新版高考数学浙江专用总复习教师用书：第4章 第5讲　两角和与差的正弦、余弦和正切公式 Word版含解析

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1、11第第 5 讲讲两角和与差的正弦、余弦和正切公式两角和与差的正弦、余弦和正切公式最新考纲1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式；2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式；3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；4.能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆).知 识 梳 理1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式sin()sin_cos_cos_sin_.cos()cos_cos_sin_sin_.tan()tantan1tantan.2.二倍角的正弦、

2、余弦、正切公式sin 22sin_cos_.cos 2cos2sin22cos2112sin2.tan 22tan1tan2.3.有关公式的逆用、变形等(1)tantantan()(1tan_tan_).(2)cos21cos 22，sin21cos 22.(3)1sin 2(sincos)2，1sin 2(sincos)2，sincos 2sin4 .4.函数 f()asinbcos(a，b 为常数)，可以化为 f()a2b2sin()其中 tanba 或 f() a2b2cos()其中 tanab .诊 断 自 测1.判断正误(在括号内打“”或“”)(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角，

3、是任意的.()(2)存在实数，使等式 sin()sinsin成立.()(3)公式 tan()tantan1tantan可以变形为 tantantan()(1tantan)，且对任意角，都成立.()(4)存在实数，使 tan 22tan.()解析(3)变形可以，但不是对任意的，都成立，2k，kZ.答案(1)(2)(3)(4)2.(20 xx全国卷)若 tan13，则 cos 2()A.45B.15C.15D.45解析cos 2cos2sin2cos2sin2cos2sin21tan21tan245.答案D3.(20 xx重庆卷)若 tan13，tan()12，则 tan等于()A.17B.16C

4、.57D.56解析tantan()tan（）tan1tan（）tan12131121317，故选 A.答案A4.(20 xx广州调研)已知 sincos13，则 sin24()A.118B.1718C.89D.29解析由 sincos13两边平方得 1sin 219， 解得 sin 289， 所以sin241cos2221sin 2218921718，故选 B.答案B5.(必修 4P137A13(5)改编)sin 347cos 148sin 77cos 58_.解析sin 347cos 148sin 77cos 58sin(27077)cos(9058)sin 77cos 58(cos 77)

5、(sin 58)sin 77cos 58sin 58cos 77cos 58sin 77sin(5877)sin 13522.答案226.(20 xx宁波调研)已知 cos4 13，为锐角，则 sin 2_，sin23 _.解析由题意得， cos4 1322(cossin)1312(12sincos)19sin 279，(sincos)21sin 2169sincos43cos 2cos2sin2(cossin)(cossin)23434 29，sin23 sin 2cos3cos 2sin379124 293274 618.答案7974 618考点一三角函数式的化简【例 1】 (1)(20

6、xx杭州模拟)cos()cossin()sin()A.sin(2)B.sinC.cos(2)D.cos(2)化简：（1sincos）cos2sin222cos(0)_.解析(1)cos()cossin()sincos()cos.(2)原式2cos222sin2cos2 cos2sin24cos22cos2cos22sin22|cos2|cos2cos|cos2|.因为 0，所以 020，所以原式cos.答案(1)D(2)cos规律方法三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，正确使用公式；二看函数名称之间的差异，确定使用的公式，常见的有“切化弦” ；三看结

7、构特征，找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分” 、 “遇到根式一般要升幂”等.【训练 1】 (1) 22cos 821sin 8的化简结果是_.(2)化简：2cos42cos2122tan4sin24_.解析(1)原式 4cos242 （sin 4cos 4）22|cos 4|2|sin 4cos 4|，因为54432，所以 cos 40，且 sin 4cos 4，所以原式2cos 42(sin 4cos 4)2sin 4.(2)原式12（4cos44cos21）2sin4cos4cos24（2cos21）24sin4cos4cos222sin22cos222cos 212cos 2.答案

8、(1)2sin 4(2)12cos 2考点二三角函数式的求值【例 2】 (1)2sin 50sin 10(1 3tan 10) 2sin280_.(2)已知 cos435，171274，则sin 22sin21tan的值为_.(3)已知，(0， )， 且 tan()12， tan17， 则 2的值为_.解析(1)原式2sin 50sin 10cos 10 3sin 10cos 102sin 80(2sin 502sin 1012cos 1032sin 10cos 10)2cos 102 2sin 50cos 10sin 10cos(6010)2 2sin(5010)2 232 6.(2)sin

9、 22sin21tan2sincos2sin21sincos2sincos（cossin）cossinsin 21tan1tansin 2tan4.由171274得5340，又(0，)，00，022，tan(2)tan 2tan1tan 2tan3417134171.tan170，2，20，234.答案(1) 6(2)2875(3)34规律方法(1)已知条件下的求值问题常先化简需求值的式子，再观察已知条件与所求值的式子之间的联系(从三角函数名及角入手)，最后将已知条件及其变形代入所求式子，化简求值.(2)通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，遵照以下原则：已知正切函数值，选正切函数；已

