（舍去），点C的坐标为(，).（3）如答图，作点D关于y轴对称点E，则E(,1)，连接C

18、E交y轴于点M，即为所求.设直线CE的解析式为，则，解得，直线CE的解析式为.当x=0时，y=，点M的坐标为(0，).【考点】反比例函数和一次函数综合问题；曲线上点的坐标与方程的关系；待定系数法的应用；轴对称的应用（最短距离问题）；方程思想的应用.【分析】（1）求出点D的坐标，即可根据点在曲线上点的坐标满足方程的关系，求出k的值.（2）由于点C是反比例函数的图象和直线的交点，二者联立即可求得点C的坐标.（3）根据轴对称的应用，作点D关于y轴对称点E，则E(,1)，连接CE交y轴于点M，即为所求.10. （2015年广东9分）如图，在同一平面上，两块斜边相等的直角三角板RtABC与RtADC拼在

19、一起，使斜边AC完全重合，且顶点B，D分别在AC的两旁，ABC=ADC=90，CAD=30，AB=BC=4cm.（1）填空：AD= (cm)，DC= (cm)；（2）点M，N分别从A点，C点同时以每秒1cm的速度等速出发，且分别在AD，CB上沿AD，CB的方向运动，当N点运动 到B点时，M，N两点同时停止运动，连结MN，求当M，N点运动了x秒时，点N到AD的距离(用含x的式子表示)；（3）在（2）的条件下，取DC中点P，连结MP，NP，设PMN的面积为y(cm2)，在整个运动过程中，PMN的面积y存在最大值，请求出这个最大值.(参考数据：sin75=，sin15=)【答案】解：（1）；.（2）

20、如答图，过点N作NEAD于E，作NFDC延长线于F，则NE=DF.ACD=60，ACB=45，NCF=75，FNC=15.sin15=.又NC=x，sin15=，.NE=DF=.点N到AD的距离为cm.（3）NC=x，sin75=，且sin75=，PD=CP=，PF=.即.当时，y有最大值为.【考点】双动点问题；锐角三角函数定义；特殊角的三角函数值；由实际问题列函数关系式；二次函数的最值；转换思想的应用. 【分析】（1）ABC =90，AB=BC=4，.ADC=90，CAD=30，.（2）作辅助线“过点N作NEAD于E，作NFDC延长线于F”构造直角三角形CNF，求出FC的长，即可由NE=DF

21、=FC+CD求解.（3）由列式，根据二次函数的最值原理求解.11. （2015年广东汕尾9分）九年级数学兴趣小组经过市场调查，得到某种运动服每月的销量与售价的相关信息如下表：售价(元/件)100110120130月销量(件)200180160140已知该运动服的进价为每件60元，设售价为x元.（1）请用含x的式子表示：销售该运动服每件的利润是 元；月销量是 .件；（直接填写结果）（2）设销量该运动服的月利润为y元，那么售价为多少时，当月的利润最大，最大利润是多少？【答案】解：（1）；.（2）依题意可得：.当x=130时，y有最大值980.售价为每件130元时，当月的利润最大，为9800元.【考

22、点】二次函数和一次函数的应用（实际应用问题）；待定系数法的应用；直线上点的坐标与方程的关系；二次函数的最值.【分析】（1）根据“”得出结论.根据所给数据猜想月销量是售价的一次函数，可设为，将（100，200），（110，180）代入，得，解得.将其它各组数据代入检验，适合，月销量是件.（2）根据“”得出y关于的二次函数，应用二次函数的最值原理求解即可.12. （2015年广东汕尾11分）如图，已知直线分别与x、y轴交于点A和B.（1）求点A、B的坐标；（2）求原点O到直线的距离；（3）若圆M的半径为2，圆心M在y轴上，当圆M与直线相切时，求点M的坐标.【答案】（1）当x=0时，y=3 ，B点坐

23、标（0，3）.当y=0时，有，解得x=4. A点坐标为（4，0）.（2）如答图1，过点O作OCAB于点C，则OC长为原点O到直线l的距离.在RtBOA中，OA=4，0B=3，由勾股定理可得AB=5，.原点O到直线l的距离为.（3）如答图2，3，过点M作MDAB交AB于点D，则当圆M与直线l相切时，MD=2，在BOA和BDM中，OBA=DBM，BOA=BDM，BOABDM.，即，解得.或.点M的坐标为M（0，）或 M（0，）.【考点】一次函数综合题；直线上点的坐标与方程的关系；勾股定理；三角形面积公式的应用；相似三角形的判定和性质；直线与圆的位置关系；分类思想的应用.【分析】（1）根据点在直线上