10、知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是0，2 ，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，)，选余弦较好；若角的范围为2，2 ，选正弦较好.【训练 2】 (1)4cos 50tan 40()A. 2B.2 32C. 3D.2 21(2)已知 sin3 sin4 35，20，则 cos的值为_.(3)(20 xx绍兴月考)已知 cos17，cos()1314(02)，则 tan 2_，_.解析(1)原式4sin 40sin 40cos 404cos 40sin 40sin 40cos 402sin 80sin 40cos 402sin（12040）sin 40cos 403cos 40sin

11、40sin 40cos 403cos 40cos 40 3，故选 C.(2)由 sin3 sin4 35， 得32sin32cos4 35， sin6 45.又20，所以366，于是 cos6 35.所以 coscos6 63 3410.(3)cos17，02，sin4 37，tan4 3，tan 22tan1tan224 31488 347.02，02，sin()3 314，coscos()coscos()sinsin()1713144 373 31412，3.答案(1)C(2)3 3410(3)8 3473考点三三角变换的简单应用【例 3】 已知ABC 为锐角三角形，若向量 p(22sin

12、 A，cos Asin A)与向量q(sin Acos A，1sin A)是共线向量.(1)求角 A；(2)求函数 y2sin2BcosC3B2的最大值.解(1)因为 p，q 共线，所以(22sin A)(1sin A)(cos Asin A)(sin Acos A)，则 sin2A34.又 A 为锐角，所以 sin A32，则 A3.(2)y2sin2BcosC3B22sin2Bcos3B3B22sin2Bcos32B1cos 2B12cos 2B32sin 2B32sin 2B12cos 2B1sin2B6 1.因为 B0，2 ，所以 2B66，56，所以当 2B62时，函数 y取得最大值

13、，此时 B3，ymax2.规律方法解三角函数问题的基本思想是“变换”， 通过适当的变换达到由此及彼的目的，变换的基本方向有两种，一种是变换函数的名称，一种是变换角的形式.变换函数名称可以使用诱导公式、同角三角函数关系、二倍角的余弦公式等；变换角的形式，可以使用两角和与差的三角函数公式、倍角公式等.【训练 3】 (20 xx合肥模拟)已知函数 f(x)(2cos2x1)sin 2x12cos 4x.(1)求 f(x)的最小正周期及单调减区间；(2)若(0，)，且 f48 22，求 tan3 的值.解(1)f(x)(2cos2x1)sin 2x12cos 4xcos 2xsin 2x12cos 4

14、x12(sin 4xcos 4x)22sin4x4 ，f(x)的最小正周期 T2.令 2k24x42k32，kZ，得k216xk2516，kZ.f(x)的单调减区间为k216，k2516 ，kZ.(2)f48 22，即 sin4 1.因为(0，)，4434，所以42，故34.因此 tan3 tan34tan31tan34tan31 31 32 3.思想方法1.重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”.(1)变角：对角的分拆要尽可能化成同角、特殊角；(2)变名：尽可能减少函数名称；(3)变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等.2.在解决求值、化简、证明问题时，一般

15、是观察角、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形.易错防范1.运用公式时要注意审查公式成立的条件，要注意和、差、倍角的相对性，要注意升幂、降幂的灵活运用，要注意“1”的各种变通.2.在(0，)范围内，sin22所对应的角不是唯一的.3.在三角求值时，往往要借助角的范围求值.基础巩固题组(建议用时：40 分钟)一、选择题1.(20 xx全国卷)sin 20cos 10cos 160sin 10()A.32B.32C.12D.12解析sin 20cos 10cos 160sin 10sin 20cos 10cos 20sin 10sin 3012.答案D2.(

16、1tan 17)(1tan 28)的值是()A.1B.0C.1D.2解析原式1tan 17tan 28tan 17tan 281tan 45(1tan 17tan 28)tan 17tan 28112.答案D3.(20 xx西安二检)已知是第二象限角，且 tan13，则 sin 2()A.3 1010B.3 1010C.35D.35解析因为是第二象限角， 且 tan13， 所以 sin1010， cos3 1010，所以 sin 22sincos210103 101035，故选 C.答案C4.(20 xx河南六市联考)设 a12cos 232sin 2，b2tan 141tan214，c1co

17、s 502，则有()A.acbB.abcC.bcaD.cab解析由题意可知，asin 28，btan 28，csin 25，cab.答案D5.(20 xx肇庆三模)已知 sin35且为第二象限角，则 tan24 ()A.195B.519C.3117D.1731解析由题意得 cos45，则 sin 22425，cos 22cos21725.tan 2247，tan24 tan 2tan41tan 2tan424711247 11731.答案D二、填空题6.(20 xx石家庄模拟)若 cos3 13，则 sin26 的值是_.解析sin26 sin23 2cos 23 2cos23 1219179

18、.答案797.(20 xx杭州月考)已知是第四象限角， 且 sin4 35， 则 sin_；tan4 _.解析由题意，sin4 35，cos4 45，sin sin4coscos435，coscos4sinsin445，解得sin15 2，cos75 2，tan17，tan4 tantan41tantan4171117143.答案210438.已知0，2 ，且 sin4 210，则 tan 2_.解析sin4 210，得 sincos15，0，2 ， 平方得 2sincos2425， 可求得 sincos75， sin45，cos35，tan43，tan 22tan1tan2247.答案247

19、三、解答题9.(20 xx镇海中学模拟)已知向量 a(cos，sin)，b(2，1).(1)若 ab，求sincossincos的值；(2)若|ab|2，0，2 ，求 sin4 的值.解(1)由 ab 可知，ab2cossin0，所以 sin2cos，所以sincos sincos2coscos2coscos13.(2)由 ab(cos2，sin1)可得，|ab| （cos2）2（sin1）264cos2sin2，即 12cossin0.又 cos2sin21，且0，2 ，所以 sin35，cos45.所以 sin4 22(sincos)223545 7 210.10.设 cos55，tan1

20、3，32，02，求的值.解法一由 cos55，32，得 sin2 55，tan2，又 tan13，于是 tan()tantan1tantan21312131.又由32，02可得20，232，因此，54.法二由 cos55，32得 sin2 55.由 tan13，02得 sin110，cos310.所以 sin()sincoscossin2 55310 55110 22.又由32，02可得20，232，因此，54.能力提升题组(建议用时：25 分钟)11.(20 xx云南统一检测)cos9cos29cos239()A.18B.116C.116D.18解析cos9cos29cos239cos 20

21、cos 40cos 100cos20cos 40cos 80sin 20cos 20cos 40cos 80sin 2012sin 40cos 40cos 80sin 2014sin 80cos 80sin 2018sin 160sin 2018sin 20sin 2018.答案A12.(20 xx武汉调研)设，0，且满足 sincoscossin1，则 sin(2)sin(2)的取值范围为()A. 2，1B.1， 2C.1，1D.1， 2解析sincoscossin1，sin()1，0，2，由0，022，sin(2)sin(2)sin22 sin(2)cossin2sin4 ， 2， 344

22、54， 1 2sin4 1，即所求的取值范围是1，1，故选 C.答案C13.已知 cos4sin423，且0，2 ，则 cos23 _.解析cos4sin4(sin2cos2)(cos2sin2)cos 223，又0，2 ，2(0，)，sin 2 1cos2253，cos23 12cos 232sin 2122332532 156.答案2 15614.已知向量 a(cosxsinx， sinx)， b(cosxsinx， 2 3cosx)，设函数 f(x)ab(xR)的图象关于直线 x对称，其中，为常数，且12，1.(1)求函数 f(x)的最小正周期；(2)若 yf(x)的图象经过点4，0，求

23、函数 f(x)在区间0，35上的取值范围.解(1)因为 f(x)ab(cosxsinx)(cos xsinx)2 3sinxcosxsin2xcos2x2 3sinxcosxcos 2x 3sin 2x2sin2x6 ，由直线 x是 yf(x)图象的一条对称轴，可得 sin26 1，所以 26k2(kZ)，即k213(kZ).又12，1，kZ，所以 k1，故56.所以 f(x)2sin53x6 .所以 f(x)的最小正周期是65.(2)由 yf(x)的图象过点4，0，得 f4 2sin5346 0，所以2sin5346 2sin4 2，故 f(x)2sin53x6 2.由 0 x35，有653

24、x656，所以12sin53x6 1，得1 22sin53x6 22 2.故函数 f(x)在0，35上的取值范围为1 2，2 2.15.(20 xx西安模拟)如图，现要在一块半径为 1 m，圆心角为3的扇形白铁片 AOB 上剪出一个平行四边形 MNPQ，使点 P 在弧 AB 上，点 Q 在 OA 上，点 M，N 在 OB 上，设BOP，平行四边形 MNPQ 的面积为 S.(1)求 S 关于的函数关系式.(2)求 S 的最大值及相应的角.解(1)分别过 P，Q 作 PDOB 于 D，QEOB 于 E，则四边形 QEDP 为矩形.由扇形半径为 1 m，得 PDsin，ODcos.在 RtOEQ中，OE33QE33PD，MNQPDEODOEcos33sin，SMNPDcos33sinsinsincos33sin2，0，3 .(2)由(1)得 S12sin 236(1cos 2)12sin 236cos 23633sin26 36，因为0，3 ，所以 266，56，sin26 12，1.当6时，Smax36(m2).