24、点的坐标满足方程的关系，将y=0和x=0分别代入即可求得点A、B的坐标.（2）作辅助线：过点O作OCAB于点C，则OC长为原点O到直线l的距离，由勾股定理求得AB的长，从而根据三角形面积公式求得的长，即原点O到直线l的距离.（3）作辅助线：过点M作MDAB交AB于点D，则当圆M与直线l相切时，MD=2，根据BOABDM列式求得，分点M在直线的上、下方两种情况讨论即可.13. （2015年广东汕尾10分）如图，过原点的直线和与反比例函数的图象分别交于两点A，C和B，D，连结AB，BC，CD，DA（1）四边形ABCD一定是 四边形；（直接填写结果）（2）四边形ABCD可能是矩形吗？若可能，试求此时

25、和之间的关系式；若不可能，说明理由；（3）设是函数图象上的任意两点，试判断，的大小关系，并说明理由【答案】解：（1）平行.（2）四边形ABCD可能是矩形，此时，理由如下：当四边形ABCD是矩形时，OA=OB.联立，得，.同理，.，得.， . .四边形ABCD可以是矩形，此时.（3）.理由如下：.x2 x1 0，.【考点】反比例函数和一次函数综合题；平行四边形的判定；矩形的性质；代数式化简；作差法的应用.【分析】（1）根据反比例函数的中心对称性，有，所以，四边形ABCD一定是平行四边形.（2）求出点A、B的坐标，根据矩形对角线互相平分且相等的性质得到OA=OB，即，据此列式化简得证.（3）作差，

26、化简，得出结论.14. （2015年广东珠海7分）已知抛物线的对称轴是直线 （1）求证：； （2）若关于的方程的一个根为4，求方程的另一个根【答案】解：（1）证明：抛物线的对称轴是直线，.（2）设关于的方程的另一个根为，抛物线的对称轴是直线，和4关于直线对称 ，即，解得.方程的另一个根为【考点】二次函数的性质；二次函数与一元二次方程的关系.【分析】（1）由抛物线的对称轴是直线，根据对称轴公式列式化简即可得出结果.（2）根据二次函数与一元二次方程的关系：一元二次方程的两个根是二次函数的图象与轴交点的横坐标，即两根关于对称轴对称，据此列式求角即可.另解（代数解法）：关于的方程的一个根为4，即.联立

27、，解得，.关于的方程为，解得.方程的另一个根为15. （2015年广东珠海7分）如图，在平面直角坐标中，矩形的顶点分别在轴，轴上，函数的图像过和矩形的顶点 （1）求的值； （2）连接，若的面积为6，求直线的解析式 【答案】解：（1）函数的图像过，即.（2）点在的图像上，矩形的面积为12，即.又的面积为6，即.二者联立，解得.点的坐标为（2，4）.设直线的解析式为，则，解得.直线的解析式为.【考点】反比例函数和一次函数交点问题；待定系数法的应用；曲线上点的坐标与方程的关系；矩形的性质；方程思想的应用.【分析】（1）由函数的图像过，根据地点在曲线上点的坐标满足方程的关系，列式求解即可.（2）根据“

28、矩形的面积为12”和“的面积为6”列方程组，求出点的坐标，从而应用待定系数法求出直线的解析式.16. （2015年广东珠海9分）如图，折叠矩形的一边，使点落在边的点处，已知折痕，且以为原点，所在直线为轴建立如图所以的平面直角坐标系，抛物线经过点，且与边相交于点 （1）求证：； （2）若是的中点，连接，求证：； （3）是线段上的一动点，点在抛物线上，且始终满足，在点运动过程中，能否使得？ 若能，求出所有符合条件的点坐标；若不能，请说明理由【答案】解：（1）证明：四边形是矩形，且由折叠的性质知，.，.又，.（2）证明：，可设，则由勾股定理，得.由折叠的性质知，.由（1），.在中，由勾股定理，得，即

29、，解得，.抛物线的解析式为.当时，.在中，由勾股定理，得，.又点为斜边上的中点，.为线段的垂直平分线. .（3）由（2）知，抛物线的解析式为，设抛物线与的两个交点为，令，即，解得，.当轴时，如答图1,点坐标为或.当不垂直于轴时，如答图2,当点在抛物线对称右侧时，分别过点作轴的垂线，垂足分别为，则点不与点重合，即，.，.和不全等.同理，当点在抛物线对称左侧时，.综上所述，在点运动过程中，能使得，符合条件的点坐标为或.【考点】二次函数综合题；单动点和折叠问题；矩形的性质；折叠对称的性质；全等、相似三角形的判定和性质；勾股定理；曲线上点的坐标与方程的关系；线段垂直平分线的性质；待定系数法和分类思想的应用.【分析】（1）由矩形的性质和折叠的性质可求得和的两组对应角相等而得到结论.（2）由条件应用待定系数法，根据相似三角形的性质和勾股定理求得的长，从而求得抛物线的解析式，而得到点的坐标，进而得到为线段的垂直平分线的结论而证明结论.（3）分轴和不垂直于轴两种情况讨论即可.